© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed SAYISAL DEVRELER BÖLÜM-4 Lojik Kapılar Doç.Dr. Murat ÇAKIROĞLU Mekatronik Mühendisliği Sakarya Üniversitesi

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed Boolean cebri, bir değişken; bir eylem, bir koşul veya bir veriyi temsil etmek için kullanılan bir semboldür. Tek bir değişken sadece 1 veya 0 değerine sahip olabilir. Boolean Addition bir tamamlayıcı(tümlenen) bir değişkenin tersini temsil eder ve değişkenin üzerinde bir çizgi ile gösterilir. Bu durumda, A’nın tamamlayıcısı (tümleneni) Ᾱ ’ dir. Bir değişmez (sabit değişken), bir değişken yada onun tümlenenidir. Toplama OR işlemi ile eşdeğerdir. İşlemde bir veya daha fazla değişmezin değeri 1 ise toplamanın sonucu 1’dir. İşlemde bütün değişmezlerin değeri 0 ise toplamının sonucu 0 olur. aşağıdaki ifadeyi sağlayacak A,B ve C DEĞERLERİNİ TANIMLA A + B + C = 0? İfadedeki her değişmezin değeri = 0; bu yüzden A = 1, B = 0 and C = 1.

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed Boole cebrinde, çarpma AND (VE) işlemi ile eşdeğerdir. değişmezlerin ürünü bir ürün terimini oluşturur. Bu terimde tüm değişmezler 1 değerini aldığında sonuç 1 değerini alacaktır. Boolean Multiplication What are the values of the A, B and C if the product term of A. B. C = 1? (Bu işlemin sağlanabilmesi için A,B ve C nin değerleri ne olmalıdır?) Bütün değişmezler = 1; bu yüzden A = 1, B = 0 and C = 0.

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed Commutative Laws (Değişebilme Kuralı) Değişkenlerin sırasının değiştirilmesi sonucun değişmesinde bir farklılık yaratmaz Bu kural toplama ve çarpmada kullanılır. Ayrıca değişim kuralı belirtilmelidir. A + B = B + A Değişim kuralının çarpma için kullanımı AB = BA Değişkenlerin sırasının değiştirilmesi sonucun değişmesinde bir farklılık yaratmaz

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed Associative Laws (Birleşim Kuralı) OR (toplama)işleminde 2 veya daha fazla değişken olduğu zaman, değişkenlerin gruplaşması nasıl olursa olsun sonuç aynıdır Bu kural toplama ve çarpmada uygulanabilir. A + (B +C) = (A + B) + C Kuralın çarpmadaki durumu; ANDing (çarpma) işleminde 2 den fazla değişken olduğunda, değişkenlerin gruplaşması nasıl olursa olsun sonuç aynıdır A(BC) = (AB)C

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed Distributive Law (Dağılma Kuralı) Dağıtım kuralı bir çarpanlama kuralıdır. İfadedeki ortak bir değişken ortak paranteze alınarak bir çarpan elde edilebilir. yani; AB + AC = A(B+ C) Dağıtım kuralı eşdeğer devrelerle birlikte gösterilebilir. AB + ACA(B+ C)

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed Rules of Boolean Algebra (Boolean Algoritmasının Kuralları) 1. A + 0 = A 2. A + 1 = 1 3. A. 0 = 0 4. A. 1 = 1 5. A + A = A 7. A. A = A 6. A + A = 1 8. A. A = 0 9. A = A = 10. A + AB = A 12. (A + B)(A + C) = A + BC 11. A + AB = A + B

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed Rules of Boolean Algebra Boolean cebrinin kuralı Venn şemasıyla da gösterilebilir. A değişkeni bir alan olarak gösterilmiştir. A + AB = A bu kural şemalarla kolayca gösterilebilir. B değişkenini temsil eden alan ile A’nın çakışan alanı eklenir. A ile Bnin arasındaki çakışan bölgeye AB denir. A + AB = A Diğer kurallar yanı sıra diyagramlar ile gösterilebileceği ifade edilmiştir. =

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed A Rules of Boolean Algebra A + AB = A + B Bu sefer, A tekrar mavi alan ve B kırmızı daire ile ifade edilir. Birleşiminden AB. Dikkat edersek; A + AB = A + B Illustrate the rule bu kuralı venn şemasıyla gösterin

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed Rules of Boolean Algebra Rule 12, which states that (A + B)(A + C) = A + BC, bu ifadenin sağlaması kolayca yapılabilir: (A + B)(A + C) = AA + AC + AB + BC = A + AC + AB + BC = A(1 + C + B) + BC = A. 1 + BC = A + BC Bu kural biraz komplike bir kural, fakat bir sonraki slaytta veilen venn şemasıyla gösterilebilir

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed A + B alanını sarı ile ifade edilmiş A + C alanı kırmızı ile ifade edilmiş. A, B, and C değişkenlerinin temsil edildiği 3 alan var Sarı ve kırmızı alanların kesiştiği yerde portakal sarısıyla boyanmış. OR ile daha önce A alanının A+BC ile aynı alan olduğu görülmüştür. = (A + B)(A + C)A + BC B ve C NİN kesiştiği bölge BC.

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed DeMorgan’s teoremi Değişkenlerin kesişim ürünlerinin tümleneni ayrı ayrı tümlenenlerinin toplamına eşittir DeMorgan’s 1 st Theorem AB = A + B Demorganın 1. teoreminin devredeki giriş ve çıkış kapılarına uygulanması:

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed DeMorgan’s Theorem DeMorgan’s 2 nd Theorem Değişkenlerin toplamının tümleneni ayrı ayrı tümlenenlerinin çarpımına eşittir. A + B = A. B Lojik Kapılara DeMorgan’ın 2 teoremini uygularsak;

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed Terimler üzerindeki üst çizgiyi kaldırmak De Morgan kurulanı uygulamak istiyoruz. X = C + D. Bu ifadeye DeMorganın 2. teoremini uygularsak. DeMorgan’s Theorem X = C. D. Çift çizgi silinir ve  X = C. D. Değişkenin üzerinde çift çizgi değişkenin kendisini verir. =

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed Boolean Analysis of Logic Circuits (Mantık Devrelerinin Boolean Analizi) Kombine mantık devrelerinin her kapısı için Boole cebri kurallarına göre ifadeleri birleştirerek analiz edilebilir. Devreye boolean cebri uygulayarak x ifedesinin türetilmesi. Her kapı için ifade yazarsak; DeMorgan teorisi ve dağıtım yasası uygulandığında; C ( A + B ) = C ( A + B ) + D ( A + B ) X = C (A B) + D = A B C + D X

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed Boolean Analysis of Logic Circuits (Mantık Devrelerinin Boolean Analizi) Önceki örnekte devrenin doğruluk tablosunu oluşturmak için Multisim kullanın. Gösterildiği gibi Mantık Dönüştürücü ile devreyi kurun. Üst Mantık Converter çift tıklayarak açın. Sonra devre ( bir sonraki slayt bakınız) doğruluk tablosunu görmek için sağ tarafta dönüşüm çubuğunda tıklayın

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed Boolean Analysis of Logic Circuits (Mantık Devrelerinin Boolean Analizi) Basit mantık ifadesi tıklayarak görülebilir. Simplified expression

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed SOP and POS forms Boolean ifadeleri ürünlerin toplamı formu şeklinde (SOP) veya toplamların ürünü şeklinde yazılabilir (POS). Bu formların kombinazasyonel mantıkta uygulamak basittir, özellikle PLD de. Her iki formda da, birden fazla değişkenin üzerine çizgi uzatılamaz. An expression is in SOP formu 2 veya daha fazla ürünün toplamı olduğunda ifade edilir: An expression is in POS formu 2 veya daha fazla değişkenin toplamlarının çarpımı söz konusu olduğunda ifade edilir: A B C + A B A B C + C DC D + E (A + B)(A + C) (A + B + C)(B + D) (A + B)C

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed SOP Standard form In SOP standard form, her değişkenin etki alanındaki her terimin görünmesi gerekir. Bu form, doğruluk tabloları oluşturmak için ya PLD mantığı uygulanması için kullanışlıdır. Eksik değişkeni ve onun tümleneninin toplamından oluşan bir terimle çarpılarak standart olmayan terimi standart forma genişletebilirsiniz. X = A B + A B C standart formuna dönüştürünüz. İlk çarpıma sonucu 1 olan (C+C) ekliyoruz. X = A B (C + C) + A B C = A B C + A B C + A B C

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed SOP Standard form Multisim Mantık Dönüştürücü ile standart SOP forma devreyi dönüştürebilirsiniz. Lojik dönüşüm için doğruluk tablosuna tıklayın. Standart SOP formuna devre mantığı görüntülemek için Multisim kullanın. Gelecek slaytta görürsek…

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed SOP Standard form

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed POS Standard form In POS standard form, etki alanındaki her değişkenin toplamlarının görünmesi gerekir. Bu ifadeye ( A + B) ( A + C) = A + BC eksik değişken ve tamamlayıcı bir ürün ekleyip uygulayarak standart formu standart olmayan POS ifadesini genişletebilirsiniz. X = (A + B)(A + B + C) standart formuna dönüştürünüz. İlk çarpımda C değişkeni içermez. Bu nedenle ilk çarpıma CC değişkeni ekleyip çözümleme yapabiliriz. X = (A + B + C C)(A + B + C) = (A +B + C )(A + B + C)(A + B + C)

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed Karnaugh haritası (K-haritası) 3 veya 4 değişkenli kombinasyonel mantığı basitleştirmek için bir araçtır. 3 değişken için, 8 hücre (23) gereklidir. Şekildeki harita A, B ve C etiketli 3 değişkeni göstermektedir. Her bir hücre olası ürün terimini temsil etmektedir. Her bir hücre sadece bir değişkene göre bitişiğindeki hücreden farklılık gösterir. Karnaugh Haritaları

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed Hücreler genellikle değişken ve tümleneni temsil etmek için 0 ve 1'leri kullanarak etiketlenir. Gray code Karnaugh Haritaları 1’ler gerçek değişken olarak O’lar tümlenen değişken olarak okunur. Bitişik hücrelerin tek değişkene göre farklılık göstermesi için gri kod girilir.

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed AB C Alternatif olarak, hücreler, değişken harflerle etiketlenebilir. Bu okumayı kolaylaştırır, ama haritayı hazırlamak daha fazla zaman alır. Karnaugh Haritaları Sarı hücrelerin olduğu terimleri oku Bu hücreler ABC ve ABC.

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed 1. Şekilde belirtildiği gibi iki çakışan grubun içerisindeki 1’leri grupla. 2.Bir sınır boyunca değişen herhangi bir değişkeni ortadan kaldırarak her grubu okuyun. 3.Dikeydeki grup AC. K- haritaları hücreleri gruplandırarak ve değişkenleri elimine ederek kombinasyonel mantığı kolaylaştırabilir. Karnaugh Haritaları Harita üzerinde 1’leri grupla ve minimum mantığı oku. B changes across this boundary C changes across this boundary 4.Yataydaki grup AB. X = AC +AB

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed Görüldüğü gibi 4-değişkenli haritanın dört tarafının her birinde bir bitişik hücre vardır. Her hücre sadece bir komşu hücreden bir değişken tarafından farklıdır. Gruplama metinde verilen kuralları takip eder. Aşağıdaki slayt değişkenleri için ikili sayıları (0 ve 1’leri) kullanarak dört değişkenli harita okumanın bir örneğini gösterir... Karnaugh Haritaları

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed X Karnaugh Haritası Haritadaki 1’leri grupla ve minumum mantığı oku 1.Belirtildiği gibi iki ayrı grup halinde 1’leri grupla 2.Bir sınır boyunca değişen herhangi bir değişkeni ortadan kaldırarak her grubu okuyun. 3.Üstteki sarı grup AD olarak okunur. 4.Alttaki yeşil grup AD olarak okunur. X = AD +AD B changes C changes B changes C changes across outer boundary

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed Hardware Description Languages (HDLs) HDL dili PLD içinde uygulamalı bir mantık tasarımı için bir araçtır. önemli dile VHDL denir. VHDL dilinin mantığını açıklayan 3 yaklaşım vardır: 2. Veri akışı 3. davranışsal 1. yapısal Sistematik bir şekilde tanımlar (parça be blok diyagramlar). Denklemlerle tanımlar, örneğin Boolean işlemleri ve kaydediciler. Zaman içerisindeki spesifikasyonlar olarak tanımlar(durum makineleri, etc.).

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed Hardware Description Languages (HDLs) Veri akışı yöntemi VHDL için Boolean tipi ifadeleri kullanır. Temel veri akışı programının iki bölümü vardır. the varlık(entity) and the mimari (architecture). Varlık bölümü I/O yu tanımlar. Mimari bölüm mantığı tanımlar. Aşağıdaki örnek 2 bölümlü bir VHDL programını gösterir. Program geçersiz BCD kodu tespit etmek için kullanılır. entity BCDInv is port (B,C,D: in bit; X: out bit); end entity BCDInv architecture Invalid of BCDInv begin X <= (B or C) and D; end architecture Invalid;

© 2009 Pearson Education, Upper Saddle River, NJ All Rights ReservedFloyd, Digital Fundamentals, 10 th ed Hardware Description Languages (HDLs) HDL’nin başka bir standardı Verilog’tur. Verilog, I/O ve mantık, Modül denilen birimi tanımlar. Verilog, Boolean mantıksal operatörleri temsil eden özel semboller kullanır. Aşağıdaki bir önceki slayttaki aynı programın Verilog’ta yazılmış halidir: module BCDInv (X, B, C, D); input B, C, D; output X; assign X = (B | C)&D; endmodule

© 2009 Pearson Education değişken tümlenen Toplam terimi Ürün terimi 1 veya 0 değerine sahip bir mantıksal miktarı temsil etmek için kullanılan bir sembol, genellikle italik harf ile belirtilir. Bir sayının tersi ya da karşıtı. Boole cebri, ters fonksiyon, değişken üzerinde bir çizgi ile ifade edilir OR operasyonuna denk iki veya daha fazla değişmez değerlerin Boolean toplamı. AND operasyonuna denk iki veya daha fazla değişmez değerli Boolean ürünü.

© 2009 Pearson Education Ürünlerin toplamı (SOP) Toplamların ürünü (POS) Karnaugh haritası VHDL Temelde ORing of ANDed terimleriyle açıklanan bir Boolean formu ANDing of ORed terimleriyle açıklanan bir Boolean formu. Boolean ifadelerindeki değişmez değerlerin kombinasyonunu temsil eden hücrelerin bir düzenlemesi ve ifadelerin basitleştirilmesi için kullanılan sistematik bir düzenleme Standard bir HDL dili. IEEE Std

© 2009 Pearson Education 1. Eklemeler için birleştirme kuralının genel yazılımı: a. A + B = B + A b. (A + B) + C = A + (B + C) c. AB = BA d. A + AB = A © 2009Pearson Education

2. The Boolean denklemi AB + AC = A(B+ C) gösterimi a. the distribution law (dağıtım kuralı ) b. the commutative law (değişim kuralı) c. the associative law (birleştirme kuralı) d. DeMorgan’s theorem (demorgan teoremi) © 2009 Pearson Education

3. The Boolean ifadesinde A. 1 eşittir : a. A b. B c. 0 d. 1 © 2009 Pearson Education

4. The Boolean ifadesinde A + 1 eşittir : a. A b. B c. 0 d. 1 © 2009 Pearson Education

5. The Boolean ifadesi AB + AC = A(B+ C) gösterimi a. the distribution law b. the commutative law c. the associative law d. DeMorgan’s theorem © 2009 Pearson Education

6. standard SOP formunda Boolean ifadesinde : a. Minumum mantığı ifade eder b. Csadece bir ürün terimini içerir c. Her terimin etki alanında her değişken vardır d. hiçbiri © 2009 Pearson Education

7. bir Karnaugh haritasında komşu hücreler birbirinden farklı kaç tane değişken tarafından ifade edilir ? a. Bir değişken b. İki değişken c. Üç değişken d. Cevap haritanın boyutuna göre değişir

© 2009 Pearson Education 8. gösterilen Karnaugh haritasından hangi ifade okunabilir a. X = A b. X = A c. X = B d. X = B

© 2009 Pearson Education 9. gösterilen Karnaugh haritasından minumum hangi ifade okunabilir a. X = A b. X = A c. X = B d. X = B

© 2009 Pearson Education 10. VHDL code, ……… denilen 2 bölüme sahiptir. a. I/O and the module b. Varlık(entity) and the architecture (mimari) c. port and the module d. port and the architecture

© 2009 Pearson Education Answers: 1. b 2. c 3. a 4. d 5. a 6. c 7. a 8. a 9. d 10. b