1. HOMOMORFISMA

2. TUJUAN
Mahasiswa akan dapat memberi contoh-contoh homomorfisma grup dan jenis-jenisnya

3. Cakupan Homomorfisma Epimorfisma Monomorfisma Isomorfisma Endomorfisma
Automorfisma
Kernel
Teorema Cayley

4. DEFINISI HOMOMORFISMA GRUP
(A,) dan (B,) adalah grup-grup. Suatu fungsi f:AB disebut homomorfisma jika f(mn) = f(m)f(n) untuk setiap m,nA.

5. Contoh-contoh:
1. G = himpunan bilangan rasional dengan operasi +. G’ = himpunan bilangan riil tanpa nol dengan operasi . Pemetaan :GG’ adalah (x)=2x, untuk setiap x  G. Apakah  suatu homomorfisma?
2. G = himpunan bilangan riil positif dengan operasi . G’ = himpunan bilangan riil dengan operasi +. Pemetaan :GG’ adalah (x) = log x, untuk setiap xG. Apakah  suatu homomorfisma?

6. G = {1, 1, i, i} dengan operasi perkalian
G = {1, 1, i, i} dengan operasi perkalian. G’ = himpunan matriks 2x2 ={E, A, B, C}.
Tentukan pemetaan :GG’ agar  merupakan suatu homomorfisma
4. B = {0, 1, 2} dengan operasi penjumlahan modulo 3. G = {0o, 120o, 240o} dengan operasi rotasi. Definisikan (0)=0o, (1)=120o, (2)=240o. Apakah  suatu homomorfisma?

7. Z = himpunan bilangan bulat dengan operasi +
Z = himpunan bilangan bulat dengan operasi +. :ZZ adalah (x)=2x, untuk setiap xG. Apakah  suatu homomorfisma?
R* = himpunan bilangan riil tak nol dengan operasi perkalian. S = {1, 1} dengan operasi perkalian. :R*S adalah (x)=1 bila x positif dan (x)= 1 bila x negatif, untuk setiap xR*. Apakah  suatu homomorfisma?
Z = himpunan bilangan bulat dengan operasi +. Pemetaan :ZZ adalah (x) = x, untuk setiap xZ. Apakah  suatu homomorfisma?

8. Jenis-jenis Homomorfisma
Epimorfisma = homomorfisma onto
Monomorfisma = homomorfisma 1-1
Isomorfisma = homomorfisma 1-1 dan onto.
Endomorfisma = homomorfisma dari grup ke dalam dirinya sendiri.
Automorfisma = endomorfisma 1-1 dan onto.
Dari contoh-contoh sebelum ini mana yang epimorfisma, monomorfisma, isomorfisma, endomorfisma dan automorfisma?

9. Beberapa Sifat
Kernel homomorfisma = himpunan semua elemen G yang dipetakan ke unkes G’.
(e)=e’, e=unkes G, e’=unkes G’.
(x1) = [(x)]1
Isomorfisma tidak mengubah order elemen
Isomorfisma adalah relasi ekuivalen
Grup-grup siklis berorder sama adalah isomorf

10. Suatu grup siklis tak berhingga isomorfis dengan grup aditif bilangan bulat
Suatu grup siklis berorder n isomorf dengan grup aditif kelas residu modulo n. Grup aditif kelas residu modulo n adalah {0,1,2,3,…,n1} dengan operasi penjumlahan modulo n
Subgrup dari grup siklis tak berhingga isomorf dengan grup aditif kelipatan bulat dari bilangan bulat n
Subgrup dari grup siklis tak berhingga isomorf dengan grup itu sendiri

11. TEOREMA CAYLEY
Setiap grup berhingga isomorf dengan suatu grup permutasi.
Contoh:
Carilah subgrup permutasi reguler P4 yang isomorf dengan grup multiplikatif G={1,1,i,i}.

12. Penutup
Homomorfisma: pemetaan antar dua grup yang memenuhi kriteria tertentu.
Epimorfisma: homomorfis yang onto
Monomorfisma: homomorfis yang 1-1
Isomorfisma: homomorfis yang 1-1 dan onto
Endomorfisma: homomorfis ke dalam diri sendiri
Automorfisma: isomorfis pada diri sendiri
Kernel: elemen-elemen yang dipetakan ke 0’
Teorema Cayley: Setiap grup berhingga isomorf dengan suatu grup permutasi.