1. PROF. DR. ISAIC- MANIU ALEXANDRU
ANCHETE ŞI SONDAJE
Completare -
PROF. DR. ISAIC- MANIU ALEXANDRU
web :

2. PRELUCRAREA DATELOR DE SONDAJ ŞI INFERENŢA STATISTICĂ

3. Bibliografie
+ Orice manual/ tratat recomandat la secţiunea Bibliografie de pe site

5. Estimare (Estimation)
Operaţie de stabilire, în baza datelor unui eşantion, a valorilor parametrilor repartiţiei populaţiei din care a fost prelevat eşantionul
Rezultatul, se poate exprima printr-o valoare unică (estimator punctual), sau printr-un interval
Inferenţa statistică
Spre deosebire de statistica descriptivă, inferenţa statistică foloseşte procedee specifice bazate pe modele matematice (în esenţă, probabiliste) pentru analiza materialului statistic organizat de metodele descriptive
Termenul “inferenţă” este împrumutat din engleză şi conform cu The American Heritage Dictionary of the English Language (Peter Davies, editor, Dell Publ. Co. Inc. New York, 1972, pag. 365) – “to infer” sau “inferring” înseamnă a face o inferenţă adică a extrage o concluzie sau a face o deducţie pe baza unor fapte sau indicii

6. Eroare de estimare (Estimation error)
Eroarea în estimarea unui parametru (^ -  ) unde ^ este rezultatul estimării, iar  este parametrul estimat
Eroarea de estimare poate fi provocată de una sau mai multe cauze

7. Interval de încredere (Confidence interval)
Interval de încredere bilateral (Two-sided confidence interval; Intervalle de confiance bilatéral).
Dacă Z1 şi Z2 sunt două funcţii ale valorilor observate, iar  este un parametru estimat al populaţiei, astfel ca probabilitatea este cel puţin egală cu 1 - alfa, [unde 1 -alfa este un număr fixat, pozitiv şi mai mic decât 1], intervalul dintre Z1 şi Z2 este un interval de încredere bilateral de pentru .
Limitele Z1 şi Z2 ale intervalului de încredere sunt statistici care, în general, au valori diferite de la un eşantion la altul

8. Legea normală (Gauss-Laplace)
Una din ipotezele fundamentale in sondajul statistic este normalitatea (apartenenţa la legea Gauss-Laplace) a caracterizării investigate este necesar să discutăm despre această lege statistică.
Modelul Gauss-Laplace uzual, din punct de vedere matematic reprezintă o repartiţie statistică definită de
funcţia de repartitie
unde

9. Respectiv functia de frecventa
sau funcţia de densitate a repartitiei variabilei aleatoare X
X – mărimea fizică măsurată şi care reprezentată grafic are binecunoscuta formă de „clopot” (aşa-zisul „clopot al lui Gauss”):
Se ştie că o funcţie de densitate trebuie să îndeplinească următoarele cerinţe:
(i) şi
(ii) unde D este domeniul de definiţie al variabilei X, în cazul nostru dreapta reală, R.

10. Scurt istoric – legea normala (1)
. Originea acestui model o găsim în lucrarea „Dialog despre cele două sisteme fundamentale ale lumii” a lui Galileo GALILEI ( ), în care el îşi expune părerile referitoare la măsurarea distanţelor dintre diferite corpuri cereşti:
Galilei considera că:
erorile întâmplătoare sunt inevitabile în observaţiile obţinute cu diverse mijloace de măsurare
erorile mici au şanse mai mari de apariţie decât cele mari sau foarte mari
măsurările tind să se distribuie aproximativ egal la stânga şi la dreapta unei valori „de referinţă”
majoritatea valorilor observate tind să se grupeze („să se aciuiască”) în jurul acestei valori de referinţă
erorile aleatoare prezente în procesul măsurării/observării sunt diferite (distincte) de cele ce pot apărea în calculele efectuate de experimentator

11. ( 2 )
Repartiţia normală apare de fapt pentru prima oară în 1733 într-o lucrare a lui Abraham de MOIVRE ( ), matematician cunoscut mai curând prin „formula Moivre” referitoare la numerele complexe:
Abia odată cu lucrările lui Carl Friedrich GAUSS ( ) şi cele ale lui Pierre Simon, Marquis de LAPLACE ( ) se pun în lumină proprietăţile şi importanţa deosebită a acestei legi statistice ca descriptor – iniţial al comportării erorilor de observaţie (Gauss, 1809 în „Theoria Motus Corpum Caelestium”
Laplace (1810/1811 în „Theorie analitique des Probabilites” din 1812) arată rolul teoretic (şi practic) excepţional jucat de legea normală prin aşa-numita TEOREMĂ LIMITĂ CENTRALĂ.

12. (3) Teorema Limita Centrala
Această teoremă, menţionată azi şi în diverse documente ISO (de exemplu ISO Guide 13434, Anexa G. pp ) a constituit fundamentul construirii fişelor de control de tip SHEWHART destinate verificării unui proces (vezi SRISO 8258/1999).
Într-o formulare „populară” Teorema Limită Centrală afirmă că: dacă sunt variabile aleatoare continue, identic repartizate cu aceeaşi medie (m) şi aceeaşi dispersie (D2), atunci variabila medie este aproximativ normal repartizată, cu aceeaşi medie (m) dar cu dispersia mai mică şi anume
Acest fapt are loc chiar pentru valori modeste ale lui n .

13. Cateva proprietati ale legii normale
graficul funcţiei are un singur maximum pentru
si două inflexiuni de abscise
parametrii descriptori şi au semnificaţia mediei şi dispersia teoretice: ;
intervalul conţine aproximativ 99,73% din valorile mărimii X.

14. Aceste funcţii au fost tabelate iniţial de către Laplace.
Variabila se numeste variabila normală standard (sau standardizată) şi are funcţia de densitate respectiv de repartiţie sub
adică variabila U are media O şi dispersia 1.
Aceste funcţii au fost tabelate iniţial de către Laplace.

15. Grafice ale legii normale

17. Repartiţia t (STUDENT)
dacă sunt independente, cu parametrii
variabila
se numeşte variabila STUDENT (sau „t”) şi joacă un rol important în experimentele privind compararea a două medii normale (adică a mediilor a două populaţii caracterizate de legea normală )

18. Repartiţia t (STUDENT)
Densitatea de tip t are forma:
unde
este binecunoscuta funcţie GAMMA a lui EULER ( ).
Denumirea STUDENT provine de la chimistul şi statisticianul britanic William Sealy GOSSET ( ) care a lucrat la o celebră fabrică de bere din Dublin, în calitate de supervizor al procesului de fabricaţie al acestui produs, apreciat azi pe întreg mapamondul .Gosset a avut ca „sarcină de serviciu” – printre altele – şi compararea calităţii berii produse de firma respectivă cu cea a concurenţilor acesteia. Gosset şi-a ales pseudonimul STUDENT, cu care şi-a semnat toate lucrările, publicate în principal în celebra revistă” BIOMETRIA” >înfiinţată în 1900 de GALTON şi PEARSON.

19. Repartiţia t (STUDENT)
Densitatea de tip t are forma:
unde
este binecunoscuta funcţie GAMMA a lui EULER ( ).

20. Testarea normalităţii
Verificarea faptului că datele experimentale obţinute sunt repartizate după legea Gauss-Laplace se poate face în mai multe moduri, şi anume:
algebric (utilizând indicatorii de eşantionaj cu proprietăţile lor specifice în cazul legii normale);
grafic (folosind aşa-numitele „hârtii” sau reţele de tip probabilist)
analitic (utilizând procedee statistice speciale – aşa numitele „teste de concordanţă”).

21. Ipoteza nulă şi ipoteza alternativă (Null hypothesis and alternative hypothesis)
Afirmaţii asupra unuia sau mai multor parametri, sau asupra unor repartiţii, care urmează a fi validate prin teste statistice. Decizia asupra ipotezei nule este luată pe baza unui test statistic.
Testul statistic este construit cu elemente aleatoare, luarea deciziei comportă un anumit risc de eroare.
Ipoteza nulă (H0) se referă la afirmaţii supuse testării, în timp ce ipoteza alternativă (H1) se referă la afirmaţii care vor fi acceptate dacă se respinge ipoteza nulă.

22. Exemple de diferite ipoteze
Testarea ipotezei că media a unei variabile aleatoare X dintr-o populaţie nu este inferioară/ sau superioara unei valori date m0
Testarea ipotezei că proporţiilor indivizilor neconformi din două populaţii, p1 şi p2 au aceeaşi valoare (nespecificată)
Testarea ipotezei că o variabilă aleatoare X are o repartiţie normală (cu parametri nespecificaţi);Ipoteza alternativă: repartiţia nu este normală.

23. Erori in verificarea ipotezelor statistice (Hypothesis testing errors)
Erori ce se pot face în procesul de verificare a ipotezelor statistice.
Eroare de genul întâi: ipoteza H se respinge, când ea este adevărată.
Eroare de genul al doilea: ipoteza H se admite, când ea este falsă.
Probabilităţile de a fi comise cele două tipuri de erori sunt: probabilitatea erorii de genul întâi – risc de genul I şi respectiv probabilitatea erorii de genul al doilea-risc de genul II .

24. Puterea testului (Power of a test)
Probabilitatea de a nu comite eroarea de tipul II. Această probabilitate, în general notată cu ( 1- beta), corespunde respingerii ipotezei nule, când aceasta este falsă.

25. Test statistic (Statistical test)
Procedura statistică prin care se decide dacă ipoteza nulă poate fi respinsă în favoarea ipotezei alternative sau nu.
În general, un test preia apriori o anumită ipoteză, care trebuie verificată (de exemplu, ipoteza de independenţă a observaţiilor, ipoteza de normalitate etc.).
Testele pot fi construite cu ajutorul mediei aritmetice şi cu ajutorul altor variabile aleatoare de sondaj, acestea numindu-se de regulă statistici decizionale ale testului statistic

26. Testul t – Student
Testul statistic în care, pentru validarea ipotezei nule, statistica utilizată presupune existenţa repartiţiei t (Student)
Testul este aplicat, de exemplu, la următoarea problema : când se verifică ipoteza Ho: m 1= m0, indicatorul t are expresia: Cu
grade de libertate, n fiind volumul eşantionului

27. Test U (U – test)
Test utilizat pentru verificarea ipotezelor referitoare la mediile populaţiilor normale când se cunosc dispersiile teoretice.
Testul U are forme diferite, în funcţie de ipotezele statistice formulate:
De exemplu, când se verifică ipoteza H0: m = m0, testul U are expresia: