توزیع میانگین نمونه سعید موسوی

توزيع نمونه برداري اگر از يك جامعه ٧٠ ميليون نفري نمونه‌هاي ١٠٠٠ نفري بگيريم و ميانگين فشار خون سيستولي افراد هر نمونه را تعيين كنيم، اين ميانگين ها لزوماً با هم برابر نخواهند بود. اين ميانگين ها لزوماً با ميانگين كل جامعه ي ٧٠ ميليون نفري نيز برابر نيستند. اگر اين نمونه برداري را بار ها تكرار كنيم، مي‌توان براي اين ميانگين ها هم يك نمودار توزيع رسم كرد. به چنين نموداري اصطلاحاً «نمودار توزيع ميانگين‌ها» يا «نمودار توزيع نمونه‌برداري» گفته می شود.

تعریف توزیع نمونه برداری توزیع احتمالی آماره نمونه است که با تکرار نمونه گیری از جامعه با نمونه هایی از اندازه n حاصل می شود. آماره: میانگین،میانه و.... Population Sample

خواص توزیع نمونه گیری میانگین میانگین میانگین نمونه ها برابر است با میانگین جامعه انحراف معیار میانگین نمونه ها برابر است با انحراف معیار جامعه تقسیم بر جذر حجم نمونه و خطای معیار میانگین نامیده می شود.

مثال تمام نمونه های دو تایی ممکن (با جایگذاری) را از جامعه {5،10،15،20} بدست آورید و تحقیق کنید آیا میانگین میانگین نمونه ها با میانگین جامعه برابر است؟ Population 5 10 15 20

Probability Histogram of Population of x توزیع احتمال انتخاب هر عضو از جامعه Population values Probability 0.25 5 10 15 20 x P(x) Probability Histogram of Population of x این نمودار نشان می دهد که همه افراد جامعه شانس انتخاب برابر دارند.

تمام نمونه های دو تایی ممکن 15 10, 20 12.5 10, 15 10 10, 10 7.5 10, 5 5, 20 5, 15 5, 10 5 5, 5 Sample mean, Sample 20 20, 20 17.5 20, 15 15 20, 10 12.5 20, 5 15, 20 15, 15 15, 10 10 15, 5 Sample mean, Sample

Probability Histogram of Sampling Distribution توزیع میانگین نمونه ها 0.0625 1 20 0.1250 2 17.5 0.1875 3 15 0.2500 4 12.5 10 7.5 5 شکل توزیع میانگین نمونه ها متقارن و شبیه توزیع نرمال است Sample mean Probability 0.25 P(x) Probability Histogram of Sampling Distribution 0.20 0.15 0.10 0.05 17.5 20 15 12.5 10 7.5 5

f Probability *f * *f 5 1 0.0625 0.3125 1.5625 7.5 2 0.125 0.9375 7.03125 10 3 0.1875 1.875 18.75 12.5 4 0.25 3.125 39.0625 15 2.8125 42.1875 17.5 2.1875 38.28125 20 1.25 25

قضیه حد مرکزی اگر یک نمونه تصادفی (n>=30) n تایی که از یک جامعه دلخواه با میانگین μو انحراف معیار σ انتخاب شود توزیع میانگین نمونه به صورت نرمال خواهد بود x x

برای هر تعداد از حجم نمونه توزیع میانگین نمونه ها نرمال خواهد بود. اگر جامعه نرمال باشد برای هر تعداد از حجم نمونه توزیع میانگین نمونه ها نرمال خواهد بود. x x

مثال اگر عمر لامپ های تولیدی یک کارخانه میانگین 53 ماه و انحراف معیار 6 ماه داشته باشد. احتمال اینکه میانگین نمونه ی 36 تایی 1)کمتر از 52 باشد 2) بیشتر از 54 باشد 3) بین 51 و 55 باشد، چقدر است؟

اگر از جامعه ای با نسبت مشخص p نمونه ای با حجم زیاد انتخاب کنیم، نسبت برآورد شده از نمونه، دارای توزیع نرمال با میانگین p و واریانس p(1-p)/n خواهد بود.

مثال اگر نسبت افرادی که دارای بیماری قلبی هستند 0.06 باشد احتمال اینکه در نمونه ای 25 تایی نسبت برآورد شده کمتر از 0.05 باشد، بین 0.05 و 0.08 باشد و بیشتر از 0.07 باشد چقدر است؟

فاصله اطمینان فاصله ای از دامنه متغیر تصادفی که احتمال قرار گرفتن پارامتر واقعی جامعه در آن فاصله برابر احتما معینی باشد. این احتمال معمولا 90% 95% یا 99% فرض می شود.

ساختن فاصله اطمینان برای پارامتر جامعه

فاصله اطمینان برای میانگین جامعه

فاصله اطمینان برای نسبت جامعه

مثال میانگین وزن 100 نوزاد در هنگام تولد 2.1 کیلوگرم و واریانس 25 گزارش شده است. فاصله اطمینان 95% برای میانگین وزن نوزادان در هنگام تولد بدست آورید.

مثال پس از معاینه100 دانش آموز دوره راهنمایی معلوم شد که 20 نفر از آنها ضعف بینایی دارند. فاصله اطمینان 95% برای نسبت دانش آموزان راهنمایی که ضعف بینایی دارند بدست آورید.