1. Ali Karimpour Associate Professor Ferdowsi University of Mashhad ADVANCED CONTROL Reference: Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999.

2. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 2 Lecture 2 Basic Idea of Linear Algebra-Part I Topics to be covered include: v Basis, Representation, and Orthonormalization. v Linear Algebraic Equations. v Similarity Transformation. v Diagonal and Jordan Form.

3. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 3 آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزید فضای خطی حقیقی n- بعدی R n استقلال خطی و وابستگی خطی پایه های یک فضای خطی و نرم بردارهای متعامد و متعامد نرمال معادلات جبری خطی فضای رنج، فضای پوچ، رتبه و پوچی تبدیلات همانندی بردار ویژه و بردار ویژه توسعه یافته فرم کانونی، فرم قطری، فرم مودال و فرم جردن n-dimensional Real Vector Space R n Linearly Dependent and Linearly Independent Basis of a Linear Space and Norm Orthogonal Vectors and Orthonormal Vectors Linear Algebraic Equations Range Space, Null Space, Rank and Nullity Similarity Transfomation Eigenvectors and Generalized Eigenvector Canonical Form, Diagonal Form, Modal Form and Jordan Form ارتباط دترمینال و مقادیر ویژه، خاصیت نیل پوتنت Determinant and Eigenvalues and nilpotent property

4. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 4 n-dimensional real vector space R n اعضای فضای خطی حقیقی n- بعدی R n خاصیت مهم فضای خطی حقیقی n- بعدی R n بعنوان مثال

5. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 5 n-dimensional real vector space R n وابستگی خطی در فضای خطی حقیقی n- بعدی R n تعریف 2-1 : مجموعه بردارهای x 1 ، x 2 ،.... x m در فضای R n وابسته خطی اند اگر مجموعه نه تماما صفر  1 ،  2 ،.... ،  m یافت شود که اگر رابطه فوق تنها برای برقرار باشد در اینصورت بردارهای داده شده مستقل خطی می باشند.

6. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 6 n-dimensional real vector space R n مثال 2-1 : آیا بردارهای زیر مستقل خطی اند؟ چرا؟ مثال 2-2 : آیا بردارهای زیر مستقل خطی اند؟ چرا؟ نکته : وجود بردار صفر در هر مجموعه بردار........

7. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 7 n-dimensional real vector space R n خاصیت جالب بردارهای وابسته خطی اگر بردارها وابسته باشند قطعا یک ضریب مخالف صفر است لذا :

8. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 8 n-dimensional real vector space R n نکته مهم : حداکثر تعداد بردارهای مستقل در فضای R n برابر n است. مثال 2-3 : آیا بردارهای زیر مستقل خطی اند؟ چرا؟ مثال 2-4 : اگر بردارهای زیر مستقل خطی نیستند یکی را بر حسب مابقی نمایش دهید.

9. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 9 n-dimensional real vector space R n پایه های یک فضای خطی R n تعریف 2-2 : یک مجموعه بردار مستقل خطی در R n پایه نامیده می شود اگر هر بردار R n را بتوان بصورت منحصر بفردی توسط پایه ها نمایش داد. مثال 2-5 : آیا بردارهای مقابل پایه های فضای R 2 می باشد؟ چرا؟ مثال 2-6 : آیا بردارهای مقابل پایه های فضای R 2 می باشد؟ چرا؟ نکته : پایه های یک فضای برداری............... نکته : هر n بردار مستقل خطی در R n پایه های R n می باشد. چرا؟

10. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 10 Norms برای سنجش اندازه یک بردار در یک فضای خطی R n به مفهوم نرم نیاز داریم. نرم تابعی است که به هر عضو یک فضای خطی R n یک عدد حقیقی غیر منفی نسبت می دهد. نرم بایستی دارای خواص زیر باشد.

11. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 11 Norm of vectors For p=1 we have 1-norm For p=2 we have 2-norm or euclidian norm For p=∞ we have ∞-norm p-norm is:

12. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 12 Norm of vectors

13. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 13 Orthogonal and Orthonormal Vectors بردارهای متعامد و متعامد یکه تعریف 2-3 : یک بردار نرمال یا یکه نامیده می شود اگر نرم دو آن بردار برابر یک باشد. مثال 2-7 : کدام یک از بردارهای مقابل یکه است؟ مثال 2-8 : آیا بردارهای مقابل متعامدند؟ تعریف 2-4 : دو بردار x1 و x2 متعامد نامیده می شود اگر x 1 T x 2 =0 تعریف 2-5 : دو بردار x1 و x2 متعامد یکه نامیده می شود اگر x 1 T x 2 =0 و هر دو بردار یکه باشند.

14. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 14 Orthonormal lization ساخت مجموعه بردار متعامد یکه از مجموعه بردار مستقل خطی ( رویه اشمیت )

15. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 15 Orthonormal lization مثال 2-9 : بردارهای متعامد متناظر با بردارهای زیر را بیابید.

16. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 16 Linear Algebraic Equation مفهوم ضرب یک ماتریس در یک بردار : ضرب ماتریس A در بردار x یعنی چگونگی ترکیب ستونهای A چگونگی ترکیب ستونهای A را المانهای بردار x معین می کند. مفهوم ضرب یک بردار در یک ماتریس : ضرب ترانهاده بردار z در ماتریس A یعنی چگونگی ترکیب سطرهای A چگونگی ترکیب سطرهای A را المانهای بردار z معین می کند.

17. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 17 Linear Algebraic Equation در این بخش به مطالعه رابطه زیر می پردازیم فضای رنج ماتریس A: حداکثر تعداد بردار مستقل خطی در فضای رنج ماتریس A را رتبه A نامند. فضای پوچ ماتریس A: حداکثر تعداد بردار مستقل خطی در فضای پوچ ماتریس A را پوچی A نامند.

18. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 18 Linear Algebraic Equation الف ) پنج عضو فضای رنج ماتریس A را تعیین کنید. مثال 2-10 : ماتریس مقابل را در نظر بگیرید. ب ) رتبه ماتریس A را تعیین کنید. ج ) پنج عضو فضای پوچ ماتریس A را تعیین کنید. د ) پوچی ماتریس A را تعیین کنید. رتبه ماتریس A برابر 2 است. پوچی ماتریس A برابر 2 است.

19. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 19 Linear Algebraic Equation رتبه ماتریس A ، بعد فضای رنج و یا حداکثر تعداد ستون مستقل ماتریس A می باشد. نکته مهم : رتبه ماتریس A ، بعد فضای رنج و یا حداکثر تعداد سطر مستقل ماتریس A می باشد. پس : حداکثر تعداد سطر مستقل ماتریس A = حداکثر تعداد ستون مستقل ماتریس A نکته مهم : فرض کنید A یک ماتریس m  n باشد.

20. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 20 Linear Algebraic Equation قضیه 2-1: 1 - برای ماتریس A با ابعاد m  n و بردار y با ابعاد m  1 یک جواب x با ابعاد n  1 در معادله Ax=y وجود دارد اگر و فقط اگر y در فضای رنج A باشد یعنی  (A)=  ([A y]) 2 - برای ماتریس A با ابعاد m  n برای هر بردار y با ابعاد m  1 یک جواب x با ابعاد n  1 در معادله Ax=y وجود دارد اگر و فقط اگر A دارای رتبه m باشد. ( رتبه کامل سطری )

21. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 21 Linear Algebraic Equation قضیه 2-2 : تمام جوابها بصورت پارامتری برای ماتریس A با ابعاد m  n و بردار y با ابعاد m  1 ، فرض کنید x p یک جواب معادله Ax=y باشد و فرض کنید پوچی A برابر k باشد (k=n-  (A)) که  i ها دلخواه بوده و n i ها بردارهای مستقل فضای پوچ می باشد. اگر A دارای رتبه n باشد (k=0) در اینصورت جواب داده شده x p منحصر بفرد است. اگر A دارای رتبه کمتر از n باشد (k>0) در اینصورت تمام جوابهای معادله Ax=y از رابطه زیر بدست می آید.

22. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 22 Linear Algebraic Equation مثال 2-11 : برای سیستم مقابل مطلوبست کلیه جوابها واضح است که یک جواب معادله فوق عبارتست از : و تمامی جوابهای معادله فوق عبارتست از :

23. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 23 Linear Algebraic Equation قضیه 2-3 : ماتریس مربعی A و معادله زیر را در نظر بگیرید. Ax=y 2 - معادله همگن Ax=0 دارای جواب غیر صفر است اگر و فقط اگر A منفرد باشد. تعداد جوابهای مستقل خطی برابر با پوچی A است. 1 - اگر A غیر منفرد باشد در اینصورت معادله یک جواب منحصر بفرد داشته و جواب از رابطه A -1 y بدست می آید.

24. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 24 Similarity Transformation ماتریس A با ابعاد n  n و n بردار مستقل خطی را در نظر بگیرید : تبدیل همانندی بوده و بصورت زیر محاسبه می شود.

25. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 25 Similarity Transformation مثال 2-12 : مطلوبست تبدیل همانندی ماتریس A بر حسب پایه های داده شده

26. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 26 Similarity Transformation مثال 2-13 : مطلوبست تبدیل همانندی ماتریس A بر حسب پایه های داده شده

27. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 27 Similarity Transformation

28. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 28 Similarity Transformation مثال 2-14 : تبدیل همانندی ماتریس A بر حسب پایه های b, Ab, A 2 b

29. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 29 Similarity Transformation

30. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 30 Diagonal Form کافیست بردارهای ویژه ماتریس A بعنوان پایه ها انتخاب شود. البته اگر مقادیر ویژه تکراری نباشد.

31. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 31 Diagonal Form اگر مقادیر ویژه A تکراری نبوده و بردارهای ویژه ماتریس A بعنوان پایه ها انتخاب شود. در اینصورت : چگونگی محاسبه مقادیر ویژه A: در صورت تکراری نبودن مقادیر ویژه A: چگونگی محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از مقادیر ویژه A:

32. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 32 تبدیل همانندی ماتریس A بر حسب پایه های v 1, v 2, …, v n Diagonal Form

33. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 33 مثال 2-15 : در صورت امکان فرم قطری ماتریس A و تبدیلی که ماتریس A را بفرم قطری تبدیل می کند را تعیین کنید. ابتدا محاسبه مقادیر ویژه A: حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از مقادیر ویژه A: Diagonal Form

34. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 34 مثال 2-16 : درصورت امکان فرم قطری ماتریس A و تبدیلی که ماتریس A را بفرم قطری تبدیل می کند را تعیین کنید. ابتدا محاسبه مقادیر ویژه A: حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از مقادیر ویژه A: Diagonal Form

35. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 35 مثال 2-17 : فرم مودال ماتریس A و تبدیلی که ماتریس A را بفرم مودال تبدیل می کند تعیین کنید. ابتدا محاسبه مقادیر ویژه A: حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از مقادیر ویژه A: Modal Form

36. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 36 Jordan Form اگر مقادیر ویژه A تکراری نبوده و بردارهای ویژه ماتریس A بعنوان پایه ها انتخاب شود. در اینصورت : اگر مقادیر ویژه A تکراری باشد، در اینصورت :

37. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 37 مثال 2-18 : در صورت امکان فرم قطری ماتریس A و تبدیلی که ماتریس A را بفرم قطری تبدیل می کند را تعیین کنید. Jordan Form ابتدا محاسبه مقادیر ویژه A: حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از مقادیر ویژه A:

38. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 38 مثال 2-19 : در صورت امکان فرم قطری ماتریس A و تبدیلی که ماتریس A را بفرم قطری تبدیل می کند را تعیین کنید. Jordan Form ابتدا محاسبه مقادیر ویژه A: حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از مقادیر ویژه A: امکان قطری سازی نیست پس به فرم جردن می رسیم و لذا برای این فرم : به بردار ویژه توسعه یافته نیاز داریم

39. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 39 Diagonal Form چگونگی محاسبه مقادیر ویژه A: چگونگی محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از مقادیر ویژه A: چگونگی محاسبه بردار ویژه توسعه یافته مرتبه 2 چگونگی محاسبه بردار ویژه توسعه یافته مرتبه 3

40. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 40 مثال 2-19 : فرم قطری یا جردن ماتریس A و تبدیلی که ماتریس A را بفرم قطری یا جردن تبدیل می کند را تعیین کنید. Jordan Form ابتدا محاسبه مقادیر ویژه A: حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از مقادیر ویژه A:

41. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 41 مثال 2-19 : فرم قطری با جردن ماتریس A و تبدیلی که ماتریس A را بفرم قطری یا جردن تبدیل می کند را تعیین کنید. Jordan Form ابتدا محاسبه مقادیر ویژه A: حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از مقادیر ویژه A:

42. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 42 مثال 2-20 : فرم قطری ماتریس A و تبدیلی که ماتریس A را بفرم قطری تبدیل می کند را تعیین کنید. Jordan Form ابتدا محاسبه مقادیر ویژه A: حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از مقادیر ویژه A: حال با توجه به پوچی 2 دو حالت ممکن است رخ دهد : یافتن دو بردار ویژه توسعه یافته مرتبه 2 یافتن یک بردار ویژه توسعه یافته مرتبه 3

43. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 43 مثال 2-20 : فرم قطری ماتریس A و تبدیلی که ماتریس A را بفرم قطری تبدیل می کند را تعیین کنید. Jordan Form حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از مقادیر ویژه A: یافتن بردار ویژه توسعه یافته بردار ویژه توسعه یافته مرتبه 3 نداریم ولی دو مرتبه 2 داریم

44. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 44 مثال 2-20 : فرم قطری ماتریس A و تبدیلی که ماتریس A را بفرم قطری تبدیل می کند را تعیین کنید. Jordan Form حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از مقادیر ویژه A: یافتن بردار ویژه توسعه یافته مرتبه 2 تعداد بلوک متناظر با 2- = ؟

45. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 45 مثال 2-21 : فرم قطری ماتریس A و تبدیلی که ماتریس A را بفرم قطری تبدیل می کند را تعیین کنید. Jordan Form ابتدا محاسبه مقادیر ویژه A: حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از مقادیر ویژه A: حال با توجه به پوچی 2 دو حالت ممکن است رخ دهد : یافتن دو بردار ویژه توسعه یافته مرتبه 2 یافتن یک بردار ویژه توسعه یافته مرتبه 3

46. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 46 مثال 2-21 : فرم قطری ماتریس A و تبدیلی که ماتریس A را بفرم قطری تبدیل می کند را تعیین کنید. Jordan Form حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از مقادیر ویژه A: یافتن بردار ویژه توسعه یافته مرتبه 2 یا 3 یک بردار ویژه توسعه یافته مرتبه 3 داریم

47. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 47 مثال 2-21 : فرم قطری ماتریس A و تبدیلی که ماتریس A را بفرم قطری تبدیل می کند را تعیین کنید. Jordan Form حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از مقادیر ویژه A: یک بردار ویژه توسعه یافته مرتبه 3 داریم حال برای محاسیه آخرین بردار ویژه، این بردار باید از سایر بردارها مستقل یاشد و (A- 1 I)q 4 =0 پس : تعداد بلوک متناظر با 2- = ؟

48. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 48 Determinant and Eigenvalues رابطه ماتریس A و فرم جردن آن : دترمینال ماتریس A و دترمینال فرم جردن آن : دترمینال ماتریس A و مقادیر ویژه آن :

49. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 49 Nilpotent Property خاصیت نیل پوتنت در مورد بلوک های جردن : بلوک جردن مقابل را در نظر بگیرید :

50. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 50 Exercises تمرینها تمرین 2-1 : بردارهای متعامد متناظر با بردارهای زیر را بیابید. تمرین 2-2 : مطلوبست نرم 1 و نرم 2 و نرم بینهایت بردارهای زیر : تمرین 2-3 : مطلوبست پوچی و رتبه ماتریسهای زیر :

51. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 51 Exercises تمرینها تمرین 2-4 : مطلوبست پایه های فضای رنج و پایه های فضای پوچ ماتریسهای زیر : تمرین 2-5 : معادله جبری زیر را در نظر بگیرید : آیا یک جواب x برای معادلات فوق وجود دارد؟ آیا جواب منحصر بفرد است؟ آیا برای y=[1 1 1]’ جواب وجود دارد؟ تمرین 2-6 : کلیه جوابهای معادله جبری زیر را بیابید.

52. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 52 Exercises تمرینها تمرین 2-7 : مطلوبست تبدیل همانندی A بر حسب پایه های b ، Ab ، A 2 b و A 3 b. تمرین 2-8 : فرم قطری ماتریس A و تبدیلی که ماتریس A را بفرم قطری تبدیل می کند را تعیین کنید. تمرین 2-9 : فرم قطری ماتریس A و تبدیلی که ماتریس A را بفرم قطری تبدیل می کند را تعیین کنید.

53. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 53 Exercises تمرینها تمرین 2-10 : مطلوبست دترمینال ماتریسهای زیر بدون انجام محاسبه

54. lecture 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 54 Answers to selected problems جواب 2-3 : رتبه ها بترتیب 2 ، 3 و 3 و پوچی بترتیب 1 ، 0 و 1 جواب 2-5 : یک جواب منحصر بفرد x=[1 1] T و بدون جواب برای y داده شده جواب 2-7: