نمايش معادلات فضاي حالت توسط فرمهاي كانوليكال زمستان 1382 Dr. H. Bolandi هدف : با فرض مشخص بودن تابع تبديل سيستم، تحقق های فضای حالت که از اهميت ويژه ای بر خوردار هستند را بدست می آوريم. الف) فرم كانونيكي كنترل‌پذير ب) فرم كانونيكي مشاهده‌پذير ج) فرم كانونيكي قطري (جردن) اين تحقق ها عبارتند از: تابع تبديل زير را در نظر می گيريم: تبديل لاپلاس ورودي : تبديل لاپلاس خروجي :

فرم کانونيکی کنترل پذير زمستان 1382 Dr. H. Bolandi مدل فضای حالت : ويژگی ها : 1) اين تحقق همواره کنترل پذير است. 2) در صورتيکه تابع تبديل سيستم، قطب و صفر مشترکی نداشته باشند، اين تحقق رويت پذير خواهد بود.

مدل فضای حالت : ويژگی ها : فرم کانونيکی رويت پذير زمستان 1382 Dr. H. Bolandi مدل فضای حالت : ويژگی ها : 1) اين تحقق همواره رويت پذير است. 2) در صورتيکه تابع تبديل سيستم، قطب و صفر مشترکی نداشته باشند، اين تحقق کنترل پذير خواهد بود.

فرم کانونيکی قطری (جردن) زمستان 1382 Dr. H. Bolandi حالت اول : اگر مقادير ويژه سيستم، حقيقی و غير تکراری باشند. مدل فضای حالت : ويژگی ها : 1) اين تحقق همواره کنترل پذير است. 2) در صورتيکه باشند، اين تحقق رويت پذير خواهد بود.

حالت دوم : اگر تعدادی از مقادير ويژه سيستم، حقيقی و تکراری باشند. حالت دوم : اگر تعدادی از مقادير ويژه سيستم، حقيقی و تکراری باشند. زمستان 1382 Dr. H. Bolandi مدل فضای حالت : ويژگی ها : 1) اين تحقق همواره کنترل پذير است اگر و فقط اگر آخرين سطر بلوکهای جردن مربوط به هر مقدار ويزه تکراری، در ماتريس B مستقل خطی (اگر تنها يک بردار باشد، مخالف صفر) باشند . 2) اين تحقق همواره رويت پذير است اگر و فقط اگر اولين ستون بلوکهای جردن مربوط به هر مقدار ويزه تکراری، در ماتريس C مستقل خطی (اگر تنها يک بردار باشد، مخالف صفر) باشند .

يعني مقادير ويژه ماتريس A في‌الواقع همان قطبهاي سيستم مي‌باشند. بدست آوردن تابع تبديل از معادلات فضاي حالت زمستان 1382 Dr. H. Bolandi حالت اول : سيستمهای تک ورودی – تک خروجی (SISO) تبديل لاپلاس تابع تبديل يعني مقادير ويژه ماتريس A في‌الواقع همان قطبهاي سيستم مي‌باشند.

مثال : تابع تبديل سيستم زير را بدست آوريد : زمستان 1382 Dr. H. Bolandi

حالت دوم : سيستمهای چند ورودی – چند خروجی (MIMO) اگر بردار ورودي u، m بعدي و بردار خروجي y ، l بعدي باشد، آنگاه ماتريس G عبارت است از : زمستان 1382 Dr. H. Bolandi در واقع عنصر (i , j) ام از تابع G ، ، تبديلي است كه خروجي i ام را به ورودي j ام مربوط مي‌سازد. بنابراين :

حل معادلات LTI بصورت هموژن «حل معادلات حالت سيستمهاي تغييرناپذير با زمان» زمستان 1382 Dr. H. Bolandi سيستم ديناميكي LTI توصيف شده با معادلات زير داده شده است: (1) (2) حل معادله اول پاسخ حالت سيستم را فراهم مي‌كند كه با جايگزيني آن در معادله دوم، پاسخ سيستم بدست مي‌آيد. حل معادلات LTI بصورت هموژن ابتدا معادلات حالت همگن را با درنظر گرفتن u=0 حل مي‌كنيم. در اينصورت داريم:

اگر فرض كنيم كه پاسخ سيستم بصورت زير باشد: زمستان 1382 Dr. H. Bolandi اگر بردار (2) را در (1) قرار دهيم بدست مي‌آيد: اگر جواب فرض شده واقعي باشد، اين نتيجه اخير بايد براي تمام t ها معتبر باشد (ضرايب t در دو طرف مساوي باشند) . يعنی :

پاسخ سيستم : زمستان 1382 در معادله ( 2 ) اگر t=0 باشد: Dr. H. Bolandi در معادله ( 2 ) اگر t=0 باشد: عبارت داخل پرانتز كه موسوم به Matrix Exponantial مي‌باشد يك ماتريس است كه:

خواص ماتريس انتقال حالت زمستان 1382 Dr. H. Bolandi 1) از آنجايي كه ماتريس انتقال حالت ، طبق رابطه زير بيان می شود: لذا مي‌توان از اين معادله در محاسبات كامپيوتري استفاده نمود. 2) مي‌توانيم ثابت كنيم كه : اثبات:

3) 4) 5) اگر s=-t باشد : نتايج الف ) عكس برابر است با . زمستان 1382 Dr. H. Bolandi 3) 4) 5) اگر s=-t باشد : نتايج الف ) عكس برابر است با . ب) از آنجايی که وارون ماتريس نمايی همواره موجود می باشد، ماتريس انقال حالت يک ماتريس ناويژه است.

روش حل معادلات حالت همگن LTI با استفاده از تبديل لاپلاس 6) زمستان 1382 Dr. H. Bolandi روش حل معادلات حالت همگن LTI با استفاده از تبديل لاپلاس تبديل لاپلاس عکس تبديل لاپلاس

ماتريس انتقال حالت (state transition Matrix ) زمستان 1382 Dr. H. Bolandi حل معادلات همگن را مي‌توان بصورت زير نوشت: در رابطه فوق، پاسخ منحصر بفرد معادله زير می باشد: اثبات:

خلاصه مطالب زمستان 1382 Dr. H. Bolandi

خواص ماتريس انتقال حالت زمستان 1382 Dr. H. Bolandi 1) 2) اثبات: 3) اثبات:

4) زمستان 1382 Dr. H. Bolandi 5) 6)

حل معادلات حالت ناهمگن LTI زمستان 1382 Dr. H. Bolandi (1) (2) (3) (4) انتگرال از طرفين

همانطوريكه از معادله پاسخ سيستم استنتاج مي‌شود، اين پاسخ از دو بخش تشكيل شده است: زمستان 1382 Dr. H. Bolandi

حل معادلات ناهمگن LTI با استفاده از تبديل لاپلاس زمستان 1382 Dr. H. Bolandi تبديل لاپلاس

مثال 1 : پاسخ سيستم زير به ورودی پله واحد را محاسبه نماييد. زمستان 1382 Dr. H. Bolandi حل :

زمستان 1382 Dr. H. Bolandi مثال 2 : پاسخ سيستم زير به ورودی پله واحد را با استفاده از تبديل لاپلاس محاسبه نماييد. حل :

زمستان 1382 Dr. H. Bolandi معادله مشخصه ماتريس را درنظر بگيريد. اسکالر را يك مقدار ويژه از ماتريس A مي‌نامند اگر يك بردار غير صفر x به نحوي وجود داشته باشد كه : به بردار غير صفر x كه اين رابطه را برقرار مي‌سازد بردار ويژه A متناظر با مقدار ويژه گفته می شود. معادله فوق يك معادله هموژنيوس است. معادله مشخصه ماتريس A

مثال 2 : مقادير ويژه و بردارهای ويژه ماتريس زير را محاسبه نماييد. زمستان 1382 Dr. H. Bolandi حل :

مثال 2 : مقادير ويژه و بردارهای ويژه ماتريس زير را محاسبه نماييد. زمستان 1382 Dr. H. Bolandi

Similarity transformation تبديلات همانندی زمستان 1382 Dr. H. Bolandi Similarity transformation Two matrices A & B of the same order are said to be similar , if there exists a matrix s such that inv(S*(A* S=B Actually the Matrix B is said to be the similarity of A by s And A is similar transform of B by inv(S). اهميت بهره‌گيري از تبديل همانندي به علل زير مي‌باشد: