1. مدلسازي تجربي – تخمين پارامتر
مدلسازی سيستم های بيو لوژيکی
دكتر توحيدخواه
جلسه دوازدهم
مدلسازي تجربي – تخمين پارامتر

2. Prediction Error Method
(PEM)
در بسياري از موارد از مدل­ها براي پيش­بيني استفاده مي شود. بيشتر سيستم ها به صورت آماري درنظر گرفته مي شوند که به اين معنا است که خروجي در لحظه t به طور دقيق قابل محاسبه از روي داده هاي مربوط به لحظه t-1 نيست. از طرفي اطلاع از اينکه اطلاعات مربوط لحظه t-1 چه خروجي در لحظه t خواهند داد نيز مسئله مهمي در کنترل سيستم است. بنابراين پارامترθ به عنوان پارامتر خطاي پيش بيني تعريف مي شود.

3. که خروجي لحظه t و خروجي پيش بيني شده در لحظه t از روي اطلاعات لحظه t-1 بر اساس پارامتر θ است. اگر رابطه مدل را به صورت يک فرآيند درنظر بگيريم، پيش بيني کننده خطي به صورت رابطه زیر تعريف مي شود.
که تابعي از اطلاعات گذشته خواهد بود در شرايطي که و
باشد.از رابطه بالا براي موارد زيادي از جمله محاسبه خطاي پيش بيني مورد استفاده قرار مي گيرد. پارامتر θ به نحوي انتخاب مي شود که خطاي پيش بيني به حداقل مقدار خود برسد.

4. بلوک دیاگرام شناسایی سیستم با استفاده از PEM

5. به طور کلي روش خطاي پيش بينی (PEM) که يکی از روش هاي شناسايي سيستم است، به محاسبه پارامتر θ براي بهترين تخمين از خروجي سيستم مي پردازد. اين روش يک روش کلي جهت بدست آوردن يک مدل پارامتريک از ديناميک سيستم است که خيلي شبيه روش حداقل مربعات (LSE) است. از جمله مزاياي آن اين است که براي سيستم هاي MIMO نيز قابل استفاده است.
مراحل استفاده از اين روش به اين صورت است:
انتخاب ساختاري براي مدل: تعريف فرآيند سيستم بر اساس رابطه بين ورودي، خروجي و نويز وارد شده به سيستم که در آن نويز و ورودي دو متغيير مستقل از يکديگر درنظر گرفته مي شوند. معمولاً از در روش PEM از ساختار ARX استفاده مي شود.

6. ساختار يک مدل ARX

7. -انتخاب تابع پيش بيني کننده :انتخاب فيلترهاي و که يک روش متداول براي تعيين اين فيلترها پيش بيني کننده بهينه ميانگين مربعات است. در اين روش فيلترها به نحوي تعريف مي شوند که خطاي پيش بيني از کمترين واريانس برخوردار باشد.
- انتخاب معيار: تعريف خطاي پيش بيني براي ارزيابي پيش بيني صورت گرفته که در روش PEM اين معيار به حداقل رساندن خطا با انتخاب مناسب پارامتر θ مدل درنظر گرفته شده است. توصيف رياضي اين معيار در رابطه زیر مشاهده مي شود.

8. که N تعداد داده­هاي در دسترس و که يک ماتريس مثبت معين است، به عنوان معياري براي خطاي پيش بيني تعريف شده است که پارامترهاي مدل با مينيمم کردن اين معيار بدست مي آيد.

14. Prediction Error Method
(PEM)

15. Vt نويز سفيد اعمال شده به سيستم است که با ورودي ناهمبسته است.
مثال: سیستمی به صورت زیر در نظر بگیرید، فرض كنيد مي خواهيم را در لحظه (t-1) با استفاده از روش PEM طوري تخمين بزنيم كه خطاي تخمين مينيمم شود.
Vt نويز سفيد اعمال شده به سيستم است که با ورودي ناهمبسته است.

16. چون نويز سفيد است، و مستقل هستند.

17. پيش بيني خروجي با داشتن مدل سيستم

18. فرض مي كنيم c,b,a موجود است و مي خواهيم را تخمين بزنيم. را نداريم.

19. با داشتن خروجي، ورودي و مدل نويز، نويز را حساب مي كنيم.
در حالت كلي داريم:

20. Prediction Error = از روش نيوتن – رافسون استفاده مي كنيم.
در PEM هدف اين است كه θ را بنحوي پيدا كنيم كه V مينيمم شود.
از روش نيوتن – رافسون استفاده مي كنيم.
در روش Iterative PEM: ابتدا با استفاده از روش L.S و سفيد فرض كردن نويز تخمين θ را به دست مي آوريم. سپس از روش نيوتن-رافسون مقدار جديد θ محاسبه مي شود و اين سيكل تا آنجا ادامه مي يابد تا θ همگرا شود.

21. ارزيابي مدل Model Validation

22. استفاده از (residual) Prediction error براي امتحان مدل:
اگر تخمين دقيق باشد بايستي خطاي تخمين (v’(t)) با v(t) برابر باشد.
( كه در لحظه t-1 قابل پيش بيني نيست.)
چون v(t) نويز سفيد است، بنابراين مشتق آن(خطاي تخمين ) هم نويز سفيد است.
بنابراين ميزان سفيد بودن(Correlation) v’(t) تعيين كننده ميزان دقت است كه به دو روش تست مي شود.
1- اتوکرولیشن، تابع ضربه است.
2- در صورتيكه ورودي هم نويز سفيد است، بايستي Cross Correlation آن با u(t) صفر باشد.

23. مثال 2) سيستمي با ساختار زير وجود دارد.
اين سيستم را به صورت يک فرآيند ARX مدل کنيم.
يک نويز سفيد با ميانگين صفر درنظر گرفته شده است. مي­خواهيم با استفاده از روش PEM پارامترهاي مدل را شناسايي کنيم.

24. همانطور که مشاهده مي شود براي اين مثال مشابه روش LSE عمل شده است.

25. اعتبارسنجي مدل با استفاده از PEM
تعيين اين مسئله که آيا مدل درنظر گرفته شده معتبر است يا خير، اعتبار سنجي مدل گفته مي شود.
معتبر بودن يک مدل تنها براي يک هدف مشخص مورد سنجش قرار مي گيرد، زيرا اکثر مدلها قابليت پاسخگويي تمامي ويژگي هاي يک سيستم را ندارند. يک روش عمومي براي اين کار مقايسه خروجي مدل با خروجي سيستم به ازاي يک ورودي يکسان است.

26. اگر تخمين صورت گرفته براي مدل دقيق باشد، بايد خطاي تخمين ( ) برابر است با که همان نويز سفيد اعمال شده به سيستم است، شود. بنابراين ميزان سفيد بودن خطا نشان دهنده ي دقت مدل است. براي بررسي ميزان سفيد بودن خطاي تخمين مي توان از دو روش استفاده کرد:
محاسبه اتوکروليشن خطاي تخمين که اگر برابر با تابع ضربه شد که به معناي سفيد بودن اين خطا و دقت بالاي مدل تخمين­زده شده است. براي تخمين تابع اتوکورليشن از رابطه زیر مي­توان استفاده کرد.
ورودي سيستم را نويز سفيد درنظر گرفته و همبستگي آن را با خطاي سيستم محاسبه کنيم. اگر اين دو از هم ناهمبسته بودند يعني مدل از دقت و اعتبار خوبي برخوردار است.