3. دانشگاه صنعتي اميركبير
دانشكده مهندسي پزشكي
استاد درس
دكتر فرزاد توحيدخواه
بهمن 1389
MPC Stability-1
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه 3

4. Discrete-time MPC with Prescribed
Degree of Stability
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

5. Finite Prediction Horizon: Re-visited
Example 4.1.
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

6. Condition number of the Hessian matrix increases
as the prediction horizon Np increases.
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

7. Using Laguerre functions (for real time):
Origin of the Problem
Using Laguerre functions (for real time):
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

8. When there is an integrator in the system matrix A, the norms of the matrix power ||Am|| and the convolution sum ||φ(m)|| do not decay to zero, as m increases.
Thus, the magnitudes of the elements in Ω increase as the prediction horizon Np increases. Hence, if the prediction horizon Np is large, a numerical conditioning problem occurs. This problem exists in the majority of the classical predictive controllers formulations, including GPC and DMC.
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

9. Traditional solution (previous chapter):
Use of an inner-loop state feedback stablization that may compromise the closed-loop performance when constraints become active, or the use of prediction horizon Np and control horizon Nc as the tuning parameters
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

10. Idea basis:
For a large Np, a large number is divided by another large number. This numerical problem becomes severe when the plant model itself is unstable, or when the dimension of the matrix A is large.
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

11. 2- Asymptotic stability
Solution:
1- Improving the numerical condition of MPC algorithms without guaranteeing closed-loop stability.
2- Asymptotic stability
3- Create a prescribed degree of closed-loop stability for the predictive control algorithm.
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

12. Use of Exponential Data Weighting
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

13. eλt Continuous-time (in the LQR design): Discrete-time:
{αj, j = 0, 1, },
α = eλt with t being the sampling interval.
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

14. Cost Function:
α = 1 the cost function becomes identical to the traditional cost function.
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

15. Exponentially Increasing Weight (α < 1):
Exponential weights α−2j , j = 1, 2, ,Np, de-emphasizes the state x(ki + j | ki) at the current time and places emphasis on those at the future time.
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

16. Exponentially Decreasing Weight (α >1):
Exponential weights α−2j , j = 1, 2, ,Np, more emphasizes the state x(ki + j | ki) at the current time and less emphasis on those at the future time.
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

17. Optimization of Exponentially Weighted
Cost Function
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

18. کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

19. Weighted incremental control:
Weighted state variable:
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

20. Theorem 4.1. The minimum solution of the exponentially weighted cost function J can be found by minimizing:
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

21. Example 4.2.
Consider the same double-integrator system given in Example 4.1. Examine how the parameter α used in the weighting affects the numerical condition and closed-loop control performance with constraints on the amplitude of the control signal as (only impose constraints on the first sample of the control)
α = 1/1.2 (exponentially increasing weight), α = 1 (no exponential weighting) and α = 1.2 (exponentially decreasing weighting)
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

22. کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

23. کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

24. 1- with exponentially increasing weighting, the Hessian matrix is poorly conditioned even for short prediction
horizon;
2- without exponential weighting the condition number increases rapidly as the prediction horizon increases.
3- with exponentially decreasing data weighting, the condition number converges to a finite value and is much smaller than the one obtained without using exponential weighting.
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

25. Obviously, it is not feasible to use exponentially increasing weighting in this context, as the numerical condition rapidly deteriorates as prediction horizon increases, when α < 1.
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

26. Interpretation of Results from Exponential Weighting
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

27. of all eigenvalues < 1
The key point is that by transforming the exponentially weighted cost function to the traditional cost function, the augmented state-space model:
maximum modulus
of all eigenvalues < 1 If
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

28. With this simple modification, intuitively we understand that there is no guarantee on the closed-loop stability with an arbitrary choice of α > 1.
However, when α is chosen to be slightly larger than one for the class of stable plants with embedded integrator, the closed-loop predictive systems are often found to be stable with Q = CTC and a diagonal R matrix with small positive elements.
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

29. For the first time, the prediction horizon Np can be selected to be sufficiently large to approximate the infinite prediction horizon case. Thus with Q ≥ 0 and R > 0, and sufficiently large (Np→∞), minimizing
is equivalent to the discrete-time linear quadratic regulator (DLQR) problem.
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

30. The traditional DLQR problem is solved using the algebraic Riccati equation
controllable
observable
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

31. closed-loop system:
Because
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

32. closed-loop system is stable.if
closed-loop system is stable.
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

33. Second method:
For stability
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

34. the closed-loop system A−BK would often be stable.
By choosing α > 1, there is no guarantee that the closed-loop of the original system will be stable. But, if α is chosen to be slightly larger than unity, then
the closed-loop system A−BK would often be stable.
Indeed, a large number of simulation tests show that this simple modification usually produces a stable closed-loop system, if the unstable modes from the augmented model come from the embedded integrators. However, a proper choice of the weight
matrices Q and R is important to create the degree of stability 1 − ε for the transformed system.
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

35. Asymptotic Closed-loop Stability with Exponential Weighting
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

36. Modification of Q and R Matrices
Basic idea:
The exponentially decreasing weight α > 1 increased the magnitudes of the actual closed-loop eigenvalues by the α factor. If the new Q and R matrices are selected to decrease the magnitudes of the eigen-values of the exponentially weighted system by a factor of α−1, then the magnitudes of the actual closed-loop eigenvalues become unchanged
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

37. Theorem 4.2.
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

38. کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

39. Interpretation of the Results
The essence of the results lies in the fact that the two cost functions lead to the same optimal control. However, the commonly used cost function is limited to a finite prediction horizon for the class of predictive control algorithms that have embedded integrators. In contrast, the exponentially weighted cost function removes the problem because the model used in the prediction is modified to be stable using the factor α. As a result, the prediction horizon Np can be selected to be sufficiently large without numerical problems. Hence, asymptotic closed-loop stability is guaranteed
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

40. Example 4.3.
Consider the simple double-integrator system described in 4.1
Design a MPC with an integrator for disturbance rejection,
Calculate the closed-loop eigenvalues, gain matrix via the cost function using exponential data weighting with α = 1.6 and compare the results with the case without weighting (α = 1)
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

41. With exponential data weighting
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

42. کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

43. کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

44. کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

45. Without exponential data weighting (α = 1)
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

46. کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

47. MIMO system
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

48. Example 4.4.
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

49. کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

50. کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

51. کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

52. کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

53. کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

54. کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

55. کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

56. دانشگاه صنعتي اميركبير
دانشكده مهندسي پزشكي
مبحث پايداری
تنظيم
سجاد جعفري
استاد درس
دكتر فرزاد توحيدخواه
بهمن 1387
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه 56

57. حتي MPC خطي هنوز در حوزه پايداري و مقاوم بودن آن داراي مسائل جديد است
پايداری
با تغيير افق‌ها ( ny , nu) خواص MPC متفاوت مي‌شود. يعني مثلاً مي‌تواند حتي پايدار و ناپايدار شود
حتي MPC خطي هنوز در حوزه پايداري و مقاوم بودن آن داراي مسائل جديد است
در MPCغيرخطي مسائل فوق حادتر شده و موضوعات جديدتري نسبت به MPCخطي وجود دارد
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

58. روشهای بررسی پايداري GPC
1-روشهاي كلاسيك (پايدار كردن قطبهاي سيستم حلقه بسته (يا مقادير ويژه سيستم حلقه بسته)) اگر قطب‌ها يا مقادير ويژه در داخل دايره واحد بود سيستم پايدار است. در غير اين صورت سيستم ناپايدار است. (z=1 پايدار مرزي)
2-حل MPC مقيد با تابع هزينه همراه با محدوديت حالت نهايي صفر
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

59. پيچيدگي روش ناشي از محدوديت سخت (Hard Constraints)
اشكالات
پيچيدگي روش ناشي از محدوديت سخت (Hard Constraints)
2. خطاي آفست در خروجي
3. اشباع در ورودي (u)
4. امكان نرسيدن به پاسخ مطلوب
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

60. روشهای بررسی پايداري GPC
3- روش لياپانوف
4- روش شبيه سازي
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

61. وجود داشته باشد به طوريكه:
روش لياپانوف
تعريف :
مربوط به
پايدار است اگر براي هر
مقدار
وجود داشته باشد به طوريكه:
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

62. ناپايدار است اگر پايدار نباشد. تعريف : مربوط به
روش لياپانوف
ناپايدار است اگر پايدار نباشد.
تعريف :
مربوط به
تعريف :
مربوط به
پايدار مجانبي است اگر پايدار باشد
و بتوان
را چنان يافت كه
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

63. فرض كنيدx=0 يكي از نقاط تعادل باشد. در اين صورت اگرV تابعي
روش لياپانوف
قضيه لياپانوف
فرض كنيدx=0 يكي از نقاط تعادل
باشد. در اين صورت اگرV تابعي
پيوسته و مشتق‌پذير باشد و
V(x)>0 باشد، آنگاه x=0 پايدار لياپانوفي است اگر
علاوه بر آن پايدار مجانبي است اگر
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه

64. روش لياپانوف
مثال
Q بايد منفي معين باشد.
کنترل پيش بين-دکتر توحيدخواه