1. تبديل همانندي در معادلات حالت و خروجي P ماتريس تبديل ثابت و ناويژه
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
P را ماتريس تبديل همانندي تعريف مي‌كنيم.
كه دو سيستم را equivalent مي‌ناميم.

2. قطري سازي معادلات حالت و خروجي
براحتي مي‌توان نشان داد كه معادله مشخصه سيستم تحت تبديل، تغيير نخواهد كرد.
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
قطري سازي معادلات حالت و خروجي

3. زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
مثال :

4. زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
These are also given by the eigenvalues of matrix A. Notice that the system is open loop stable. This means that with no control action δ, if an initial disturbance is introduced in the angle θ, it will go back to zero asymptotically. As the metacentric height :
gets closer to zero, one open loop pole goes to zero. (Can you see this from the form of the A matrix? What is the physical significance of a zero pole?) The open loop zero is the root of the numerator of the transfer function is − The transfer function can also be computed by starting with the equations of motion :
Constructing the block diagram from δ to θ, and reducing it, as we did in Section 1.2.

5. « كنترل‌پذيري و مشاهده‌پذيري»
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
به طور كلي تحليل‌هاي به عمل آمده در خصوص يك سيستم شامل تحليل‌هاي كمي و تحليل‌هاي كيفي است. در تحليل‌هاي كمي به دنبال آن هستيم تا دريابيم كه exact solution يك سيستم نسبت به يك ورودي اعمالي چيست؟
اين موضوعي بوده كه تاكنون به آن پرداخته‌ايم. در بحث تحليل‌هاي كيفي به دنبال خواص سيستم يا مشخصات عمومي سيستم هستيم. در اين راستا در بررسي و تحليل كيفي سيستم‌ها دو خاصيت كنترل‌پذيري و مشاهده‌پذيري براي سيستم‌هاي خطي را در اينجا مورد بررسي قرار مي‌دهيم.
كالمن نشان داد كه يك حذف قطب ـ صفر تنها به ناپايداري سيستم منجر شده، كه علي‌الظاهر سيستم مي‌تواند از يك تابع تبديل پايدار نيز برخوردار باشد. در چنين حالتي تابع تبديل درجه‌اي كمتر از درجة سيستم خواهد داشت و مددهاي ناپايدار يا از ورودي سيستم تأثير نمي‌گيرند (كنترل‌ناپذير) و يا اينكه اين مدها در خروجي ظاهر نمي‌شوند. (مشاهده‌ناپذير)

6. سيستم درجه 4 كه با درجه 1 نشان مي‌دهيم.
مثال :
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
سيستم درجه 4 كه با درجه 1 نشان مي‌دهيم.
يعني در واقع سه عدد از قطبها دقيقاً هم مكان با صفرها بوده و حذف مي‌شوند.

7. براي توضيح بيشتر سيستم را قطري مي‌كنيم:
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi

8. نمايش جديد داراي 4 زير سيستم متفاوت است :
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
نمايش جديد داراي 4 زير سيستم متفاوت است :

9. بعبارتي كالمن نشان مي‌دهد كه هر سيستم بصورت زير
را مي‌توان با 4 زير سيستم نشان داد :
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi

10. جمع بندي :
اگر يك سيستم SISO داشته باشيم و درجه تابع تبديل آن كمتر از بعد سيستم باشد آنگاه سيستم داراي خصوصيات زير است:
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
يا سيستم كنترل‌پذير نيست.
يا سيستم مشاهده‌پذير نيست.
يا سيستم نه كنترل‌پذير نه مشاهده پذير است.
پايدار پذيري: سيستمهايي هستند كه زيرسيستم كنترل‌ناپذير آنها پايدار باشد.
آشكارپذيري: سيستم‌هايي هستند كه زيرسيستم رؤيت ناپذير آنها پايدار باشند.

11. كنترل‌ناپذيري مشاهده‌ناپذيري دلائل كنترل ناپذيري / مشاهده ناپذيري
علاوه بر مباحث تحقق ناپذيري اين گونه سيستم‌ها مي‌توان به دلايل زير اشاره نمود:
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
كنترل‌ناپذيري
مشاهده‌ناپذيري
هر وقت كه امكان اندازه‌گيري حالت سيستم وجود نداشته باشد.
تعريف متغير حالت اضافي در سيستم
وجود تقارن زياد در سيستم
وجود فقط نيروهاي داخلي

12. در سيستمهايي كه فقط سرعت آنها كنترل مي‌شود و نه موقعيت سيستم مشاهده ‌ناپذير خواهد بود:
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
كنترل‌پذيري :
را كاملاً كنترل‌پذير (حالت) مي‌گوييم، اگر حالت سيستم را
سيستم خطي
در زمان محدود
به هر حالت نهايي
در زمان اوليه
بتوان از هر حالت اوليه
انتقال دارد.

13. شرايط كنترل‌پذيري زمستان 1382 Dr. H. Bolandi 1) All rows of
Are linearly independent on over the field of complex
Numbers (A ,B are real ). 2) 3)
Has rank n. 4)

14. اثبات روش سوم در كنترل‌پذيري
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
Is controllable iff
اثبات :

15. از آنجايي كه
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi

16. زمستان 1382
Dr. H. Bolandi

17. در اينجا مي‌توان موضوع را به دو طريق زير ادامه داد:
از اينرو اگر رتبة ماتريس :
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
باشد آنگاه n بردار L.T در اين ماتريس وجود خواهد داشت از آنجا كه n بردار L.I فضاي حالت n بعدي را مي‌پوشاند لذا سيستم را بطور كامل كنترل‌پذير حالت مي‌گوئيم .
در اينجا مي‌توان موضوع را به دو طريق زير ادامه داد:

18. زمستان 1382
Dr. H. Bolandi

19. مثال : ثابت كنيد كه سيستم زير به طور كامل كنترل‌پذير حالت است.
شرط كنترل‌پذيري if
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
مثال : ثابت كنيد كه سيستم زير به طور كامل كنترل‌پذير حالت است.
مثال : ثابت كنيد كه سيستم زير به طور كامل كنترل‌پذير حالت نيست.

20. مثال : ثابت كنيد كه سيستم زير به طور كامل كنترل‌پذير حالت است.
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi

21. This is full rank, 3. Therefore, the system is controllable and we can change any state θ, w, or q using the dive planes at will. Note, however, that some changes may be impractical or even impossible in practice; for example, even if the system is controllable it is not feasible to change the pitch angle to, say, 90 degrees! This would require an enormous dive plane strength which is not available in practice.

22. زيرفضاي كنترل‌پذير زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
مي‌دانيم كه زيرفضاي كنترل‌پذير سيستم داده شده با معادله فوق زيرفضاي خطي تشكيل شده از حالتهايي است كه مي‌توان آنها را در يك زمان محدود به هر حالت نهايي انتقال داد. (حالتهاي كنترل‌پذير) . در اينجا يك تبديل همانندي حالت كه سيستم را به فرم كانونيكي نمايش مي‌دهد را به نحوي پيدا مي‌كنيم كه توسط آن تحليل خواص كنترل‌پذيري سيستم به وضوح نمايش داده خواهند شد.

23. زمستان 1382
Dr. H. Bolandi

24. زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
يعني معادله فوق براي هر بردار x در زير فضاي كنترل‌پذير برآورده مي‌‌شود.

25. زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
از آنجا كه تمامي ستونهاي T1 در زير فضاي كنترل‌پذير هستند مي‌توان نشان داد كه ستونهاي AT1 نيز در زير فضاي كنترل‌پذير هستند. بنابراين :
از آنجا كه B قسمتي از ماتريس كنترل‌پذيري حالت است ستونهاي B تماماً در زير فضاي كنترل‌پذير حالت قرار دارند .

26. كاملاً كنترل‌پذير حالت مي‌باشند.

27. زمستان 1382
Dr. H. Bolandi

28. زمستان 1382
Dr. H. Bolandi

29. شايان توجه است كه اگر سيستمي داراي مقادير ويژه مجزا باشد آنگاه مي‌توان نشان داد كه زير فضاي كنترل‌پذير حالت سيستم توسط بردارهاي ويژه متناظر با قطبهاي كنترل‌پذير سيستم پوشانده مي‌شود يعني اينكه امكان دارد كه تعريف كنيم كه :
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
مثال : در سيستم زير اولاً تحقيق كنيد كه سيستم به طور كامل كنترل‌پذير حالت است يا خير؟ ثانياً در صورتي كه سيستم بطور كامل كنترل‌پذير حالت نباشد زيرفضاي كنترل‌پذير و ناپذير آن را تعيين كنيد .

30. II . حال بايد T را طوري انتخاب كرد كه سيستم به دو بخش تقسيم شود.
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi

31. خسته نباشيد ! مشاهده‌پذيري
نهايتاً زير فضاي كنترل‌پذير حالت آن عبارت است از:
مشاهده‌پذيري
خسته نباشيد !