1. 1 Bevis i matematikk Matematikk 1 årskurs 26. oktober 2009

2. 2 Hva er et bevis? Et bevis er en logisk vanntett utledning av eller begrunnelse for en påstand. Vi må skille mellom argument som kun tyder på at noe kan være sant (“evidence”), og argument som beviser at det er sant i alle tilfeller (“proof”). Bevis har en spesiell status i matematikk.

3. 3 Et eksempel Setning: Summen av vinklene i en trekant utgjør en likevinkel. Vi skiller mellom empiri som tyder på at påstanden er sann, det å bevise påstanden, og det å bruke resultatet videre Disse er tre forskjellige ting.

4. 4 En matematikers synspunkt “If a student has gone through his mathematics classes without having really understood a few proofs like the foregoing one, he is entitled to address a scorching reproach* to his school and his teachers.” Pólya (1990: 216) *altså, har rett til å bli rasende sint på

5. 5 Matematiske påstand kan bevises En matematisk påstand kan ofte bevises eller motbevises på en “sterkere” måte enn i andre fag. I fysikk og kjemi har vi teorier, men i matematikk har vi teoremer eller setninger.

6. 6 Matematiske påstander skal bevises I matematikk er det sjeldent at empiri (fysisk/eksperimentalt bevis) eller hverdagsintuisjon kan gi en overbevisende og logisk vanntett begrunnelse for et påstand. Derfor, for å vite at en påstand virkelig er sann, må vi ha et bevis for det.

7. 7 Induktiv og deduktiv tenkning Induktiv tenkning: Det å formode om generelle regler ut fra observasjoner Deduktiv tenkning: Det å trekke logiske, uimotsigelige konklusjoner ut fra antagelser; Bevisføring skal alltid være deduktiv. Obs: Et bevis er enten gyldig eller ugyldig, ikke “sant” eller “usant”.

8. 8 Begrepsavklaring Aksiomer Et utsagn som antas uten bevis, “for å komme i gang” Setning / Teorem Et “interessant” matematisk resultat som er blitt rigorøst bevist fra aksiomer

9. 9 Lemma Et hjelpe- (“auksiliær”)-resultat, som bevises til senere bruk i beviset til et større teorem (Pluralis skal være “lemmata”) Proposisjon Som et teorem, men mindre i omfang. Proposisjoner også kan ofte være hjelperesultater som lemmata.

10. 10 Følge / Korollar Et “ekstra” resultat som følger lett/naturlig av et teorem Formodning / Hypotese Et utsagn som vi ikke har et bevis for, men som virker sannsynlig ut fra observasjoner vi har gjort

11. 11 Referanser Pólya, George: How to solve it. Penguin, 1990.