1. שימושים בטורי פוריה לעיבוד אותות
תרגול 10
עיבוד תמונות ואותות במחשב

2. עיבוד תמונות ואותות במחשב
כפל של שני טורי פוריה
כשכופלים שני טורי פורייה צריך לזכור שכופלים שני טורים אינסופיים:
במילים אחרות: כפל של שתי פונקציות שוות-מחזור במישור הזמן מתבטא במישור התדר ע”י הקונבולוציה של סדרות המקדמים של טורי פורייה:
עיבוד תמונות ואותות במחשב

3. עיבוד תמונות ואותות במחשב
משפט הקונבולוציה
נוכיח שקונבולוציה במישור המקום (בתחום [L,L-]) של שתי פונקציות מחזוריות עם מחזור 2L היא מכפלה בייצוג התדר (בטורי פורייה): או
עיבוד תמונות ואותות במחשב

4. עיבוד תמונות ואותות במחשב
תוצאה זו מאוד חשובה, מכיוון שאם נוכל לעבור בקלות בין מישור הזמן לתדר (חישוב טור פוריה וסיכום טור פוריה) נוכל לחשב פלט של מערכת LSI ע”י כפל במישור התדר במקום ע”י קונבולוציה בין האות לתגובת ההלם במישור הזמן .
עיבוד תמונות ואותות במחשב

5. עיבוד תמונות ואותות במחשב
דוגמא: חישוב פלט של מערכת LSI
מערכת שמאופיינת ע”י h ו- H
x(t)
y(t)
אפשרות א: לחשב במישור הזמן קונבולוציה בין x ל – h:
אפשרות ב: אם xמחזורי, ראינו כבר שניתן לחשב את y ע”י כפל של מקדמי טור פוריה של x בתגובת התדר H (כפל במישור התדר).
עיבוד תמונות ואותות במחשב

6. עיבוד תמונות ואותות במחשב
חישוב פלט של מערכת LSI
מערכת שמאופינת ע”י h ו- H
x(t)
y(t)
אפשרות ג: אם xו-h סופיים, ניתן להגדירם כמחזוריים ואז לכפול את מקדמי טורי הפוריה שלהם (עפ"י משפט הקונבולוציה בשקף 3).
שים לב: מחזורי x ו-h צריכים להיות שווים, כאשר מחזור כל אות הנו האות המקורי "מרופד באפס" לקבלת אורך מחזור רצוי.
מהו אורך המחזור הרצוי?
עיבוד תמונות ואותות במחשב

7. דוגמא: חישוב מערכות בטור
במישור הזמן חישוב המערכת השקולה על ידי קונבולוציה:
במישור התדר, חישוב המערכת השקולה על ידי מכפלה:
H(f)=H1(f)H2(f)
h1(t)
H1(f)
h2(t)
H2(f)
עיבוד תמונות ואותות במחשב

8. עיבוד תמונות ואותות במחשב
תגובת התדר של מערכת נגזרת
נחשב את תגובת התדר של מערכת נגזרת :
תגובת התדר מגדירה איך המערכת פועלת על אותות הרמוניים מרוכבים:
חישוב בצורה ישירה (לפי הגדרת H)
כלומר, גזירה גורמת לחיזוק של תדרים הגבוהים
עיבוד תמונות ואותות במחשב

9. עיבוד תמונות ואותות במחשב
עיבוד תמונות ואותות במחשב

10. עיבוד תמונות ואותות במחשב
מערכת מיצוע עם חלון ריבועי
תגובת ההלם של מערכת מיצוע עם חלון ריבועי:
הפעלת מסנן מיצוע עם חלון ריבועי גורמת להחלשה של התדרים הגבוהים
עיבוד תמונות ואותות במחשב

11. תגובת מערכת מיצוע עם חלון ריבועי לכניסה מחזורית
אות כניסה מחזורי
אות יציאה y(t)
מערכת מיצוע עם חלון ריבועי בעלת פרמטר L
עיבוד תמונות ואותות במחשב

12. עיבוד תמונות ואותות במחשב
עיבוד תמונות ואותות במחשב

13. שימוש 2: מסנן הפוך (Inverse Filter)
הבעיה: בהינתן מסנן LSI, מצא מסנן הפוך לו.
ראינו: 1) לפעמים זה לא אפשרי שכן יש מערכות LSI לא הפיכות 2) לא הצלחנו לבצע זאת במישור הזמן
נוכל למצוא את המסנן ההפוך (אם קיים כזה) ע”י מעבר למישור התדר. טענה: אם נתון מסנן בעל תגובת תדר H, למסנן ההפוך לו תהיה תגובת תדר:
הוכחה: נפרק את אותות הכניסה לטור פורייה. נתבונן במקדם cn בטור פוריה עבור n כלשהוא: אחרי המעבר דרך H ודרך המסנן ההפוך הערך ישתנה ל-
כלומר המקדם יחזור לערכו המקורי ולכן ביציאה מהמסנן ההפוך נקבל את האות המקורי.
בעיה: מה קורה אם ? לא ניתן לבנות מסנן הפוך והערך של מקדם הפוריה של תדירות f אבד ללא אפשרות שחזור.
עיבוד תמונות ואותות במחשב

14. עיבוד תמונות ואותות במחשב
בפועל יש בעיה גם אם כי בגלל שגיאות מדידה נומריות ורעש נקבל ע”י המסנן ההפוך ערכים לא מדויקים.
פתרון: נבנה מסנן הפוך ע”י :
דוגמא: בתרגול מספר 9 פיתחנו טור פוריה ל-
נראה איך אפשר לשחזר אות זה לאחר שעבר מיצוע ע”י inverse filter .
נשתמש בתגובת התדר של החלון הריבועי שחישבנו בשקף קודם.
עיבוד תמונות ואותות במחשב

15. עיבוד תמונות ואותות במחשב

16. שימוש מס 3: תכנון וניתוח מערכות LSI במישור התדר
דוגמא: בחיוג צלילים בטלפון, ההבדל בין 2 צלילי חיוג במישור התדר הרבה יותר ברור מאשר במישור הזמן ולכן כדי לזהות איזה מספר חויג נתכנן את המערכת במישור התדר.
To run the dial tone phone demo in MATLAB write:
>> phone
עיבוד תמונות ואותות במחשב

17. עיבוד תמונות ואותות במחשב

18. עיבוד תמונות ואותות במחשב
דוגמא: בניית equalizer. Equalizer היא מערכת המאפשרת שליטה על עוצמת תדרים מסוימים. למשל במוזיקה לפעמים מעוניינים להגביר או להחליש את התדרים הנמוכים (bass- צלילים נמוכים), את התדרים הגבוהים (trebble - צלילים גבוהים) או תדרים מסוימים באמצע (למשל תדרים המתאימים לכלי נגינה שאנו מעונינים לשמוע חזק או חלש יותר).
נבנה את המערכת ע”י מספר מסנני band-pass :אלה מסננים שמחזקים את עוצמת תחום תדרים מסוים ומחלישה את עוצמת שאר התדרים.
לדוגמא band-pass לתחום: Hz נתכנן ע”י תגובת התדר:
מבנה הequalizer:
|H(f)| f bp * bp * + y x bp * bp * bp *
עיבוד תמונות ואותות במחשב

19. עיבוד תמונות ואותות במחשב
כשתכננו את המסנן דיברנו על איך צריכים להראות הגודל של H. מה לגבי הפזה של H ?
יש מקרים שכשמתכננים את המסנן נאפיין את H בצורה מדויקת, כלומר מה ההשפעה על גודל תדרים מסוימים וגם מה ההזזה בפאזה של תדרים מסוימים.
במקרים של עיבוד קול, מסתבר שהאוזן לא רגישה לפאזה של התדרים ולכן הרבה פעמים מזניחים את הפזה של תגובת התדר.
עיבוד תמונות ואותות במחשב