1. אלכסנדר ברנגולץ דואר אלקטרוני: aer@cs.technion.ac.il אלכסנדר ברנגולץ דואר אלקטרוני: aer@cs.technion.ac.il תכונות של סדרות

2. © א ’ ברנגולץ עיבוד תמונות ואותות במחשב 2 אותות בדידים  סדרות מדד משתנים - ממוצע משוקלל של שערי המניות בבורסה. מדד משתנים - ממוצע משוקלל של שערי המניות בבורסה. DJ(n)  R + Bit Stream: סידרה...x(n)  {0,1} …010101111000 Bit Stream: סידרה...x(n)  {0,1} …010101111000 Sampled Signal: דוגמים אות חשמלי (v(t בפרקי זמן קבועים : ( t n =nT x(n)=v(t n Sampled Signal: דוגמים אות חשמלי (v(t בפרקי זמן קבועים : ( t n =nT x(n)=v(t n

3. © א ’ ברנגולץ עיבוד תמונות ואותות במחשב 3 תכונות של אותות למשל x(n)=n mod k, k  N n  Z למשל x(n)=n mod k, k  N n  Z – חסום : – לא סופי : – מחזורי : ( בדיוק לפי הגדרת המחזוריות ) ( בדיוק לפי הגדרת המחזוריות )

4. © א ’ ברנגולץ עיבוד תמונות ואותות במחשב 4 מערכת  קשר בין שני אותות דוגמה : חיובי בנק במבצע “ שלם רק חצי ” דוגמה : חיובי בנק במבצע “ שלם רק חצי ” המחזיק בכרטיס אשראי משלם רק חצי מהחיובים שהצטברו : למשל : אם פלוני הוציא 1000 ש ” ח בכל חודש 1,2,3 ובשאר לא בזבז אז : Y(n)=0.5[Y(n-1)+X(n)]X(n) ההוצאות בחודש n Y(n) החיוב בחודש n n X(n) Y(n) 1 1000 500 2 1000 750 0 0 0 3 1000 875 4 0 437.5 5 0 218.75 אם הבנק גם לוקח ריבית על החוב ( נגיד 10 % בחודש ) אז : Y(n)=0.5[1.1*Y(n-1)+X(n)]X(n)Y(n)

5. © א ’ ברנגולץ עיבוד תמונות ואותות במחשב 5 תכונות של מערכות  זיכרון מערכת היא חסרת זיכרון אם התגובה שלה תלויה אך ורק בערך של אות הכניסה בזמן הנוכחי. מערכת היא חסרת זיכרון אם התגובה שלה תלויה אך ורק בערך של אות הכניסה בזמן הנוכחי. ((y(n)=sin(x(n מערכת חסרת זיכרון. ((y(n)=sin(x(n מערכת חסרת זיכרון. ((y(n)=exp(-x(n)+cos(n-3 מערכת חסרת זיכרון. ((y(n)=exp(-x(n)+cos(n-3 מערכת חסרת זיכרון. ((1-y(n)=sin(x(n מערכת בעלת זיכרון. ((1-y(n)=sin(x(n מערכת בעלת זיכרון. (y(n)=x(n)*x(3 מערכת בעלת זיכרון. (y(n)=x(n)*x(3 מערכת בעלת זיכרון.

6. © א ’ ברנגולץ עיבוד תמונות ואותות במחשב 6 תכונות של מערכות  סיבתיות מערכת נקראת סיבתית אם לכל בחירה של n 0 יציאת המערכת ברגע n=n 0 תלוייה אך ורק באות הכניסה ברגעים n  n 0. מערכת נקראת סיבתית אם לכל בחירה של n 0 יציאת המערכת ברגע n=n 0 תלוייה אך ורק באות הכניסה ברגעים n  n 0. קיום של תנאי זה גורם, למשל, לכך שאם (x 1 (n)=x 2 (n לכל n  n 0 אזי גם [(T[x 1 (n)]=T[x 2 (n לכל n  n 0. קיום של תנאי זה גורם, למשל, לכך שאם (x 1 (n)=x 2 (n לכל n  n 0 אזי גם [(T[x 1 (n)]=T[x 2 (n לכל n  n 0. דוגמאות : דוגמאות : – מערכת y n =x n+1 - x n ( גזירה קדימה ) - היא לא סיבתית – מערכת y n =x n - x n-1 ( גזירה אחורה ) - היא כאן סיבתית – מערכת [y n =3[2y n-1 + x n - היא גם כאן סיבתית – מערכת y n =x n + x 1 - היא לא סיבתית

7. © א ’ ברנגולץ עיבוד תמונות ואותות במחשב 7 תכונות של מערכות  יציבות BIBO מערכות יציבות : y n =sin(x n ), y n = x n+1 -x n-1, y n = max n  [1,n] x i מערכות יציבות : y n =sin(x n ), y n = x n+1 -x n-1, y n = max n  [1,n] x i מערכת לא יציבה, למשל : y n =  n  [1,n] x i מערכת לא יציבה, למשל : y n =  n  [1,n] x i נורמת -p של האות היא הערך נורמת -p של האות היא הערך מערכת היא יציבה במובן “ הכניסה חסומה - תוצאה חסומה ” (BIBO) אם אות כניסה חסום גורר שגם התוצאה חסומה : מערכת היא יציבה במובן “ הכניסה חסומה - תוצאה חסומה ” (BIBO) אם אות כניסה חסום גורר שגם התוצאה חסומה : if ||x||  <   ||y||  < 

8. © א ’ ברנגולץ עיבוד תמונות ואותות במחשב 8 מערכות קבועות בהזזה ( Shift\Time Invariant) מערכת היא קבועה בהזזה אם הזזת אות הכניסה גורמת להזזת אות היציאה באותה מידה. מערכת היא קבועה בהזזה אם הזזת אות הכניסה גורמת להזזת אות היציאה באותה מידה. איך לבדוק האם מערכת היא קבועה בהזזה ? איך לבדוק האם מערכת היא קבועה בהזזה ? נזיז את אות הכניסה ונחשב את המוצא : נזיז את אות הכניסה ונחשב את המוצא : כלומר בכל מקום שכתוב (x(n צריך לרשום (x(n-k. למשל, במקום (x(3 צריך לרשום (x(3-k. כלומר בכל מקום שכתוב (x(n צריך לרשום (x(n-k. למשל, במקום (x(3 צריך לרשום (x(3-k. נזיז את אות המוצא : נציב : נזיז את אות המוצא : נציב : כלומר בכל מקום שכתוב בו (y(n צריך לרשום (y(n-k: למשל, במקום (y(3 צריך לרשום (y(3-k, ובמקום n יירשם n-k. כלומר בכל מקום שכתוב בו (y(n צריך לרשום (y(n-k: למשל, במקום (y(3 צריך לרשום (y(3-k, ובמקום n יירשם n-k.

9. © א ’ ברנגולץ עיבוד תמונות ואותות במחשב 9 מערכות קבועות בהזזה ( דוגמאות ) y(n)=5[x(n-1)+3] x(n)y(n) y(n)=n x(n) x(n)y(n) מערכת קבועה בהזזה. מערכת אינה קבועה בהזזה.

10. © א ’ ברנגולץ עיבוד תמונות ואותות במחשב 10 מערכות קבועות בהזזה ( דוגמאות נוספות ) y(n)=  y(n-1)+  x(n) x(n)y(n) y(n)=  x(3)+  x(n) x(n)y(n) מערכת קבועה בהזזה. מערכת אינה קבועה בהזזה.

11. © א ’ ברנגולץ עיבוד תמונות ואותות במחשב 11 מערכות ליניאריות מערכת נקראת ליניארית אם תגובתה לסכום משוקלל של אות כניסה שווה לסכום התגובות לאותות האלה : מערכת נקראת ליניארית אם תגובתה לסכום משוקלל של אות כניסה שווה לסכום התגובות לאותות האלה : T[  x 1 (n)+  x 2 (n)] =  T[x 1 (n)]+  T[x 2 (n)] וגם, אם [x[n]=  k a k x k [n אז גם [y[n]=  k a k y k [n וגם, אם [x[n]=  k a k x k [n אז גם [y[n]=  k a k y k [n דוגמאות : דוגמאות : – מערכת T[x]=5 היא לא ליניארית ([T[2x]=5  2T[x) – מערכת T[x]=x+3 היא גם כן לא ליניארית – מערכת T[x n ]=2x n +x 2 היא מערכת ליניארית

12. © א ’ ברנגולץ עיבוד תמונות ואותות במחשב 12 דוגמה ( חלון נע ) ליניארית ליניארית קבועה בהזזה קבועה בהזזה לא חסרת זיכרון ( אלא אם k 1 =k 2 =0 ) לא חסרת זיכרון ( אלא אם k 1 =k 2 =0 ) סיבתית אמ ” מ k 2 =0 סיבתית אמ ” מ k 2 =0 יציבה BIBO יציבה BIBO x(n) y(n)

13. © א ’ ברנגולץ עיבוד תמונות ואותות במחשב 13 דוגמה ( ממוצע משוקלל בזמן ) x(n) y(n) ליניארית ליניארית לא קבועה בהזזה : למשל אפילו אם k 1 =k 2 =0 אז (y(n)=n x(n לא קבועה בהזזה : למשל אפילו אם k 1 =k 2 =0 אז (y(n)=n x(n לא חסרת זיכרון ( אלא אם k 1 =k 2 =0 ) לא חסרת זיכרון ( אלא אם k 1 =k 2 =0 ) סיבתית א ” אם k 2 =0 סיבתית א ” אם k 2 =0 לא יציבה BIBO לא יציבה BIBO

14. © א ’ ברנגולץ עיבוד תמונות ואותות במחשב 14 מערכות לינאריות קבועות בהזזה ( LSI ) נפרק את אות הכניסה כסכום של פונקציות  : נפרק את אות הכניסה כסכום של פונקציות  : {x(n)} =  i x i  (n-i) אם מערכת היא ליניארית תגובתה לסכום אותות היא סכום התגובות : אם מערכת היא ליניארית תגובתה לסכום אותות היא סכום התגובות : T[x(n)]=T[  i x i  (n-i)]=  i x i T[  (n-i)]   i x i h(n,i) T[x(n)]=T[  i x i  (n-i)]=  i x i T[  (n-i)]   i x i h(n,i) אם מערכת גם קבועה בהזזה : (h(n,k)  h(n-k אם מערכת גם קבועה בהזזה : (h(n,k)  h(n-k כך נוכל לרשום : (y(n)=T[x(n)]=  i=-  x i h(n-i כך נוכל לרשום : (y(n)=T[x(n)]=  i=-  x i h(n-i כאשר [(h(n)=T[  (n נקראת תגובת המערכת T להלם. כאשר [(h(n)=T[  (n נקראת תגובת המערכת T להלם. הסכום (y(n)=  i x i h(n-i נקרא קונוולוציה ומסומן : הסכום (y(n)=  i x i h(n-i נקרא קונוולוציה ומסומן : y(n) = x(n) * h(n)

15. © א ’ ברנגולץ עיבוד תמונות ואותות במחשב 15 דוגמה : חיבור מערכות LSI במקביל T1T1T1T1 T2T2T2T2  x(n)x(n)x(n)x(n) y(n)y(n)y(n)y(n) סכום של תגובות הלם

16. © א ’ ברנגולץ עיבוד תמונות ואותות במחשב 16 דוגמה : “ המבצע של הבנק ” ( המשך ) נחשב כעת את החיובים באמצעות קונוולוציה : תגובה של מערכת להלם ( בזמן 0): אות כניסה - הוצאות ב 1,2,3: מערכות כמו המערכת הזאת נקראות Infinite Impulse (Response (IIR

17. © א ’ ברנגולץ עיבוד תמונות ואותות במחשב 17 מסנן החלקה \ סכימה המסנן הזה הוא הכללה של דוגמה קודמת : המסנן הזה הוא הכללה של דוגמה קודמת : נחשב את תגובת ההלם נחשב את תגובת ההלם : מקבלים אות תוצאה מקבלים אות תוצאה : אם (x(t מתאפס בזמן שלילי : אם (x(t מתאפס בזמן שלילי :

18. © א ’ ברנגולץ עיבוד תמונות ואותות במחשב 18 דוגמאות נוספות למערכות LSI :Ideal Delay System :Ideal Delay System :Moving Average :Moving Average :Accumulator :Accumulator :Forward Difference :Forward Difference

19. © א ’ ברנגולץ עיבוד תמונות ואותות במחשב 19 תכונות הקונוולוציה  קומוטטיביות :  אסוציאטיביות :  דיסטרבוטיביות :  הזזה בזמן :

20. © א ’ ברנגולץ עיבוד תמונות ואותות במחשב 20 חיבור מערכות בטור ( מסנן מיצוע ) מה קורה בהפעלה חוזרת ונישנית של מסנן מיצוע ? מסנן מיצוע ? תהי x אות כניסה כלשהו ונתבונן בסדרת אותות היציאה : n פעמים n פעמים נסמן את קונוולוציה n פעמים n פעמים ונחשב אותה לפי משולש פסקל נקבל : ממשפט De Moirre-Laplace: 1 1 1 2 1 1 3 3 1