1. רקורסיות נושאי השיעור פתרון משוואות רקורסיביות שיטת ההצבה
מהן רקורסיות
פתרון משוואות רקורסיביות
שיטת ההצבה
שיטת האיטרציה
שיטת ה Master

2. רקורסיות
הגדרה
רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתאר פונקציה בעזרת ערכים שלה על
ארגומנטים קטנים.
למשל:

3. רקורסיות
דוגמא
נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת האיבר המקסימלי במערך לא ממויין A,
כאשר h מציין את אינדקס התחלת החיפוש ו t את אינדקס סוף החיפוש.
Max(h,t)
אם h=t החזר את A[t].
אחרת,
m = (h+t) / 2
M1 = Max(h,m)
M2 = Max(m+1,t)
החזר את המקסימום בין M1 ו M2.
מהי סיבוכיות זמן הריצה של האלגוריתם?
נבנה משוואה רקורסיבית, כאשר
n מציין את גודל המערך: n=t-h+1

4. שיטות לפתרון רקורסיות
שיטת ההצבה
שיטת איטרציות
שיטת ה Master

5. שיטת ההצבה מנחשים צורת פתרון
משתמשים באינדוקציה מתמטית כדי למצוא קבועים וכדי להוכיח שהפתרון נכון
דוגמא 1:
ננחש שהפתרון מהצורה
לכל
צ"ל:
נוכיח באינדוקציה.

6. שיטת ההצבה דוגמא 1: הנחת האינדוקציה: עבור מתקיים: נתחיל מטענת הסגור:
עבור מתקיים:
נתחיל מטענת הסגור:
c > 1

7. שיטת ההצבה דוגמא 1: יש להראות שגם בסיס האינדוקציה מתקיים.
ננסה להוכיח את הטענה על n=1:
כדי לעקוף בעיה זו, אנו נזכרים בעובדה שהניתוח הוא אסימפטוטי.
ז"א, אנחנו צריכים למצוא n0 שהחל ממנו הטענה מתקיימת.
נקח את T(2) ו T(3) כבסיס האינדוקציה.

8. שיטת ההצבה דוגמא 2: . כלומר, ננחש כי הפתרון הוא דבר זה אינו מוכיח כי
בדרך כלל הבעיה היא שהנחת האינדוקציה אינה חזקה מספיק.
במקרה זה, מחסירים איבר מסדר נמוך יותר מהניחוש ההתחלתי.
ננחש כי

9. שיטת ההצבה דוגמא 3: . כלומר, ננחש כי הפתרון הוא
תמיד יש להוכיח את הטענה האינדוקטיבית במדויק!

10. החלפת משתנים דוגמא 4: נסמן: מכאן: נסמן: מכאן:
את הרקורסיה הזו כבר פתרנו היום:
ולכן:

11. שיטת האיטרציות אין צורך לנחש פתרון
פותחים את הביטוי הרקורסיבי כסכום של איברים שתלויים רק ב n ובתנאי ההתחלה
דוגמא:
מה מספר האיטרציות שיש לבצע עד שנגיע לתנאי ההתחלה?

12. שיטת האיטרציות אין צורך לנחש פתרון
פותחים את הביטוי הרקורסיבי כסכום של איברים שתלויים רק ב n ובתנאי ההתחלה
דוגמא:

13. עצי רקורסיה
דרך נוחה להציג מה קורה כאשר פותחים ביטוי רקורסיבי
דוגמא 1:

14. עצי רקורסיה
דרך נוחה להציג מה קורה כאשר פותחים ביטוי רקורסיבי
דוגמא 1:

15. עצי רקורסיה דרך נוחה להציג מה קורה כאשר פותחים ביטוי רקורסיבי דוגמא 2:
עומק
עומק

16. 16
Data Structures 1, rec #2
16 אפריל 17

17. 17
Data Structures 1, rec #2
16 אפריל 17

18. 18
Data Structures 1, rec #2
16 אפריל 17

19. 19
Data Structures 1, rec #2
16 אפריל 17

20. 20
Data Structures 1, rec #2
16 אפריל 17