1. עיבוד תמונות ואותות במחשב 1 תרגול 2 אותות ומערכות חד ממדיים דיסקרטיים

2. עיבוד תמונות ואותות במחשב 2 אותות בדידים אות בזמן בדיד: f:N  R/C/Z... דוגמאות: שער הדולר היציג : r(n)  R + Bit Stream: סידרה...x(n)  {0,1} … 010101111000 Sampled Signal: דוגמים אות חשמלי (v(t בפרקי זמן קבועים: (x(n)=v(t n עבור t n =nT

3. עיבוד תמונות ואותות במחשב 3 תכונות של אותות חסום: סופי (בעל תמך סופי): מחזורי:

4. עיבוד תמונות ואותות במחשב 4 דוגמא - האות x(n)=n mod k, k  N n  Z חסום: לא סופי: מחזורי:

5. עיבוד תמונות ואותות במחשב 5 טרנספורמציות בסיסיות של אותות הפוך זמן x[-n].פעולה זו הופכת את ציר הזמן סביב 0. scaling בזמן x[an] ( a|| טבעי). הזזה בזמן y[n]=x[n-p]. בצורה דומה לשלושת הטרנספורמציות בציר הזמן יש שלוש טרנספורמציות באמפליטודה (היפוך,scaling,הזזה): y[n]=-x[n], y[n]=ax[n], y[n]=x[n]+p

6. עיבוד תמונות ואותות במחשב 6 טרנספורמציות בסיסיות של אותות-דוגמא y[n]=3-2x[2-n]

7. עיבוד תמונות ואותות במחשב 7 y[n]=3-2x[2-n]

8. עיבוד תמונות ואותות במחשב 8 מערכת - פונקציה הפועלת על אות ומוציאה אות דוגמה: חיובי בנק במבצע “ שלם רק חצי ” המחזיק בכרטיס אשראי משלם רק חצי מהחיובים שהצטברו: למשל: אם פלוני רכש ב- 1000 ש”ח בכל חודש 1,2,3 ובשאר החודשים לא ביצע כלל רכישות אז: Y(n)=0.5[Y(n-1)+X(n)]X(n) ההוצאות בחודש n Y(n) החיוב בחודש n n X(n) Y(n) 1 1000 500 2 1000 750 0 0 0 3 1000 875 4 0 437.5 5 0 218.75 אם הבנק גם לוקח ריבית על החוב ( נגיד 10 % בחודש ) אז : Y(n)=0.5[1.1*Y(n-1)+X(n)]X(n)Y(n)

9. עיבוד תמונות ואותות במחשב 9 תכונות של מערכות - זיכרון מערכת היא חסרת זיכרון אם התגובה שלה אינה תלויה בערכי אות הכניסה פרט לזמן הנוכחי. y(n)=sin(x(n)) מערכת חסרת זיכרון. ((y(n)=exp(-x(n)+cos(n-3 מערכת חסרת זיכרון. ((1-y(n)=sin(x(n מערכת בעלת זיכרון. (y(n)=x(n)*x(3 מערכת בעלת זיכרון.

10. עיבוד תמונות ואותות במחשב 10 תכונות של מערכות - סיבתיות מערכת נקראת סיבתית אם לכל בחירה של n 0 יציאת המערכת ברגע n 0 תלויה אך ורק באות הכניסה ברגעים n  n 0. קיום של תנאי זה גורם, למשל, לכך שאם (x 1 (n)=x 2 (n לכל n  n 0 אזי גם (n)([(T[x 1 ])(n)=(T[x 2 לכל n  n 0.

11. עיבוד תמונות ואותות במחשב 11 תכונות של מערכות - סיבתיות דוגמאות: מערכת y n =x n+1 - x n (גזירה קדימה) - היא לא סיבתית מערכת y n =x n - x n-1 (גזירה אחורה) - היא כן סיבתית מערכת [y n =3[2y n-1 + x n היא גם כן סיבתית מערכת y n =x n + x 3 היא לא סיבתית

12. עיבוד תמונות ואותות במחשב 12 תכונות של מערכות - יציבות BIBO y n =sin(x n ) y n = x n+1 -x n-1 y n =  i  [1,n] x i - נורמת p של האות היא הערך: מערכת היא יציבה במובן “ הכניסה חסומה - תוצאה חסומה ” BIBO)) אם אות כניסה חסום גורר שגם התוצאה חסומה : if ||x||  <   ||y||  <  יציבה לא יציבה

13. עיבוד תמונות ואותות במחשב 13 מערכות קבועות בהזזה (Shift\Time Invariant) מערכת היא קבועה בהזזה אם הזזת אות הכניסה גורמת להזזה זהה באות היציאה. איך לבדוק האם מערכת היא קבועה בהזזה? א) נזיז את אות הכניסה ונחשב את המוצא החדש: ב) נזיז את אות המוצא המקורי, כלומר נציב: ג) נבדוק אם שני אותות המוצא זהים.

14. עיבוד תמונות ואותות במחשב 14 מערכות קבועות בהזזה ( דוגמאות) y(n)=5[x(n-1)+3] x(n)y(n) y(n)=n x(n) x(n)y(n) מסקנה : המערכת קבועה בהזזה. מסקנה : המערכת אינה קבועה בהזזה.

15. עיבוד תמונות ואותות במחשב 15 מערכות ליניאריות מערכת נקראת ליניארית אם תגובתה לסכום ממושקל של אותות כניסה שווה לסכום הממושקל של התגובות לאותות האלה T[  x 1 +  x 2 ] =  T[x 1 ]+  T[x 2 ] דוגמאות: המערכת (T[x])[n]=5היא לא ליניארית [(T[2x])(n)=5  2T[x המערכת (T[x])(n)=x(n)+3 היא גם כן לא ליניארית מערכת (T[x])(n)=2x(n)+x(2) היא מערכת ליניארית מערכת שהיא צרוף ליניארי של אותות כניסה ללא איבר חופשי - ליניארית

16. עיבוד תמונות ואותות במחשב 16 דוגמה - חלון נע ליניארית? x(n) y(n) k1,k2>=0 כן

17. עיבוד תמונות ואותות במחשב 17 דוגמה - חלון נע קבועה בהזזה? x(n) y(n) k1,k2>=0 כן

18. עיבוד תמונות ואותות במחשב 18 דוגמה - חלון נע חסרת זיכרון? סיבתית? יציבה BIBO? x(n) y(n) k1,k2>=0 לא, אלא אם k 1 =k 2 =0 כן אמ”מ k 2 =0 כן

19. עיבוד תמונות ואותות במחשב 19 דוגמה - ממוצע ממושקל בזמן x(n) y(n) כן לא: למשל אפילו אם k 1 =k 2 =0 אז (y(n)=n x(n לא, אלא אם k 1 =k 2 =0 כן אם"ם k 2 =0 לא k1,k2>=0 ליניארית? קבועה בהזזה? חסרת זיכרון? סיבתית? יציבה BIBO?

20. עיבוד תמונות ואותות במחשב 20 אות ההלם הדיסקרטי אות ההלם הדיסקרטי :  0 כל אות דיסקרטי ניתן לפירוק ע"י סכום הלמים:

21. עיבוד תמונות ואותות במחשב 21 מערכות לינאריות קבועות בהזזה LSI עבור מערכת ניתן לחשב את תגובת המערכת T להלם: h(n)=T[  0 [ נוכל לרשום למערכת LSI : (1)-פירוק אות לסכום הלמים (2)-לינאריות המערכת T (3)-קביעות בהזזה של T

22. עיבוד תמונות ואותות במחשב 22 קובולוציה הפעולה שקיבלנו נקראת קונבולוציה ומסומנת: זהו אופרטור המקבל שני אותות, ומחזיר אות.

23. עיבוד תמונות ואותות במחשב 23 תכונות הקונבולוציה קומוטטיביות : קומוטטיביות : אסוציאטיביות : אסוציאטיביות : דיסטירבוטיביות : דיסטירבוטיביות : משמעות האסוציאטיביות : חיבור מערכות שתגובות ההלם שלהן y ו -z בטור שקול למערכת שתגובת ההלם שלה הוא y*z. משמעות הדיסטירבוטיביות : חיבור מערכות שתגובות ההלם שלהן y ו -z במקביל שקול למערכת שתגובת ההלם שלה הוא y+z.

24. עיבוד תמונות ואותות במחשב 24 דוגמה: חיבור מערכות LSI במקביל T1T1T1T1 T2T2T2T2  x(n)x(n)x(n)x(n) y(n)y(n)y(n)y(n) סכום של תגובות הלם

25. עיבוד תמונות ואותות במחשב 25 תכונות הנובעות מתכונות הקונבולוציה הזזה בזמן : גזירה :

26. עיבוד תמונות ואותות במחשב 26 דוגמה: "המבצע של הבנק" (המשך) תגובת ההלם של המערכת : מערכות כמו המערכת הזאת נקראות Infinite Impulse Response (IIR) – כשתגובת ההלם אין סופית המערכת בצורה מפורשת : זו מערכת LSI

27. עיבוד תמונות ואותות במחשב 27 דוגמה: "המבצע של הבנק" (המשך) נחשב כעת את החיובים באמצעות קונבולוציה : אות כניסה - הוצאות ב 1,2,3: אות מוצא: