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デジタル信号処理 Digital Signal Processing 2010 年度春学期 Spring Semester, 2010 担当者： 栗濱 忠司（ Professor ） 第3週第3週

アナログ信号のディジタル信号への変換 (analog to digital conversion: A/D 変換 ) 概要 (summary) 1. 標本化 (sampling) 時間 or 空間軸方向の離散化：標本化定理 2. 量子化 (quantization) 振幅軸方向の離散化 3. 符号化 (encoding) 計算機で扱い可能な数値化 ※ 「信号 (signal) 」とは時間を変数 (variable) とする関数 (function) ちょっと復習

標本化定理 (The sampling theorem) 標本化するアナログ信号に含まれる最高 周波数を f h とすると、標本化周波数 f s は： f s ≧ 2 f h (  t ≦ 1/2f h ) とすればよい。 この条件を満たすことにより、 標本化されたディジタル信号からもとのアナログ信 号を完全に再現できる。すなわち、アナログ信号に 含まれる如何なる情報も標本化時に失われない。 2 f h をナイキスト周波数という ちょっと復習

時間⇔周波数 領域変換 信号 ( 時間関数、または時系列 (time series) データ ) に含まれる周波数成分を調べるには： 周期的信号 (periodic signal) の場合 ⇒ フーリエ級数展開 非周期的信号 (non-periodic signal) の場合 ⇒ フーリエ変換 が用いられる。

フーリエ級数展開 (Fourier series expansion) Time t [sec] 周期関数の例 ( 周期 T = ２秒 ) x(t)x(t) 周期的信号 周期的信号は次式のように三角関数の線形和 ( フーリエ級数 ) で近似できる： ここで、 a 0 は直流分 ( 定数 ) 、 a n 、 b n は係数。 a n 、 b n をうまく選べば、 N →∞ とすることで右辺は左辺に収束する。 右辺： x(t) の フーリエ級数展開

a n ( a 0 を含む ), b n の決め方 E は近似の度合いを表す。 ∵各時刻 t で右辺が左辺に 等しければ E = 0. ∵ E は a n, b n の関数ゆえ、左式の 偏微分 ( 傾き ) が 0 となる係数値で E は極小値をとる。 anan E 右辺を左辺とできる だけ似た形にする。 最小二乗法 (least square method) 評価関数 (object function) E を最小にする係数は次の連立方程式を a n, b n について 解くことにより求められる。

a n ( a 0 を含む ), b n の決め方 これを解くと： Eq.(1)

Eq.(1) を数学的に導きなさい。 練習問題 【 3-1 】

Eq.(1) を数学的に導きなさい。 ヒント 練習問題 【 3-1 】 ， ，

フーリエ級数展開 の意味 周期的信号をその周期の倍調波 (harmonics) の三角関数 (trigeminal function) に分解する。 例えば、 周期 T ( 周波数 f=1/T[Hz]) の周期的信号は周波数 f, 2 f, 3 f, … Hz の三角関数に分解される。 これにより、 その周期関数に含まれる各周波数成分の大きさがわかる。 このとき、 同じ周波数でも sin と cos 成分があることに注意。 周期関数が偶関数 → cos 成分のみ (sin 成分は 0) 周期関数が奇関数 → sin 成分のみ (cos 成分は 0)

フーリエ級数展開 の例 x(t)x(t) 周期 T=2sec Time t [sec] 周波数 0.5Hz 周波数 1.0Hz 周波数 3.0Hz 0.5Hz sin 成分 : 3 1.0Hz sin 成分 : 4 3.0Hz cos 成分 : 2 その他の周波数成分 : 0

この結果を表示する と： 0.5Hz sin 成分 : 3 1.0Hz sin 成分 : 4 3.0Hz cos 成分 : 2 その他の周波数成分 : 0 cos 成分 sin 成分 周波数 [Hz] 振幅 これを, 周波数スペクトル (frequency spectrum) と呼ぶ。 周波数 [Hz] 振幅

フーリエ級数のいろいろな表現 ２ π を周期とする周期関数 f(x) について

２ L を周期とする周期関数 f(x) について

練習問題【 3-3 】 次のように定義されている関数 f ( x ) のフーリ エ級数を求めなさい。

解答例 同様な計算によ り が得られる。 試験等の解答の時は途中経過を示すこと！

よって

練習問題【 3-4 】 であっ て とする。 のフーリエ級数を求めなさい。 １ ２ ３ ０－１ のちほど MATLAB で作図してみよう。

２ L を周期にもつ周期関数 f(x) について

複素形式のフーリエ級数展開 フーリエ係数 (Fourier coefficient)

複素形式実数形式 両者の関係 c n は複素数 ( 実数部が cos 項、虚数部が sin 項に対応 ) x(t) が偶関数⇒ b n =0, x(t) が奇関数⇒ a n =0 |c n | ： 振幅スペクトル (amplitude spectrum) ： 位相スペクトル (phase spectrum) VS