1. デジタル信号処理 Digital Signal Processing 2010 年度春学期 Spring Semester, 2010 担当者： 栗濱 忠司（ Professor ） 第2週第2週

2. アナログとディジタルの対比 アナログ (analog) ディジタル (digital) 語源 analogue ( 相似物 )digit ( 指 ) 信号の 性質 連続。区切って数えら れない。 離散。区切って数えられ る ( 指で ) 。 計算機 で 扱えない。扱える。 ちょっと復 習

3. 授業の掟 欠席・遅刻をしない 欠席は 3 回まで 4 回以上は単位認定しな い 議論は o.k. 私語は × 携帯電話の電源を off にする 飲食厳禁（特に飲料の持ち込み禁止） 脱帽 教室を出入りしない その他、常識的な事柄の遵守 ちょっと復 習

4. 授業日程 （補講日に注意） 第１週 (4/14) 第２週（ 4/21 ） 第３週（ 4/28 ） 第４週（ 5/12 ） 第５週（ 5/19 ） 第６週（ 5/26 ） 第７週 (6/ 2) 中間試験（予定） 6/ 9 全学学科対抗スポーツ大会のためお休 み 第９週 (6/16) 第 10 週 (6/23) 第 11 週 (6/30) 第 12 週 (7/ 7) 第 13 週 (7/14) 第 14 週 (7/21) 期末試験（予 定） 第 15 週 (7/28) 6/ 9 の補講は 5 月 15 日（土） 11:15~ ちょっと復 習

5. ディジタル信号 (analog to digital conversion: A/D 変換 ) 概要 (summary) 1. 標本化 (sampling) 時間 or 空間軸方向の離散化 2. 量子化 (quantization) 振幅軸方向の離散化 3. 符号化 (encoding) 計算機で扱い可能な数値化 ※ 「信号 (signal) 」とは時間を変数 (variable) とする関数 (function)

6. 信号のサンプリング アナログ信号 標本化間隔 (sampling interval) 標本化周期 (sampling period) tt Time [sec] Amplitude [v] fs=1/tfs=1/t 標本化周波数 (sampling frequency) 例： f s =100 Hz ⇒ 1 秒間に 100 点の標本点 標本化された信号 (sampled signal) ．．．

7. サンプリング時に重要なこと 00.511.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 00.511.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 00.511.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 アナログ信号  t = 0.001sec  t = 0.03sec Time [sec] The peak disappeared! 異なる標本化周期による心電信号の標本化

8. サンプリング時に重要なこと 標本化周期  t 大きすぎる ⇒ アナログ信号の特徴捉えきれない 標本化周期  t 小さすぎる ⇒ データ量大 → 格納スペース大、データ処理時間大 標本化周期は小さすぎても大きすぎても NG どのように決めるか？⇒ 標本化定理

9. 標本化定理 (The sampling theorem) developed by Shannon (and 染谷 ) in 1948 Claude Elwood Shannon 1916-2001

10. 標本化定理 (The sampling theorem) 標本化するアナログ信号に含まれる最高 周波数を f h とすると、標本化周波数 f s は： f s ≧ 2 f h (  t ≦ 1/2f h ) とすればよい。 この条件を満たすことにより、 標本化されたディジタル信号からもとのアナログ信 号を完全に再現できる。すなわち、アナログ信号に 含まれる如何なる情報も標本化時に失われない。 この条件を満たさないと⇒ エイリアシングが生じる 2 f h をナイキスト周波数という

11. 第 2 章 信号の解析と表現 ２．１ 周期信号 012345678910 Time t [sec] 0 5 -5 x(t)x(t) 周期関数の例 ( 周期 T = ２秒 ) T f(t) = f(t+T) (2-1)

12. 例題 2-1 次の信号の周期を求めなさい。 f(t)=sin(3/4)t (2-2)

13. 2.1.2 信号の周波数 g(t) = Acos( ω t + φ ) (2-5) where ω[rad/s] ：角周波数 A ：振幅 φ[rad] ：初期位相 周波数 f [Hz] は f = ω/ 2π (2-6) と表される。

14. 式 (2-5) の周期を求め、周波数との関係を示せ

15. 例題 2-2 次の信号の周波数と周期を求めよ f(t) = cos800πt

16. 2.2 フーリエ級数展開 信号 ( 時間関数、または時系列 (time series) データ ) に含まれる周波数成分を調べるには： 周期的信号 (periodic signal) の場合 ⇒ フーリエ級数展開 非周期的信号 (non-periodic signal) の場合 ⇒ フーリエ変換 が用いられる。

17. フーリエ級数展開 (Fourier series expansion) 012345678910 -5 0 5 Time t [sec] 周期関数の例 ( 周期 T = ２秒 ) x(t)x(t) 周期的信号 周期的信号は次式のように三角関数の線形和 ( フーリエ級数 ) で近似できる： ここで、 a 0 は直流分 ( 定数 ) 、 a n 、 b n は係数。 a n 、 b n をうまく選べば、 N →∞ とすることで右辺は左辺に収束する。 右辺： x(t) の フーリエ級数展開

18. a n ( a 0 を含む ), b n の決め方 E は近似の度合いを表す。 ∵各時刻 t で右辺が左辺に 等しければ E = 0. ∵ E は a n, b n の関数ゆえ、左式の 偏微分 ( 傾き ) が 0 となる係数値で E は極小値をとる。 anan E 右辺を左辺とできる だけ似た形にする。 最小二乗法 (least square method) 評価関数 (object function) E を最小にする係数は次の連立方程式を a n, b n について 解くことにより求められる。

19. a n ( a 0 を含む ), b n の決め方 これを解くと： Eq.(1)

20. Eq.(1) を数学的に導きなさい。 練習問題 【 2.2-1 】

21. フーリエ級数展開 の意味 周期的信号をその周期の倍調波 (harmonics) の三角関数 (trigeminal function) に分解する。 例えば、 周期 T ( 周波数 f=1/T[Hz]) の周期的信号は周波数 f, 2 f, 3 f, … Hz の三角関数に分解される。 これにより、 その周期関数に含まれる各周波数成分の大きさがわかる。 このとき、 同じ周波数でも sin と cos 成分があることに注意。 周期関数が偶関数 → cos 成分のみ (sin 成分は 0) 周期関数が奇関数 → sin 成分のみ (cos 成分は 0)

22. フーリエ級数展開 の例 x(t)x(t) -10 0 10 周期 T=2sec Time t [sec] -10 0 10 -10 0 10 00.511.522.533.54 -10 0 10 周波数 0.5Hz 周波数 1.0Hz 周波数 3.0Hz 0.5Hz sin 成分 : 3 1.0Hz sin 成分 : 4 3.0Hz cos 成分 : 2 その他の周波数成分 : 0

23. この結果を表示する と： 0.5Hz sin 成分 : 3 1.0Hz sin 成分 : 4 3.0Hz cos 成分 : 2 その他の周波数成分 : 0 cos 成分 sin 成分 12 3 4 周波数 [Hz] 1 2 3 4 振幅 これを, 周波数スペクトル (frequency spectrum) と呼ぶ。 12 3 4 周波数 [Hz] 1 2 3 4 振幅

24. フーリエ級数のいろいろな表現 ２ π を周期とする周期関数 f(x) について

25. ２ L を周期とする周期関数 f(x) について

26. 練習問題【 2.2-2 】 次のように定義されている関数 f ( x ) のフーリ エ級数を求めなさい。

27. 練習問題【 2.2-3 】 であっ て とする。 のフーリエ級数をもとめなさい。 １ ２ ３ ０－１ のちほど MATLAB で作図してみよう。

28. ２ L を周期にもつ周期関数 f(x) について

29. 複素形式のフーリエ級数展開 フーリエ係数 (Fourier coefficient)

30. 複素形式実数形式 両者の関係 c n は複素数 ( 実数部が cos 項、虚数部が sin 項に対応 ) x(t) が偶関数⇒ b n =0, x(t) が奇関数⇒ a n =0 |c n | ： 振幅スペクトル (amplitude spectrum) ： 位相スペクトル (phase spectrum) VS