ارائه کننده: آلاء شريعتی آشنايي با نامساويهاي ماتريسي خطي (Linear Matrix Inequalities) و کاربردهاي آن در مسائل کنترل ارائه کننده: آلاء شريعتی 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

نامساوي ماتريسي خطي (LMI) چيست؟ در مسائل بهينه سازي معمولاً قيود نامساويهاي خطي هستند در بعضي موارد اين قيود نا مساويهاي ماتريسي مي باشند به دستة خاصي از اين نامساويهاي ماتريسي LMI گفته مي شود 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

تعريف نامساوي ماتريسی خطی (LMI) يک نامساوي ماتريسی خطي به شکل زير بيان ميشود: که در آن با تعريف فوق 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology نکته : هر نامساوي ماتريسي متقارن که بصورت affine به متغير خود وابسته باشد، قابل بيان بصورت نامساوي ماتريسي خطي است. 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology مثال: 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology چرا LMI؟ در تئوري کنترل به مسائلي بر مي خوريم که دستيابي به جواب منوط به حل يک نامساوي ماتريسي است و يا در بعضي مسائل بهينه سازي، قيود نامساويهاي ماتريسي هستند. 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

مثال 1 : پايداري سيستمهاي خطي سيستم خطي زير را در نظر ميگيريم: تابع لياپانوف : شرط پايداري : 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology مثال 2 : معادلة ريکاتي معادلات ريکاتي که بطور وسيعي در کنترل بهينه استفاده مي شوند يک نامساوي ماتريسي است. نمايش آن بصورت رابطة زير است: که در آن ماتريسهاي Aو B معلوم و P=PT>0 ، R=RT>0 و Q=QT>0 مجهول هستند 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

مثال 3 : بيشترين مقدار تکين (Maximum Singular Value) بيشترين مقدار بهرة يک سيستم چند متغيره با بيشترين مقدار تکين آن نمايش داده ميشود. بطور کلي اگر A(x) يک ماتريس باشد بزرگترين مقدار تکين آن بصورت نمايش داده ميشود. 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology مسألة کمينه سازي بيشترين مقدار تکين را در نظر مي گيريم: از آنجا که قيد اين مسألة بهينه سازي را مي توان بصورت زير نوشت: 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology در مثال 1 شرط پايداري لياپانوف يک LMI مي باشد چون: 1-متقارن است 2-نسبت به درايه هاي P از درجة 1 است (affine) 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology ولي مثالهاي 2 و 3 LMI نيستند 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology شرط پايداري لياپانوف بعنوان اولين LMI در مهندسي کنترل شناخته مي شود. در دهة 40 قرن گذشته اين معيار وارد مسائل واقعي مهندسي کنترل شد و حل آن بصورت دستي و تنها براي مسائل کوچک انجام مي گرفت. 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology در دهة 60 تئوريهايي ارائه شد مبني بر اينکه دستة خاصي از نامساويهاي غيرخطي نظير معادلة ريکاتي قابل بيان بصورت LMI مي باشند. لم معروف شر(Schur) اين دسته از نامساويهاي ماتريسي را معرفي مي کند. 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology نامساوي شر(Schur) مجموعه نامساويهای غير خطي به شکل که در آن R(x)=RT(x) و S(x)=ST(x)، به LMI به صورت زير قابل تبديل است. 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology بنابراين معادلة ريکاتي و مسألة بزرگترين مقدار تکين قابل تبديل به يک LMI مي باشند. 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology تا قبل از دهة 80 اگرچه دامنة مسائلي که با نامساوي ماتريسي قابل بيان بودند گسترش پيدا کرده بود ولي هنوز حل LMIها به مسائل با ابعاد کوچک محدود بود. تا اينکه در دهة 80 الگوريتم نقطة داخلي براي LMI ارائه شد 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

طراحي کنترل کنندة فيدبک حالت با استفاده از LMI سيستم خطي زير را در نظر مي گيريم: فيدبک حالت: 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology شرط پايداري لياپانوف: ??! 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

ضرب نامساوي ماتريسي بالا در P-1 از چپ و راست متغير جديد: ضرب نامساوي ماتريسي بالا در P-1 از چپ و راست 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology L=KY Y=P-1 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology G1(s) + C(s) _ G2(s) 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology شرط پايداري: 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology ماکزيمم پاسخ ضربه محدوديت روي گين ماکزيمم خروجي به ماکزيمم ورودي عملکرد H∞ عملکرد H2 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology u=Kx 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology L=KY Y=P-1 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

پايداري + پيک پاسخ ضربه کوچکتر از ξ سيستم زير را در نظر مي گيريم: 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology خواص LMIها 1- LMIها يکتا نيستند يعني LMIهاي مختلفي مي توانند منجر به يک مجموعه جواب شوند. به عنوان مثال مجموعه جواب LMIها تحت هماني ثابت است. 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology خواص LMIها 2- چند LMI مي توانند بصورت يک LMI نمايش داده شوند. 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology خواص LMIها 3- LMIها قيود محدب مي باشند. مجموعة محدب مجموعة غير محدب 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology

K.N.Toosi University of technology مراجع Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory, S. Boyd, E. Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan, Siam, 1994. Advances in Linear Matrix Inequality Methods in Control, L. El Ghaoui, S. Niculescu, Siam 2000. A tutorial on linear and bilinear matrix inequalities, J. G. VanAntwerp, R. D. Braatz, Journal of Process Control, 2000. 17-Apr-17 K.N.Toosi University of technology