תחשיב היחסים (הפרדיקטים) תחשיב היחסים (הפרדיקטים)

השפה , )פסיק ( (,) ) סוגריים (  ,  ) קשרים לוגיים (  ) כמת כולל ( x,y,x,… ) משתנים ( a,b,c,… (קבועים) P,Q,R,… (סימני פרדיקטים) f,g,h,… (סימני פונקציות)

עצם שמות 1. משתנים וקבועים הינם שמות עצם. 2. אם f הוא סימן פונקציה n-מקומית ו- t1, …,tn שמות עצם, אזיf (t1, …,tn) גם כן שם עצם. 3. שום דבר אחר איננו שם עצם.

נוסחאות אם P הוא פרדיקט n-מקומי ו- t1,…,tn הם שמות עצם, אזי (t1, …,tn)P הוא נוסחה אטומית. 1. נוסחאות אטומיות הינן נוסחאות. 2. אם A ו- B נוסחאות, אזי גם (~A),(A  B) ו- (x(A הן נוסחאות. 3. שום דבר אחר אינו נוסחה. נוסחאות בלי משתנים חופשיים תקראנה משפטים או פסוקים.

בנוסחא (x(A, A נקרא הטווח של כמת x. תהי A נוסחה ויהי t שם עצם. נגיד ש-t חופשי ל-x ב-A, אם שום הופעה חופשית של x ב-A לא נמצאת בטווח של כמת y כאשר y מופיע ב-t.

(A  (B  C))  ((A B)  (A  C)) 2A (~B  ~A)  ((~B  A)  B) 3A אקסיומות לוגיות A  (BA) 1A (A  (B  C))  ((A B)  (A  C)) 2A (~B  ~A)  ((~B  A)  B) 3A xA(x)  A(t) כאשר t חופשי ל- x ב- A 4A xB) x(A  B)  (A  כאשר x לא מופיע חופשי ב-A A5 כללי היסק A, A  B ├ B MP A├ xA GEN

הוכחה עם הנחות תהי A נוסחה ותהי Γ קבוצת נוסחאות (הנחות). גזירה (הוכחה) של A מ-Γ היא סידרה של נוסחאות A1,A2,…,An כך ש- An היא A ועבור כל i =1,2,…,n מתקיים אחד מן התנאים הבאים: Ai היא אקסיומה, או Ai Γ , כלומר Ai הנחה או קיימים j,k < i כך ש- Ai מתקבלת מ- Ak ו- Aj ע"י MP. (כלומר, Aj היא מהצורה Ak  Ai), או קיים k < i כך ש- Ai מתקבלת מ- Ak ע"י GEN. (כלומר, Ai היא מהצורה xAk).

נכתוב Γ├ A אם קיימת גזירה של A מ-Γ (A יכיח מקבוצת הנחות Γ). תהי A1,…,An גזירה מ-Γ. נאמר ש- Ai תלויה ב-A (בגזירה הזו) אם ורק אם 1.  Ai היא A ו- AiΓ, או 2.  Ai מתקבלת ע"י MP או GEN מנוסחאות קודמות כאשר לפחות אחת מהן תלויה ב-A. טענה: אם B אינה תלויה ב-A בגזירה של B מ-{Γ{A, אזי Γ├ B הוכחה: ניתן להוכיח בקלות, באינדוקציה על אורך הגזירה.

משפט הדדוקציה: אם קיימת גזירה של B מ- Γ{A} שבה GEN אינו מופעל על משתנה חופשי של A בנוסחה שתלויה ב-A. אזי Γ├ A  B. הוכחה: תהי A1,…,An ‘‘=’’ B גזירה של B מ- Γ{A} המקיימת את תנאי המשפט. נוכיח באינדוקציה על i כי Γ├ A  Ai, ואז עבור i = n, נקבל Γ├ A  B. בסיס האינדוקציה וצעד האינדוקציה עבור MP הם בדיוק כמו במקרה הפסוקי.

אם Ai מתקבלת ע"י הכלל GEN מ- Ak (i < k), אזי Ai היא אם Ai מתקבלת ע"י הכלל GEN מ- Ak (i < k), אזי Ai היא .xAk על פי הנחת האינדוקציה, Γ├ A  Ak. על פי תנאי משפט הדדוקציה, א) Ak אינה תלויה ב-A או ב) x אינו חופשי ב-A. א) אם Ak אינה תלויה ב-A, אזי Γ├ Ak (ע"פ הטענה הקודמת). נמשיך את הגזירה: a Ak  ע"פ הטענה a+1 xAk (‘‘=’’ Ai) GEN, a a+2 Ai  (A  Ai) A1 a+3 A  Ai MP, a+1,a+2

ב) אםx אינו חופשי ב-A, על פי הנחת האינדוקציה, Γ├ A  Ak על פי הנחת האנדוקציה  a+1 x(A  Ak)  (A  xAk) A5 a+2 x(A  Ak) GEN;a a+3 A  xAk MP;a+1,a+2 מסקנה: אם קיימת גזירה של B מ-Γ{A} שבה GEN לא מופעל על משתנים חופשיים ב-A, אזי Γ├ A  B.  מסקנה: אם A הוא פסוק ו- Γ,A├ B אזי Γ├ AB.