1. הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353)
א"ב, מילים, ושפות
תרגיל מספר 1
© אריאל ירושביץ'

2. מילים, מילים - הגדרות אות הינה סימן כלשהו, לדוגמא: a, 3, $,
מילה (string) הינה קבוצה סדורה וסופית של אותיות.
aaa, 132, 13d3$$#
אם w מילה אזי מסמנים ב|w| את אורכה, כלומר את מספר האותיות שבה
מסמנים ב  את המילה הריקה, ||=0
אלף-בית הינו קבוצה סופית של אותיות, מסומן בד"כ ב 
בד"כ נתייחס למילים מעל א"ב נתון, כלומר מילים שאותיותיהן שייכות לקבוצה נתונה
משתני אותיות - יווניות קטנות, משתני מילים – לטיניות מסוף הא"ב
אפסילון הוא מילה מעל כל א"ב
© אריאל & רותם
© אריאל ירושביץ'

3. פעולות על מילים היפוך של מילה wR: מספר המופעים של האות  במילה w
(1…n)R = (n … 1)
מספר המופעים של האות  במילה w
#(w)
שרשור (concatenation) צירוף מילים ע"י חיבורן זו לזו לכדי מילה אחת: 1…n  1…m = 1…n1…m
w, w = w = w
שרשור הוא אסוציאטיבי, אך לא קומוטטיבי
בד"כ מוותרים על הנקודה
© אריאל & רותם
© אריאל ירושביץ'

4. פעולות על מילים רישא (prefix) של מילה: בדומה סיפא (suffix)
u היא רישא של w אמ"מ v, uv = w
בדומה סיפא (suffix)
חזקה של מילה:
w0 = 
wn=wn-1w
בדרך אחרת: wn = ww…w n
© אריאל & רותם
© אריאל ירושביץ'

5. שפות אוסף של מילים מעל א"ב נתון נקרא שפה שרשור של שפות: חזקה של שפה:
דוגמאות לשפות מעל הא"ב {a,b} {aab,b},{aaaa,}, {w|#a(w) = #b(w) }, {}, 
שרשור של שפות:
L1L2 = {wv|wL1  v L2}
חזקה של שפה:
L0={}
Li=Li-1L
סגור קלין:
נשים לב כי שפות יכולות להיות אין-סופיות
<>  ({ })
מה הוא איבר היחידה ביחס לשרשור שפות? ({ })
למה שווה L ? (שרשור של השפה הריקה עם שפה כלשהי)?.
האם (L1L2)L3 = L1L3 L2L3 ? – (כן)
האם (L1  L2)L3 = L1L3 L2L3 ? – (לא) {a},{e},{a,e}
האם (L1L2)* = L1*L2*? - לא L1 = {a}, L2={b}.
בהינתן א"ב , מסמנים את
שפת כל המילים מעל א"ב זה ב*
הסגור החיובי:
© אריאל & רותם
© אריאל ירושביץ'

6. תכונות קרדינליוּת של שפות
אנו מעוניינים לבחון את הקרדינליות של שפה, ושל קבוצת שפות
תזכורת -
קבוצה A היא בת-מניה אם ניתן להגדיר מיפוי חח"ע
f: A  N
באופן כללי, מוכיחים שקילות בין קבוצות ע"י מציאת התאמה חח"ע ועל מקבוצה אחת לשניה או מציאת התאמה חח"ע לשני הכיוונים
© אריאל & רותם
© אריאל ירושביץ'

7. שפת כל המילים מעל א"ב נתון 
שפת כל המילים מעל א"ב נתון 
טענה - הקבוצה * היא בת מנייה
הוכחה:
נגדיר סדר על אותיות 
נגדיר סדר על המילים ב * כלהלן:
קודם לפי האורך.
מילים באותו אורך עפ"י סדר לקסיקוגרפי
© אריאל & רותם
© אריאל ירושביץ'

8. המיפוי f: {a,b}*  N נגדיר g(a) = 0, g(b) = 1
f(a1…an)=2n+g(a1)2n-1…g(an)20
דוגמאות
f()=1, f(a)=21=2,f(ba)=22+21
 מסקנה, הקבוצה {a,b}* בת מנייה, ולכן כל שפה L מעל {a,b} בת מנייה.
ובדומה גם מעל כל א"ב (סופי).
© אריאל & רותם
© אריאל ירושביץ'

9. קבוצת כל השפות מעל א"ב  טענה: קבוצת כל השפות מעל א"ב  אינה בת מנייה.
עלינו להראות כי אין התאמה חח"ע מהשפות מעל  ל N.
הרעיון - נניח כי קיימת כזאת, ונביא לסתירה על ידי לכסון.
הוכחה
נניח כי L1, L2, … מנייה כלשהי של השפות מעל , ונוכיח כי קיימת בהכרח שפה שאינה שייכת למנייה.
למעשה הקבוצה היא קבוצת חזקה של קבוצה בת-מנייה ולכן עפ"י משפט קנטור אינה בת מנייה
© אריאל & רותם
© אריאל ירושביץ'

10. הוכחה - המשך A = 1, wiLj aij= 0, wiLj
נבנה מטריצה אין סופית בשני הממדים:
( מנייה של כל המילים ב * )  ( מנייה של כל השפות )
כך:
L1 L2 L w1 w2 w3 .
A =
aij=
1, wiLj
0, wiLj
מה קורה באלכסון???
© אריאל & רותם
© אריאל ירושביץ'

11. לא קיימת מנייה של כל השפות ב P(*) כלומר הקבוצה אינה בת מנייה!
הוכחה - סוף
נגדיר שפה L ע"פ האפסים באלכסון המטריצה:
L = {wi|aii=0}
={wi|wii Li}
נראה כי שפה זו אינה נמנית במנייה שלעיל
לכל i, L  Li כי:
wi  Li  aii = 1  wi  L
wi  Li  aii = 0  wi  L
מסקנה
לא קיימת מנייה של כל השפות ב P(*) כלומר הקבוצה אינה בת מנייה!
© אריאל & רותם
מ.ש.ל
© אריאל ירושביץ'

12. שאלה לדוגמא
נתונות שתי מילים * x,y, כך ש xy=yx. הוכח באינדוקציה כי קיימים i,jN ו * z כך ש x = zi ו- y = zj.
הוכחה
נוכיח באינדוקציה על |xy|.
עבור |xy|= 0 הטענה מתקיימת טריוויאלית.
נניח כי הטענה מתקיימת עבור כל |xy| < n.
יהיו עתה * xy, כך ש xy=yx, |xy| = n
אם x= או y= אזי שוב הטענה מתקיימת טריויאלית.
נניח אפוא כי  x,y , ונניח ללה"כ כי |x||y|.
© אריאל & רותם
© אריאל ירושביץ'

13. שאלה לדוגמא (המשך)
xy = yx  |x| |y|  u*, x = yu  yuy = yyu  yu = uy (*)
אנו משתמשים בעובדה ששתי מילים הן שוות אמ"מ כל שתי רישות (סיפות) שלהן, באותו אורך, שוות
הנחנו ש  x   y ולכן |x|=|yu|<n.
מ * ומהנחת האינדוקציה נקבל כי z* , i,j N כך ש y = zi, u = zj.
ומכאן גם x = zi zj = zi+j
מ.ש.ל
© אריאל & רותם
© אריאל ירושביץ'