Review of Chapter 3 - 已學過的 rules( 回顧 )- 朝陽科技大學 資訊管理系 李麗華 教授

2 3.2 (p.115) 1.Derivative of a constant in zero (p.115 上 ) 2.Power Rule (p.115 下 ) 3. n: real (p.116 中 )

3 3.2 (p.115) 4.Sam & Difference Rules (p.117 下 ) 即 即

4 3.2 (p.115) 5.Product Rule (p.140 上 ) 6.Quotient Rule (p.142 中 ) 7.Chain Rule (p.140 下 )

5 3.2 (p.115) 8.General Power Rule or

6 3.5 The Product ( 積 ) & Quotient Rule ( 商 ) 1. 由於函數與函數間的 、 、 、 和冪次等諸 多變化，茲將為分的法則分別介紹。 2. 已在前面學了和、差法則，即 然而積與商法則都不是可以分開帶入計算的。 EX:, 則

7 3.5 The Product ( 積 ) & Quotient Rule ( 商 ) 3.Product Rule Let,then 即, (或(或 )

8 3.5 The Product ( 積 ) & Quotient Rule ( 商 ) 3.Product Rule proof ：已知 加入一個 加入項 拆兩項 提出共同項 拆 得証

9 3.5 The Product & Quotient Rule 範例 EX ：, 求 sol ： EX ： sol ：, 求

10 上台練習 EX1 ： EX2 ： EX3 ： EX4 ：

The Product ( 積 ) & Quotient Rule ( 商 ) 4.Quotient Rule EX ： sol ：, find the derivative of EX ： sol ：, find the derivative of

12 上台練習 EX1 ： EX2 ： EX3 ： EX4 ：

The Chain Rule 前面已學 power rule ，即 ，但這個法則 並不能直接套在 這樣的式子，即 ，若將 視為另一個函數，即 ，故 ，那麼微分應該是 ， 即 chain rule 。 Chain Rule ： 若 y is func. of u and u is func. of x

The Chain Rule 範例 EX ： sol ： 若 let EX ： sol ： 求 let

The Chain Rule 因此若前面的 power rule 中的 x 是另一個函數的話， 則可修改如下： –General Power Rule u is a differentiable function of x and n is a real number

16 上台練習 EX1 ： EX2 ： EX3 ： EX4 ：, { let ∴, {, 求

17 综合練習 EX1 ： sol ： let,

18 综合練習 EX2 ： sol ：, 求 EX3 ： sol ： 同理利用 Quotient Rule 應用,, 求

19 上台練習 EX1 ： EX2 ： EX3 ：

High-Order Derivatives ( 高階導函數 ) 前面所學均為一次微分，即 ，而高階即指多階 微分之意，例：, … 寫法： or ( ＊ ) 計算式即逐次對前一個微分結果再做微分即可得高一階的微分

High-Order Derivatives ( 高階導函數 ) EX ： 則 or EX ：, 求,,

High-Order Derivatives ( 高階導函數 ) 二階微分即 ，我們通常稱為一階函數的變化 率，日常生活中常見的例子即 ” 加速度 ” (Acceleration) 。

High-Order Derivatives ( 高階導函數 ) EX ： 若一球往上丟之距離公式為 ， 則請求出這個球在 的速度及加速度 。 sol ： ∴ 時的速度為 的加速度為

High-Order Derivatives ( 高階導函數 ) EX ： 若一公司生產物品的成本為 ，請求出當 的邊際成本 (marginal cost) 的 rate of change 。 sol ： marginal cost 即求 ，而求 marginal cost 的 rate of change 即 ( 即遞減的固定變化量 ) 。

Implicit Differentiation ( 隱微分 ) 1. 若遇 這類式子，因為無法寫出 所以無法直接套用所學的微分方法。對這類函數 應採 Implicit Differentiation 。 2. 已知若 ， 。若像上面的式子，我 們將 或 均視為 這樣的替代變數 ( 事實上 本來就是 變數項的替代函數 ) ，則微分方法其 實是一樣的。

Implicit Differentiation ( 隱微分 ) EX ： sol ： 各別做 ∴

Implicit Differentiation ( 隱微分 ) EX ：, 求微分 sol ：

Implicit Differentiation ( 隱微分 ) EX ： 求 的斜率 [ 或切線於 (1,3)] sol ： ∴截點 (1,3) 的斜率為：