1. -Exponential & Logarithmic Function- Chapter 5 朝陽科技大學 資訊管理系 李麗華 教授

2. 2 Introduction to Exponential & Logarithmic 1. 指數和對數是自然界中常見的現象。 ( 別忘了，數學完全是用來解決生活中的問題，其中當然 包含了自然界中觀察到的現象。 ) 2. 所謂的指數函數，即 (b>0, b≠1) ，指數函數的 Domain( 定義域 ) 是所有實數

3. 3 指數的例子 EX ： 兔子的繁衍，幾個世代下來即可看出指數成長現象。 ( 若每兩隻兔子可生出六隻小兔 ) 第0代第0代 第1代第1代 第2代第2代 ︰︰︰ 由上圖可知，第 n 代為 每一對兔子 生六隻 所以 第0代第0代 所以由公式就可看出兔子在沒有天敵天災的狀況下，他們的成長具有指數現象。

4. 4 指數的變化與圖形 3. 指數是一個快速遞增 ( 減 ) 的函數圖形 EX ：, 則其圖形如下 1 3927 2345 … … 81243 1 2345 5 10 15 20 1 0.50.25 0.125 2345 … …. 0625.03125 EX ： -4 168 -3-2 … … 4 2 5-5 5 10 15 20

5. 5 指數範例 -1 所以由上頁的兩個圖可看出不論遞增或遞減，圖都會經過 的這一個點。其遞增遞減性相對的較其他圖形高很 多。 EX ： 代入

6. 6 指數範例 -2 4. 生活中必接觸到的指數範例有  存錢在銀行時的複利計算。 ( 問 : 月複利較佳或年複利 ?) ‚ 在 18 世紀時，英國經濟學家兼人口學家 Malthus 就觀察到人口數的 成長亦存在指數現象。他當時提出的估算與現今的世界人口數幾 乎只有 0.21% 的誤差。 令 本金, 存錢 n 個月後的本利和, 年利率 180019002000 10 20 30 40 50 60 年 人口 ( 億 )

7. 7 指數範例 -3 ƒ 放射線的衰變：居禮夫人 ( 發現鐳 ) 與利比 ( 發現碳 14) 皆因發現放射 線元素具有指數型態的半衰期，而雙雙獲得諾貝爾獎。 鐳的半衰期是 1600 年 碳 14 訂年法式考古學家或許多醫學家與地質學家利用來判定的好工 具。 ( 碳 14 的半衰期為 5770 年 )

8. 8 5-1 Exponential Function (1) 1., 指數函數 2. 自然界最常見的指數應用，其基底 (base) 為 ( 餓. 吃ㄧ包 ) 。 e 是由 而求得的無理數 (irrational number) 1 2 10 2.59374246 100 2.704813829 1000 2.716923932 ︰︰ 1000000 2.718281827 ( 餓. 吃ㄧ包二包一包二次 ) 這個 e 數是由瑞士的數學家提出 Leonhara Fuler

9. 9 5-1 Exponential Function (2) EX ： 我們平常存款的複利他的成長就具有自然指數的現象，所以 e 是非常生活化 也存在自然界的數。 ( 說明如下 ) ( Why ? ) balance 本金 利息 期數 ∵ 若考量要存很久 ( ) 令 這就是 e 囉 原來複利的夠久它就是自然指數

10. 10 5-1 Exponential Function (3) EX ： 令本金有 $10000& 利息為 8%( 複利 ) ，則 3 年後本利和約為多少 ? sol ： 與利用 來算 ( 年代愈久, 則 e 的值會愈接近實際值 )

11. 11 5-1 Exponential Function (4) EX ： If the fish population is growing with a.How many fish at the beginning? b.How many fish will it be after 10 years? c.What is the max no. of fish supported by the lake? sol ： a. 開始的魚數 b. 當 c. 當

12. 12 5-1 Exponential Function (5) 3.Property of exponents ： 12 3 4 5 6 7

13. 13 上台練習 1 2 3 4 5

14. 14 5-2 Logarithmic Function (1) 1. 對數 (Logarithmic) 和指數互為親戚 2. 常用對數符號： 3. ( 基底均同, 但指數的答案為對數的內容 ) ( 叫自然對數 )

15. 15 5-2 Logarithmic Function (2) EX ： 求 的解 sol ： EX ： 求 的解 sol ： EX ：, 求 x 解 sol ：

16. 16 5-2 Logarithmic Function (3) 4. 常用的對數特性 (Property) 1 2 3 4 5 6 7

17. 17 5-2 Logarithmic Function (4) EX ： 請簡化下列各式 a b c d e

18. 18 5-2 Logarithmic Function (5) 5. 所以前面指數等相關議題或應用，現在都可以利用對數 交互來計算。例如前面所提 亦可反求 r 或反求 t 的 值。 實例一 : 若想在 8 年內賺兩倍, 則請問利息應為何 ? sol ： 解r解r

19. 19 5-2 Logarithmic Function (6) 實例二 : 若細菌成長為指數型態, 且細菌由起始 400 個增加到 1000 個只需 3 小時, 問 10 小時候有多少細菌 ? sol ： 所以 10 小時候約 實例三 : Radium( 鐳 ) half life is 1600 years. If begins with an 80-gram of radium, how many grams will be remain 200 years from now? sol ： 先求 k

20. 20 5-2 Logarithmic Function (7) 實例四 : 碳 14 定年法 ( 已知碳 14 半衰期為 5730 年 ) 在 Alps( 阿爾卑斯山 ) 發現一化石, 其碳 14 剩 0.53

21. 21 5-3 Differentiation of Exponential Function(1) 1. 指數的微分和第 3 章所教的相同。 其證明詳如 p.279 pf: 對 沒影響逼近 1( 參見課本 279 頁 )

22. 22 5-3 Differentiation of Exponential Function(2) EX ：, 求其微分即 sol ： uv EX ： sol ：, 求 代入 令u令u 令v令v

23. 23 5-3 Differentiation of Exponential Function(3) EX ： 若, 求 sol ： 令u令u uu’ EX ： 令, 求 sol ： 令u令u u’

24. 24 5-3 Differentiation of Exponential Function(4) 2. ，即 EX ： sol ：, 求 ( 即 ) 令u令u EX ： 美國 1982-1987 的單親家庭房屋的價格成長公式為 sol ： (t 為年, 1982 為第 0 年即 t=0, p(t) 為價格 ) 1 求房屋成長率, 自 1982~2987 2 求 1985 的價格變化率 1 2 (1985 為第 3 年, 由 1982 算起 )

25. 25 5-3 Differentiation of Exponential Function(5) 1. 說明 : 由於 pf ： EX ： 求 when sol ： uv

26. 26 上台練習 EX ： sol ：, 求 EX ： sol ： 代, 求

27. 27 5-4 Differentiation of Logarithmic Function (1) 2. 若 ， u 為 x 的函數，則 即 EX ： sol ： 令, 求

28. 28 上台練習 EX ： 若 sol ： 令, 求 EX ： sol ： 令, 即, 求

29. 29 上台練習 EX ： sol ：, 求 Relative Extrema(RE) 相對極值 ∵要求 RE ∴令∴令 1/3 - 1/2 + ( ∵ ln 不能有 x<0 的數∴不討論 )

30. 30 5-4 Differentiation of Logarithmic Function (2) 3. ，則 ( 即 ) pf ： 若, 則 若, 則 ∴得証

31. 31 5-4 Differentiation of Logarithmic Function (3) 4. 若非指數為底則其微分公式亦同, 則 ∴若, 則 若, u 為 x 的函數, 則

32. 32 5-4 Differentiation of Logarithmic Function (4) EX ：, 求 sol ： 令 同理, 若, 則 EX ： 令, 求 sol ： 即求 令

33. 33 5-4 Differentiation of Logarithmic Function (5) EX ： 若, 求 sol ： 這一題由於 base 有 x, exponent 也有 x, 故應先設法予以化簡再求微分 令, 則兩邊取 兩邊一起微分 uv