دکتر حسين بلندي- دکتر سید مجید اسما عیل زاده بسم ا... الرحمن الرحيم سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 دکتر حسين بلندي- دکتر سید مجید اسما عیل زاده

Mathematical Model of Systems Recap. Mathematical Model of Systems O.D.E Laplace Transform Transfer Function

The time-domain representation (State Space Equations) The time-domain is the mathematical domain that incorporates the response and description of a system in terms of time,t. The time-domain is the mathematical domain that incorporates the response and description of a system in terms of time, t. The time-domain representation of control systems is an essential basis for modern control theory and system optimization. The solution of time-domain formulation of control system problem is facilitated by availability of use of computer.

The time-domain representation of control systems is an essential basis for modern control theory and system optimization.

The solution of time-domain formulation of control system problem is facilitated by availability of use of computer.

Applications Linear and nonlinear systems, Time-invariant and time-varying systems, Systems with nonzero initial conditions. The term state of a system refers to the past, present, and future of the system. State-space equations is a description in the time domain which may be applied to a very wide category of systems.

Terms and concepts dx/dt = A x + B u y = C x + D u State-space representation: a time-domain model comprised of the state differential equation and the output equation. dx/dt = A x + B u y = C x + D u

State variables: the set of variables that describe the system. State variable feedback: the control signal for the process is a direct function of all the state variables.

State vector: the vector containing all n states variables, x1, x2,…, xn

The state variables of a dynamic system A set of state variables (x1,x2,…,xn) for system is a set such that knowledge of the initial values of the state variables [ x1(t0), x2(t0), … xn(t0)] at the initial time t0 and of the input signals u1(t) and u2(t) for t>=t0 sufficient to determine the future values of the outputs and state variables.

The general form of a dynamic system A set of state variables (x1,x2,…,xn) for system is a set such that knowledge of the initial values of the state variables [ x1(t0), x2(t0), … xn(t0)] at the initial time t0 and of the input signals u1(t) and u2(t) for t>=t0 sufficient to determine the future values of the outputs and state variables. State-space equations is a description in the time domain which may be applied to : Linear and nonlinear systems, Time-invariant and time-varying systems, Systems with time delay, Systems with nonzero initial conditions. The term state of a system refers to the past, present, and future of the system. The state of a system is expressed by a finite number of state variables x1(t), x2(t),…,xn(t). Definition 1 The state variables of a system are defined as a minimum number of variables such that if we know Their values at a time t0, the input function applied to the system for t>=t0, The mathematical model which related the input, the state variables, and the system itself, then the determination of the system’s states for t>t0 is guaranteed.

The state of a system is expressed by a finite number of state variables x1(t), x2(t),…,xn(t).

Definition The state variables of a system are defined as a minimum number of variables such that if we know their values at a time t0, the input function applied to the system for t ≥t0, the mathematical model which related the input, the state variables, and the system itself, then the determination of the system’s states for t>t0 is guaranteed.

نمايش فضاي حالت سيستم‌ها بطور كلي بسياري از سيستم‌ها را مي‌توان توسط يك دستگاه معادلات ديفرانسيل غيرخطي نمايش داد که بصورت زير نوشته می شوند: t : متغير زمان : x(t) بردار ستوني تغييرپذير با زمان ( n بعدي ) كه بر حالت سيستم دلالت مي‌كند. u(t) :بردار ستوني (m بعدي ) كه نشانگر متغير ورودي يا كنترل مي‌باشد. در حالت كلي مي‌توان خروجي سيستم را به شكل زير نمايش داد:

در اين درس عمدتاً تمركز ما بر روي سيستم‌هاي خطي مي‌باشد در اين درس عمدتاً تمركز ما بر روي سيستم‌هاي خطي مي‌باشد. بنابراين F و G توابع خطي مي‌باشند. در اين صورت سيستم را خطي ناميده و با معادلات كلي زير نمايش داده می شوند : :ماتريس ماتريس حالت :ماتريس ماتريس ورودي :ماتريس ماتريس خروجي :ماتريس ماتريس انتقال بين ورودي و خروجي

نکته 1 : اگر درجه صورت از مخرج کوچکتر باشد، خواهد بود. نکته 1 : اگر درجه صورت از مخرج کوچکتر باشد، خواهد بود. نکته 2 : در صورتي كه اين ماتريسها با زمان تغيير نكنند، خواهيم داشت: انتخاب متغيرهاي حالت به منظور استخراج متغيرهای حالت يک سيستم فيزيکی، مشخص بودن يکی از عوامل زير ضروری می باشد: 1) معادلات ديفرانسيل . 2) بلوك دياگرام يا سيگنال فلوگراف (تابع تبديل). 3) سيستم فيزيكي.

روشهای انتخاب متغيرهاي حالت به سه دسته اصلی تقسيم می شوند: 1) استفاده از متغيرهاي فيزيكي 2) استفاده از متغيرهاي فاز 3) استفاده از متغيرهاي كانونيكال نکته 1 : تعداد متغيرهاي ناوابسته درجه مخرج نکته 2 : با استفاده از قوانين فيزيكي معادلات ديفرانسيل (بايد minimal باشد). سيستم فيزيكي

نکته 3: الف) بايد توجه داشته باشيم كه معادلات فضاي حالت نهايي بايد مي‌نيمال باشند. ب) متغيرهاي حالت يک سيستم بايد بصورت مستقل از هم انتخاب شوند. فرم نهایی معادلات فضاي حالت برای سیستم های تک ورودی- تک خروجی:

1- مدلسازي سيستم كنترل با استفاده از معادلات فضاي حالت، به روش متغيرهاي فيزيكي: بطور كلي دو ديدگاه جهت مدلسازي وجود دارد : الف: تقسيم نمودن سيستم به اجزاء تشكيل دهنده و مدلسازي آن توسط روابط رياضي. ب : شناسايي پارامتري سيستم : در اين حالت آزمايشهايي سيستم انجام مي‌پذيرد و با بررسي نتايج حاصله يك مدل رياضي براي سيستم تعيين مي‌‌شود. در راستاي پايه‌گذاري و تبيين سيستم، مدل بدست آمده بايد مبين پارامترهای زير باشد: ـ ارتباط ديناميكي بين پارامترهاي دستگاه ـ ورودي كارانداز ـ خروجي قابل اندازه‌گيري باشد.

نکاتی که در مدلسازی سيستمها بايد در نظر داشت مدلسازي دربرگيرنده اطلاعات دروني سيستم بوده و همچنين ارتباط بين effect , cause متغيرهاي سيستم مي‌باشد. پايه و اساس اصلي جهت انجام كار استفاده از قوانين فيزيكي حاكم بر سيستم مي‌باشد. انتخاب متغيرهاي حالت در روش متغيرهاي فيزيكي براساس عناصر موجود نگهدارنده انرژي سيستم بنا مي‌شود. متغير فيزيكي در معادلة انرژي براي هر عنصر نگهدارنده انرژي مي‌تواند بعنوان متغير حالت سيستم انتخاب شود. لازم به يادآوری است که متغيرهاي فيزيكي بايد بگونه ای انتخاب شوند كه ناوابسته باشند.

مثال 1 : بردار متغيرهای حالت : معادلات فضای حالت سيستم

2- نمايش معادلات فضاي حالت توسط متغيرهاي فاز اگر فرض كنيم كه يك سيستم ديفرانسيل مرتبه n ام زير را داشته باشيم: با دانستن و ورودي u(t) به ازاي رفتار آينده سيستم قابل درك يا تبيين مي‌باشد. پس ما مي‌توانيم را به عنوان متغيرهاي حالت انتخاب كنيم. به اين روش، روش متغيرهاي فاز مي‌گويند.

نحوه انتخاب متغيرهای حالت : استخراج مدل فضای حالت برای معادله ديفرانسيل سيستم :

مثال 2 : if x1=x مدل فضای حالت سيستم مکانيکی :

مثال 3 : متغيرهای حالت سيستم مکانيکی :

مدل فضای حالت سيستم مکانيکی مثال 3 :

معادلات ديناميکی سيستم مطلوبست مدل فضای حالت سيستم زير : مثال 4: حل : معادلات ديفرانسيل بيان شده توسط تابع تبديل فوق بصورت زير نوشته می شود: مدل فضای حالت معادلات ديناميکی سيستم متعيرهای حالت

مطلوبست مدل فضای حالت سيستم زير: مثال 5: متغيرهای حالت : حل : پارامتر a را طوري انتخاب مي‌كنيم كه حذف شود. بنابراين a=-1 مدل فضای حالت سيستم :

3-نمايش معادلات فضاي حالت توسط فرمهاي كانوليكال هدف : با فرض مشخص بودن تابع تبديل سيستم، تحقق های فضای حالت که از اهميت ويژه ای بر خوردار هستند را بدست می آوريم. الف) فرم كانونيكي كنترل‌پذير ب) فرم كانونيكي مشاهده‌پذير ج) فرم كانونيكي قطري (جردن) اين تحقق ها عبارتند از: تابع تبديل زير را در نظر می گيريم: تبديل لاپلاس ورودي : تبديل لاپلاس خروجي :

فرم کانونيکی کنترل پذير مدل فضای حالت : ويژگی ها : 1) اين تحقق همواره کنترل پذير است. 2) در صورتيکه تابع تبديل سيستم، قطب و صفر مشترکی نداشته باشند، اين تحقق رويت پذير خواهد بود.

مدل فضای حالت : ويژگی ها : فرم کانونيکی رويت پذير 1) اين تحقق همواره رويت پذير است. 2) در صورتيکه تابع تبديل سيستم، قطب و صفر مشترکی نداشته باشند، اين تحقق کنترل پذير خواهد بود.

فرم کانونيکی قطری (جردن) حالت اول : اگر مقادير ويژه سيستم، حقيقی و غير تکراری باشند. مدل فضای حالت : ويژگی ها : 1) اين تحقق همواره کنترل پذير است. 2) در صورتيکه باشند، اين تحقق رويت پذير خواهد بود.

حالت دوم : اگر تعدادی از مقادير ويژه سيستم، حقيقی و تکراری باشند. حالت دوم : اگر تعدادی از مقادير ويژه سيستم، حقيقی و تکراری باشند. ز مدل فضای حالت : ويژگی ها : 1) اين تحقق همواره کنترل پذير است اگر و فقط اگر آخرين سطر بلوکهای جردن مربوط به هر مقدار ويزه تکراری، در ماتريس B مستقل خطی (اگر تنها يک بردار باشد، مخالف صفر) باشند . 2) اين تحقق همواره رويت پذير است اگر و فقط اگر اولين ستون بلوکهای جردن مربوط به هر مقدار ويزه تکراری، در ماتريس C مستقل خطی (اگر تنها يک بردار باشد، مخالف صفر) باشند .

يعني مقادير ويژه ماتريس A في‌الواقع همان قطبهاي سيستم مي‌باشند. بدست آوردن تابع تبديل از معادلات فضاي حالت حالت اول : سيستمهای تک ورودی – تک خروجی (SISO) تبديل لاپلاس تابع تبديل يعني مقادير ويژه ماتريس A في‌الواقع همان قطبهاي سيستم مي‌باشند.

مثال : تابع تبديل سيستم زير را بدست آوريد :

حالت دوم : سيستمهای چند ورودی – چند خروجی (MIMO) اگر بردار ورودي u، m بعدي و بردار خروجي y ، l بعدي باشد، آنگاه ماتريس G عبارت است از : در واقع عنصر (i , j) ام از تابع G ، ، تبديلي است كه خروجي i ام را به ورودي j ام مربوط مي‌سازد. بنابراين :

Outline Block Diagram Terms and concepts Canonical form of a feedback control system Block diagram transformations

Block diagrams Block diagrams consist of unidirectional, operational blocks that represent the transfer function of the variables of interest. The block diagram representation of a given system often can be reduced to a simplified block diagram with fewer blocks than original diagram.

Introduction A graphical tool can help us to visualize the model of a system and evaluate the mathematical relationships between their elements, using their transfer functions. In many control systems, the system of equations can be written so that their components do not interact except by having the input of one part be the output of another part. In these cases, it is very easy to draw a block diagram that represents the mathematical relationships in similar manner to that used for the component block diagram.

A block diagram is a shorthand, pictorial representation of the cause-and-effect relationship between the input and output of a physical system. It provides a convenient and useful method for characterizing the ‘functional relationships among the various components of a control system. The arrows represent the direction of information or signal flow. ©Oxford University Press 2001

A block diagram is a shorthand, pictorial representation of the cause-and-effect relationship between the input and output of a physical system. It provides a convenient and useful method for characterizing the ‘functional relationships among the various components of a control system. The arrows represent the direction of information or signal flow.

Component Block Diagram

Block Diagram It represents the mathematical relationships between the elements of the system. The transfer function of each component is placed in box, and the input-output relationships between components are indicated by lines and arrows.

Block Diagram Algebra We can solve the equations by graphical simplification, which is often easier and more informative than algebraic manipulation, even though the methods are in every way equivalent. The interconnections of blocks include summing points, where any number of signals may be added together.

1st & 2nd Elementary Block Diagrams Blocks in series: Blocks in parallel with their outputs added: The operations of addition and subtraction have a special representation. The block becomes a small circle, called a summing point, with the appropriate plus or minus sign associated with the arrows entering the circle. The output is the algebraic sum of the inputs. Any number of inputs may enter a summing point.

Combining blocks in cascade The multiplication is commutative.

3rd Elementary Block Diagram Single-loop negative feedback Transfer function Two blocks are connected in a feedback arrangement so that each feeds into the other.

Proof: + e x x y G1 y  - b G2

+ G1 + G2 + -

Quarter car suspension Series R(s + y - R(s) + y Feedback - R(s) y

1st Elementary Principle of Block Diagram Algebra

2nd Elementary Principle of Block Diagram Algebra

3rd Elementary Principle of Block Diagram Algebra Unit feedback control system.

©Oxford University Press 2001

Example 1

No pure series/parallel/feedback Needs to move a block, but which one? Example 2: Find TF from U to Y: + U + + Y + - - No pure series/parallel/feedback Needs to move a block, but which one? Key: move one block to create pure series or parallel or feedback! So move either left or right.

+ U + + Y + - - + U + + Y + - - + U + Y + -

Feedback Rule The gain of a single-loop negative feedback system is given by the forward gain divided by the sum of 1 plus the loop gain

Eliminating a feedback loop

Closed-loop transfer function Ea(s) = R(s) - B(s) = R(s) - H(s) Y(s) Y(s) = G(s) Ea(s) Y(s) = G(s) [ R(s) - H(s) Y(s) ] Y(s) [ 1 + G(s) H(s) ] = G(s) R(s) Y(s)/R(s) = G(s) /(1 + G(s) H(s))

Closed-loop transfer function Ea(s) = R(s) - B(s) = R(s) - H(s) Y(s) Y(s) = G(s) Ea(s) Ea(s) = R(s) - H(s) G(s) Ea(s) Ea(s) [ 1 + G(s) H(s) ] = R(s) Ea(s)= R(s) /(1 + G(s) H(s))

Closed-loop transfer function Y(s) = R(s) G(s)/(1 + G(s) H(s)) Ea(s)= R(s) /(1 + G(s) H(s))

All the transformations can be derived by simple algebraic manipulation of the equations representing the blocks.

Ex. 3 Block diagram reduction Figure: 02-26

Figure: 02-27

Example 4

fig_03_19 Example 5 Can use superposition: First set D=0, find Y due to R Then set R=0, find Y due to D Finally, add the two component to get the overall Y

fig_03_20 First set D=0, find Y due to R

Then set R=0, find Y due to D fig_03_21 G2

Finally, add the two component to get the overall Y fig_03_19

Summary Using transfer function notations, block relationships were obtained.