Bab 3 Kinematik dalam 2,3-D

Major Concepts Kuantiti-kuantiti kinematik dalam notasi vektor Persamaan kinematik dalam 2-D Gerakan projektil (peluncuran,lontaran) Gerakan membulat seragam dan tak seragam Halaju relatif dan Transformasi Galilean

Gerakan dalam 2-D Tapi tak cukup untuk pergerakan dalam 2,3-D Dalam Bab 2 kita kaji kinematik dalam 1-D aje Guna tanda + or – cukup untuk pergerakan 1-D Tapi tak cukup untuk pergerakan dalam 2,3-D Vektor kena digunakan untuk memerihal anjakan, halaju, pecutan bagi zarah gerak dalam 2-D

Kedudukan dan anjakan Kedudukan suatu objek yang bergerak dalam satah x-y diperihalkan oleh vektor keduduakan, r Anjakan objek ditakrifkan sebagai perubahan dalam kedudukannya Δr = rf - ri

Ide pergerakan yang lebih umum Apa yang telah dipelajari dalam kinematik 1-D boleh digeneralisasikan kepada kinematik 2 atua 3-D Tapi dalam 2,3-D kita kena guna notasi penuh vektor untuk memerihalkan anjakan, halaju dan pecutan kerana Tanda +ve dan –ve tidak lagi cukup untuk memerihalkan arah Pergarakan dalam 2-D adalah kes khas bagi pergerakan yang lebih umum, iaitu pergerakan dalam ruangan 3-D

Pergarakan dalam 1-D adalah kes khas bagi pergerakan yang lebih umum, iaitu pergerakan dalam ruangan 2-D. Pergerakan terkongkong kepada pergerakan dalam 1-D sahaja

Contoh real life pergerakan dalam 1-D

Pergarakan dalam 2-D adalah kes khas bagi pergerakan yang lebih umum, iaitu pergerakan dalam ruangan 3-D Bebas bergerak dalam satah 2-D (satah x-y)

Contoh real life: Bola Billard di atas meja snooker bergerak dalam 2-D

Pergarakan dalam 2-D pula adalah kes khas bagi pergerakan yang lebih umum, iaitu pergerakan dalam ruangan 3-D Bebas bergerak dalam ruangan 3-D

Contoh real life: Kapalterbang bergerak dalam ruangan 3-D

Halaju min Pertimbangkan suatu zarah yang bergerak dalam lengkungan merah Halaju min = nisbah antara anjakan dengan sela masa anjakan berlaku Misalnya, Halaju min antara titik A ke titik B ialah v1=Δr1/Δt1 Arah halaju min adalah berada dalam arah vektor anjakan Δr

Halaju seketika Halaju seketika pada titik A ialah limit halaju min semasa Δt menokok kepada sifar (setara dengan kenyataan titik BA) Iaitu, arah Δr makin menokok kepada arah garis hijau dalam limit titik B  A Ini adalah takrifan halaju seketika pada titik A Garis hijau di sebelah menunjukkan arah v pada titik A dalam limit titik B menokok kepada titik A Arah halaju seketika berada pada sepanjang garisan tengen kepada lintasan pergerakan zarah

Pecutan min Takrifan: hasil bahagi perubahan dalam halaju seketika dengan sela masa perubahan tersebut berlaku

Pecutan min, sambung Δv boleh ditakrifkan semasa zarah bergerak dari suatu titik ke titik lain Pecutan min adalah vektor yang arahnya sama dengan arah Δv

Pecutan seketika Takrifan: limit halaju min semasa Δt menokok kepada sifar

Pecutan berlaku jika… Pecutan terhasil daripada berbagai-bagai perubahan dalam pergerkan zarah Perubahan dalam magnitud vektor halaju Perubahan dalam arah halaju Walaupun magnitud mantap, pecutan juga dapat berlaku Kedua-dua perubahan dalam arah dan magnitud

Quick Quiz 4.1 Which of the following cannot possibly be accelerating? (a) An object moving with a constant speed (b) An object moving with a constant velocity (c) An object moving along a curve

Quick Quiz 4.1 Answer: (b). An object moving with constant velocity has Δv = 0, so, according to the definition of acceleration, a = Δv/Δt = 0. Choice (a) is not correct becauase a particle can move at a constant speed and change direction. This possibility also makes (c) an incorrect choice.

Quick Quiz 4.2 Consider the following controls in an automobile: gas pedal, brake, steering wheel. The controls in this list that cause an acceleration of the car are (a) all three controls (b) the gas pedal and the brake (c) only the brake (d) only the gas pedal

Quick Quiz 4.2 Answer: (a). Because acceleration occurs whenever the velocity changes in any way – with an increase or decrease in speed, a change in direction, or both – all three controls are accelerators. The gas pedal causes the car to speed up; the brake pedal causes the car to slow down. The steering wheel changes the direction of the velocity vector.

Persamaan kinematik 2-D, 1 Jika pergerakan dalam 2-D berlaku dengan pecutan malar, satu siri persamaan pergerakan dapat diterbitkan untuk memerihalkan pergerakan zarah Set persamaan ini adalah similar kepada set persamaan kinematik dalam 1-D dalam Bab 2 Yang bezanya ialah: Untuk kes 1-D, persamaan kinematik adalah 1-D and ada satu komponent aje untuk kes 2-D, persamaan kinematik ditulis dalam bentuk notasi vektor yang sebenarnya mempunyai dua componen

Persamaan kinematik 2-D, 2 Vektor kedudukan halaju Untuk kes pecutan malar, halaju dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi masa sebagai persamaan vektor vf = vi + at Di mana c.f. Dalam kes 1-D c.f. dalam kes 1-D

Kinematic Equations, 3 vf = vi + at secara graf, Vektor dapat diwakili dalam komponent-komponen Secara umum vf tidak sama arah dengan vi atau at

Persamaan kinematik, 4 Vektor kedudukan dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi masa: rf = ri + vit + ½ at2 Ini menunjukkan vektor kedudukan adalan hasiltambah tiga vektor yang lain: Vektor kedudukan awal Anjakan hasil daripada vi t Anjakan hasil daripada ½ at2

Persamaan kinematik, 5 rf = ri + vit + ½ at2 secara graf, Seacara umum, rf tidal sama arah dengan vi or atau ai rf dan vf secara amnya juga tak sama arah

Persamaan kinematik, komponen-komponennya Persamaan untuk halaju akhir dan kedudukan akhir adal persamaan vektor, jadi dapat dileraikan ke dalam komponen-komponen meraka (komponen x, y) Dalam kata lain, pergerakan malar pecutan dalam 2-D adalah setara dengan dua mode pergerakan yang saling merdeka Satu mod pergerakan dalam arah x dan yang lagi satu dalam arah y

Persamaan kinematik, persamaan dalam bentuk komponen vf = vi + at dileraikan kepada vxf = vxi + axt dan vyf = vyi + ayt rf = ri + vi t + ½ at2 dileraikan kepada xf = xi + vxi t + ½ axt2 dan yf = yi + vyi t + ½ ayt2

Contoh ax = -4.0 m/s2 Suatu zarah mula bergerak dari rehat di titik asal pada masa t = 0, dengan halaju awal componen-xnya 20 m/s dan componen-ynya -15 m/s. Zarah tersebut bergerak dalam satah x-y dan mengalami pecutan dalam komponen-x aje, iaitu ax = -4.0 m/s2. x vx = 20 m/s vy = -15 m/s -y

(a) tentukan komponen-komponen halajunya dan vektor halaju untuk bila-bila masa selepas t = 0 Guna: vxf = vxi + axt , vyf = vyi + ayt Pada masa t, komponen-x halajunya vxf = vxi + axt = 20 m/s + (-4.0 m/s2)t = 20 m/s – (4.0 m/s2)t (vxf makin negatif bila t bertahbah) Pada masa t, komponen-y halajunya vyf = vyi + ayt = -15 m/s + 0 = 20 m/s (malar) Jadi, vektor halajunya ialah

Jawapan yang sama juga boleh didapati dengan manipulasi persamaan vector secara terus vf = vi + at di mana

(b) Hitungkan halaju dan kelajuan zarah pada t = 5s. Tentukan juga arah halaju itu. vx = 40 m/s vy = -15 m/s vf q = tan-1(vy / vx) = tan-1 (-15/40) = - 20.6 o Iaitu, arah vf tunjuk kepada 20.6 darjah di bawah paksi mengufuk

Check konsisntensi jawapan dengan jangkaan

(c) Tentukan kordinat x dan y zarah dan vektor kedudukan pada masa t = 5s rx(t=5s)= 20(5)+2(5)2 m = 150m = tan-1(ry / rx) = tan-1 (-75/150) = - 26.6 o Iaitu, arah rf tunjuk kepada 26.6 darjah di bawah paksi mengufuk q ry(t=5s) = -15(5)m = -75m rf

“Alamat” zarah dalam 2-D q rf y x

Quick Quiz Katakan zarah akan teruskan pergerakan untuk masa yang lama tanpa dibatasi. Berdasarkan expresi Apakah jangkaan kamu ke atas arah pergerakan zarah selepas suatu masa yang amat lama (iaitu t  dalam bahasa matematik)?

Gerakan Projektil Suatu objek mungkin bergerak dalam kedua-dua arah pada masa yang sama dalam pengaruhan medan graviti Bentuk pergerakan 2-D ini dalam dinamai pergerakan projektil

Anggapan-anggapan dalam pergerakan projektil Pecutan jatuh bebas g adalah malar sepanjang julat pergerakan dan ia adalah sentiasa mengarah ke bawah Geseran udara diabaikan Dengan anggapan-anggapan tersebut, lintasan projectil akan mengikuti satu bentuk parabola lintasan tersebut dipanggil trajektori

Trajektori projektil Acitve figure 4.7

Mengesahkan trajektori parabola y Pilih rangka rujukan dulu: Pilih asalan y ditakrikan +ve jika tunjuk ke arah atas dari asalan x ditakrikan +ve jika tunjuk ke arah kanan asalan Komponen-komponen pecutan ay = -g dan ax = 0 Komponen-komponen halaju awal vxi = vi cos q dan vyi = vi sin q y>0, x>0 y>0, x<0 y<0, x>0 y<0, x<0 x

Trajektori projektil ay = -g ax = 0 vyi = vi sin qi vxi = vi cos qi

Mengesahkan trajektori parabola, samb Anjakan-anjakan dalam arah x dan y xf = vxi t = (vi cos q) t yf = vyi t + ½ay t2 = (vi sin q)t - ½ gt2 Gabungkan kedua-dua persamaan dengan memansuhkan pembolehubah t: Ini adalah dalam bentuk y = ax – bx2 iaitu bentuk piawai bagi suatu lengkungan parabola, di mana atan qi, b  adalah pemalar

Menganalisa pergerakan projektil Anggap pergerakan sebagai superposisi pergerakan dalam arah x dan y gerak dengan halaju malar dalam arah x ax = 0 Gerakan jatuh bebas dalam arah y ay = -g Kedudukan sebenar pada masa t: rf = ri + vit + ½gt2

Vektor pergerakan projektil Trajektori projektil rf = ri + vi t + ½ g t2 ½ g t2 vi t Titik mula projektil dilancarkan Nota: biasanya dalam problem projektil kita pilih rangka rujukan supaya ri = 0 supaya titik lancaran projektil bertindih dengan asalan rangka rujukan rf ri y x Titik asalan rangka rujukan yang terpilih

Pergerakan projektil – Implikasi Konponen y halaju adalah sifar pada ketinggian maksimum trajektori vf = 0 bila y = ymax Pecutan adalah sentiasa sama dan tidak berubah sepanjang trajektori, a = g (malar)

Quick Quiz 4.3 Suppose you are running at constant velocity and you wish to throw a ball such that you will catch it as it comes back down. In what direction should you throw the ball relative to you? (a) straight up (b) at an angle to the ground that depends on your running speed (c) in the forward direction

Quick Quiz 4.3 Answer: (a). You should simply throw it straight up in the air. Because the ball is moving along with you, it will follow a parabolic trajectory with a horizontal component of velocity that is the same as yours.

Quick Quiz 4.4 As a projectile thrown upward moves in its parabolic path, such as in the figure below, at what point along its path are the velocity and acceleration vectors for the projectile perpendicular to each other? (a) nowhere (b) the highest point (c) the launch point

Quick Quiz 4.4 Answer: (b). At only one point – the peak of the trajectory – are the velocity and acceleration vectors perpendicular to each other. The velocity vector is horizontal at that point and the acceleration vector is downward.

Quick Quiz 4.5 As the projectile in the figure below moves along its path, at what point are the velocity and acceleration vectors for the projectile parallel to each other? (a) nowhere (b) the highest point (c) the launch point

Quick Quiz 4.5 Answer: (a). The acceleration vector is always directed downward. The velocity vector is never vertical if the object follows a path such as that in Figure 4.8.

Contoh Sebiji bola dibaling sedemikian rupa supaya komponen ufukan dan cancangan halaju awalnya ialah 20 m/s dan 40 m/s masing-masing. Anggarkan masa penerbangan (time of flight) dan jarak di antara bola dilancarkan dan terjatuh.

Jawapan, penghitungan tanpa guna formula vy kurang 10 m/s setiap saat Diberi vyi = 40m/s, ay  -10 m/s2, jadi bola mengambil masa lebih kurang 4 saat untuk mencapai titik maksimumnya (di mana vy =0 ) Jadi anggaran untuk time of flight = 2 x 4 saat  8 saat Tanya: adakah nilai sebenar t.o.f lebih lama atau lebih pendek daripada 8 saat?  4 saat Nilai sebenar t.o.f adalah lebih panjang daripada nilai anggaran (8 s) Oleh sebab t  1/g, jadi jika nak hitungkan dgn lebih tepat, kena membetulkan 8 saat dengan faktor (9.8/10) Jadi time of flight yang tepat ialah 8 saat x (9.8/10) = 7.84 saat

Julat dan ketinggian maksimum projektil Dua ciri yang penting dalam analisis projektil: Julat, R, jarak ufukan projektil semasa ia melintasi paras ketinggian yang sama dengan titik pelancaran (iaitu yf = yi) Ketinggian maksimum tercapai oleh projektil (rujuk kepada titik pelancarannya), h

Persamaan ketinggian maksimum projektil Ketinggian maksimum projektil dapat dinyatakan dalam sebutan halaju awal komponen-y, vyi =vi sinqi :

Persamaan julat projektil Ketinggian maksimum projektil dapat dinyatakan dalam sebutan halaju awal komponen-y, vyi =vi sinqi :

Simetri trajektori Nota: dalam menerbitkan h, R, kita telah menganggapkan simetri di kedua belah h Dalam kes sebenar, simetri geometri trajektori dipecahkan oleh rintangan udara Tapi dalam kebanyakan kes, simetri ini dianggap satu penghampiran yang baik

julat projektil berubah dengan sudut lancaran (dengan vi yang tetap) Active figure 4.11

Julat projektil dan sudut komplimen Untuk nilai vi yang tetap, julat berlaku pada qi = 45o Mungkin berlaku dua sudut (sudut-sudut komplimentari) yang memberikan julat yang sama (misalan, {75o,15o}, {60o,45o}) Dari h adalah berlainan untuk kedua-dua sudut komplimen masa penerbangan juga berlainan untuk dua sudut komplimen itu (untuk vi yang sama)

Quick Quiz 4.6 Rank the launch angles for the five paths in the figure below with respect to time of flight, from the shortest time of flight to the longest. (a) 15°, 30°, 45°, 60°, 75° (b) 75°, 60°, 45°, 30°, 15° (c) 15°, 75°, 30°, 60°, 45° (d) 30°, 60°, 15°, 45°, 75°

Quick Quiz 4.6 Answer: (a) 15°, 30°, 45°, 60°, 75°. The greater the maximum height, the longer it takes the projectile to reach that altitude and then fall back down from it. So, as the launch angle increases, the time of flight increases.

Hint untuk menyelesaikan masalah projektil Pilih suatu sistem kordinat (rangka rujukan) Leraikan halaju awal kepada komponen-komponenx dan y Manganalisa pergerakan ufukan dengan teknik halaju malar Manganalisa pergerakan cancangan dengan teknik pecutan malar Ingat bahawa masa t kedua-dua komponen berkongsi adalah sama

Contoh Merujuk kepada demonstrasi eksperimen dalam gambarajah, tunjukkan bahawa jika senapang ditujukan tepat kepada sasaran yang rehat, projektil akan mengena sasaran jika ia dilepaskan pada masa projektil dilancarkan.

Jawapan Expreskan koordinat y untuk projektil dan sasaran sebagai fungsi masa. Geometri sistem diperihalkan oleh tanqi dan xT Dari geometri Figure 4.13 (b) Schematic diagram of the projectile-target demonstration. Both projectile and target have fallen through the same vertical distance at time t, because both experience the same acceleration ay = –g. Dari takrifan Ini menunjukkan selagi projektil dan sasaran dilepaskan pada masa yang sama, koordinat cancangan (ketinggian mereka dari asalan) adalah sentiasa sama, yP = yT untuk semua nilai qi Selagi julat projektil merangkumi kaki retot, projektil dan bola akan kena satu sama lain Fig. 4.13b, p.88

Contoh Sebiji batu dilontarkan pada suatu sudut dongak 30 darjah dengan kelajuan awal 20.0 m/s. Ketinggian menara ialah 45.0 m/s.

(a) Apakah masa yang diambil oleh batu untuk sampai ke permukaan bumi? Tahu vyi = vi sinqi dan yf = -45.0 m, nak cari tf yf = vi sinqi t– gt2/2 Selesaikan persamaan kuadratik untuk tf tf2- (2vi sinqi /g)tf + 2yf /g = 0 Dapat tf = + 4.22 s (penyelesian tf yang negatif diabaikan kerana tak fizikal)

(b) Apakah kelajuan batu sebaik sahaja sebelum mencecah permukaan bumi? Tahu vyi = vi sinqi , yf = -45.0 m dan ay = -g, nak cari vf = (vxf2 + vyf2)1/2 Guna vyf2 = vyi2 -2gyf = (vi sinqi )2 + 90g vf 2= (vxf2 + vyf2) = (vi cosqi )2 + [(vi sinqi )2 + 90g = vi2 + 90g = (400 + 882.9) m2/s2 vf = 35.8 m/s

Apakah akan terjadi kepada jawapan di (a) dan (b) jika terdapat suatu pecutan ax dalam arah x akibat daripada angin yang tiup dalam arah x? Masa batu mencecah tanah tf tetap sama kerana keadaan kinematik dalam komponen menegak tak terpegaruh oleh ax Tapi vxf akan bertambah mengikut v’xi = vi sinqi + ax tf Jadi v’f2 = (vyf2+ v’xf2) = [(vi sinqi )2 + 90g] + [vi sinqi + ax tf]2 = vi2 + 90g + 2ax vi sinqi tf + [ax tf]2 = [(35.8)2 + 2(0.5)(10.0)(4.22) + (0.5)2(4.22) 2] m2/s2 vf = 36.4 m/s

Untuk latihan-latihan pelancaran yang lain, baca sendiri Sila juga buat latihan tutorial yang diberikan

Gerakan membulat seragam Satelit mengikuti gerakan yang menghampiri gerakan membulat seragam di dalam orbitnya.

Definasi Gerakan membulat seragam (GMS) berlaku bila sesuatu objek bergerak dalam satu lintasan membulat dengan kelajuan malar Objek tersebut mengalami pecutan kerana arah gerakannya berubah-ubah Perubahan dalam halaju adalah ini berkaitan langsung dengan pecutan Dalam GMS vektor halaju adalah sentiasa tengen kepada lintasan yang diikuti oleh objek itu

Contoh real life GMS Kelajuan kereta malar, radius malar, arah v sentiasa tenget kepada lintasan (iaitu bulatan berjejari r)

Active figure 6.2: halaju berserenjang dengan jejari membulat, v  r

Perubahan halaju dalam GMS Katakan zarah membuat GMS dalam arah ikut jam Perubahan dalam halaju hanya disebabkan oleh perubahan dalam arah gerakan Dalam masa Dt, zarah di atas lintasan membulat menganjak dari titik AB melalui sudut Dq Gambarajah vektor menunjukkan Dv = vf – vi Mengikut takrifan, pecutan zarah ialah Arah a sama dengan arah Dv

Unit vektor Takrifkan unit-unik vektor Lintasan zarah terletak sepanjang vektor radius dan menuju ke arah radial (+ve jika tunjuk ke luar) berarah tangen dengan lintasan, dan dalam arah q menambah (+ve jika dalam arah lawan jam) Lintasan zarah Titik-titik di atas suatu lintasan sebarangan adalah sebahagian daripada bulatan yang beradius r (r berubah dari titik ke titik)

Arah pecutan memusat Dv,a Dalam Dt yang amat singkat, Dt 0, lintasan melengkung boleh dihampirkan dengan garis lurus Jadi, secara matematik Dv (dalam limit Dt 0) sentiasa mengarah ke pusat gerakan membulat (iaitu asalan), iaitu, Dv  (dalam limit Dt 0) Seterusnya, pecutan juga sentiasa mengarah ke pusat bulatan dan berserenjang dengan lintasan gerakan: Dv,a

Pecutan memusat Pecutan zarah yang membuat GMS dipanggil pecutan memusat (centripetal acceleration) Pecutan memusat sentiasa menuju ke arah pusat bulatan Di belakang bab ini kita juga akan mengkaji pucatan dalam gerakan membulat (tak seragam) yang melibatkan pecutan mentangen

Pecutan memusat, samb Magnitude pecutan memusat diberi oleh diterbitkan seperti berikut Arahnya sentiasa berubah-ubah, menuju ke arah pusat bulatan Secara vektor

Tempoh Tempoh, T, adalah masa yang diperlukan untuk melengkapkap satu putaran Maka kelajuan zarah adalah perimeter bulatan dibahagi dengan tempohnya Jadi, tempoh GMS ialah

Quick Quiz 4.7 Which of the following correctly describes the centripetal acceleration vector for a particle moving in a circular path? (a) constant and always perpendicular to the velocity vector for the particle (b) constant and always parallel to the velocity vector for the particle (c) of constant magnitude and always perpendicular to the velocity vector for the particle (d) of constant magnitude and always parallel to the velocity vector for the particle

Quick Quiz 4.7 Answer: (c). We cannot choose (a) or (b) because the centripetal acceleration vector is not constant – it continuously changes in direction. Of the remaining choices, only (c) gives the correct perpendicular relationship between ac and v.

Quick Quiz 4.8 A particle moves in a circular path of radius r with speed v. It then increases its speed to 2v while traveling along the same circular path. The centripetal acceleration of the particle has changed by a factor of (a) 0.25 (b) 0.5 (c) 2 (d) 4 (e) impossible to determine

Quick Quiz 4.8 Answer: (d). Because the centripetal acceleration is proportional to the square of the speed, doubling the speed increases the acceleration by a factor of 4.

Contoh Apakah pecutan memusat untuk Bumi yang mengeliling matahari? Mudah aje: a = v2/r = (2pr / T)2 /r = 4p2r / T2 r = radius orbit Bumi menglilingi matahari = 1 A.U. = 1.496 x 1011m T = tempoh Bumi menglilingi matahari = 1 tahun = 3.156 x 1011m Jadi a = v2/r = 4p2r / T2 = 5.93 x 10-3 m/s2 << g

Pecutan mentangen GMS adalah jenis gerakan membulat yang khusus (yang mana magnitud halajunya tidak berubah) Secara lebih umum, gerakan membulat mungkin melibatkan perubahan magnitud halajunya - gerakan membulat tidak seragam Dalam kes ini, sebagai tambahan kepada pecutan memusat, juga akan wujud pecutan mentangen

Comet Halley Jasad yang orbitnya tidak betul-betul bulatan mengalami kedua-dua pecutan memusat dan juga pecutan mentangen, misalan Komet Halley

Pendulum mengikuti gerakan membulat tak seragam

Gerakan zarah yang mengikuti lintasan melengkung (yang bukan betul-betul) membulat yang terkongkong di atas satah x-y. Halaju v sentiasa bertangen kepada lintasan. Ia menukar kedua-dua arah dan magnitudnya. Dalam kes am ini, wujud komponen memusat dan komponen mentangen dalam pecutan zarah. Active Figure 4.18  The motion of a particle along an arbitrary curved path lying in the xy plane. If the velocity vector v (always tangent to the path) changes in direction and magnitude, the components of the acceleration a are a tangential component at and a radial component ar. Active figure 4.18 Fig. 4.18, p.94

Nota Jika lintasan bulatan tulen yang dipertimbangkan, pecutan zarah hanya mempunyai komponen memusat sahaja dan tiada komponen mentangen:

Pecutan bersih (total acceleration) Pecutan mentangen menyebabkan perubahan dalam kelajuan zarah Pecutan memusat pula adalah hasil daripada perubahan dalam magnitud vektor halaju

Persamaan pecutan bersih Pecutan bertangen: Pecutan memusat: Pecutan bersih: Magnitud Pecutan bersih, persamaan vektor yang lengkap (magnitud dan arah)

Quick Quiz 4.9 A particle moves along a path and its speed increases with time. In which of the following cases are its acceleration and velocity vectors parallel? (a) the path is circular (b) the path is straight (c) the path is a parabola (d) never

Quick Quiz 4.9 Answer: (b). The velocity vector is tangent to the path. If the acceleration vector is to be parallel to the velocity vector, it must also be tangent to the path. This requires that the acceleration vector have no component perpendicular to the path. If the path were to change direction, the acceleration vector would have a radial component, perpendicular to the path. Thus, the path must remain straight.

Quick Quiz 4.10 A particle moves along a path and its speed increases with time. In which of the following cases are its acceleration and velocity vectors perpendicular everywhere along the path? (a) the path is circular (b) the path is straight (c) the path is a parabola (d) never

Quick Quiz 4.10 Answer: (d). The velocity vector is tangent to the path. If the acceleration vector is to be perpendicular to the velocity vector, it must have no component tangent to the path. On the other hand, if the speed is changing, there must be a component of the acceleration tangent to the path. Thus, the velocity and acceleration vectors are never perpendicular in this situation. They can only be perpendicular if there is no change in the speed.

Contoh Sebuah Gen2 memecut dengan kadar 0.300 m/s2 sepanjang Highway. Gen2 itu kemudian bergerak melalui satu bonggok di atas highway itu. Bonggok itu bentuknya serupa dengan suatu bulatan yang beradius 500 m. Pada ketika kerata itu berada pada puncak bonggok, vektor halajunya berada pada ufukan dan bermagnitud 6.00 m/s. Apakah arah vektor pecutan bersih untuk Gen2 pada ketika itu?

Jawapan Oleh sebab Gen2 bergerak sepanjang suatu lintasan lengkung, kita boleh mengkatagorikan masalah ini sebagai masalah yang melibatkan zarah yang mengalami kedua-dua pecutan bertangen dan memusat: “zarah” (Gen2) mengalami pecutan bertangen at = 0.300 m/s2. Pecutan memusatnya ar = - v2/ r = (6)2/ 500 m/s2 a = ar + at a = (ar2 + at2) ½ = 0.309 m/s2 f = tan -1 (ar / at) = -13.5 darjah, tunjuk ke arah di bawah ufuk

Halaju relatif Dua pemerhati yang bergerak secara relatif di antara satu sama lain, secara amnya, memerhatikan hasil ukuran kinematik (kedudukan, halaju, pecutan) yang berlainan Misalnya, pemerhati A dan B memerhatikan lintasan bola yang berlainan Eh…lintasan bola itu mengikut bentuk parabola lah… Hoi, lintasan bola ialah satu garis lurus mencancang lah

Contoh real life Dua pemerhati mengukur kelajuan seorang lelaki yang berjalan kaki di atas satu beltway. Kepada perempuan yang berdiri di beltway itu, dia memerhatikan lelaki itu berjalan dengan kelajuan yang lebih kecil daripada pemerhati yang berdiri di atas bumi,

Rangka rujukan inertial Dalam contoh-contoh terpapar, pemerhati-pemerhati berada dalam rangka-rangka rujukan yang berlainan Misalnya, Carl bergerak relatif kepada Branda. Branda bergerak relatif kepada Alice. Tapi Branda tidak bergerak relatif kepada beltway Alice tidak bergerak relatif kepada bumi Terdapat gerakan relatif di antara rangka-rangka Alice, Branda dan Carl. Branda Carl Alice Set semua rangka rujukan yang bergerak secara relatif di antara satu sama lain dengan halaju relatif malar dinamai rangka rujukan inertial

Halaju relatif tergeneralisasikan Rangka S adalah rehat (stationary), katakan relatif kepada bumi Kadang-kala S dirujuk sebagai rangka makmal – lab frame Rangka S’ bergerak pada halaju vo (anggap malar) reletif kepada S Ini adalah setara (equivalent) dengan kenyataan bahawa S bergerak pada halaju–vo relatif kepada S’ Biasanya kita juga takrifkan masa t = 0 pada ketika asalan-asalan rangka S, S’ bertindih

Transformasi kedudukan Galilean, vo malar Kedudukan sebagaimana yang diperhatikan oleh dua rangka rujukan dapat dihubungkaitkan dengan halaju relatif melalui hubungan r’ = r – vo t

Same object as seen in different frames I am stationary. I see the instantaneous koordinat of M is r and it is moving with a velocity +v from my point of view S Object M I see the instantaneous koordinat of M is r’ and it is moving with a velocity v’ from my point of view I see S’ moving with a velocity v0 +v0 Object M S S’ r r’ = r - vot vot

Atau, secara setara Kita juga boleh buat analisa dari segi rangka S’ sebagai “rangka rehat”

Same object as seen in different frames I am stationary. I see the instantaneous coordinat of M is x’ and it is moving with a velocity v’ from my point of view Object M S’ I see the instantaneous coordinat of M is x and it is moving with a velocity v from my point of view. I see S -v0 S’ Object M I see S moving with a velocity -v0 r’ r = r’ +vot -vot

Transformasi halaju Galilean, vo malar Halaju sebagaimana yang diperhatikan oleh dua rangka rujukan dapat diperolehi dengan mengambil terbitan r’ = r – vot terhadap masa v’ = dr’/dt = d(r – vo t)/dt = dr/dt – vo = v – vo Hubungan-hubungan tersebut dipanggil Transformasi Galilean Ia menghubungkaitkan kuantiti-kuantiti kinematik rangka-rangkan yang bergerak secara relatif di antara satu sama lain dengan halaju relatif vo

Same object as seen in different frames I see M is moving with a velocity v from my point of view. I see S’ moving with a velocity v0 I see M is moving with a velocity +v’ from my point of view -vo S S’ Object M v’ +v0 v v’ = v - vo

Galileo Antara tokoh ahli fizik zaman moden yang terpenting dalam sejarah manusia

Quick Quiz 4.11 A passenger, observer A, in a car traveling at a constant horizontal velocity of magnitude 60 mi/h pours a cup of coffee for the tired driver. Observer B stands on the side of the road and watches the pouring process through the window of the car as it passes. Which observer(s) sees a parabolic path for the coffee as it moves through the air? (a) A (b) B (c) both A and B (d) neither A nor B

Quick Quiz 4.11 Answer: (c). Passenger A sees the coffee pouring in a “normal” parabolic path, just as if she were standing on the ground pouring it. The stationary observer B sees the coffee moving in a parabolic path that is extended horizontally due to the constant horizontal velocity of 60 mi/h.

Contoh a: sampan menyeberangi sungai Sebuah sampan menghadap ke arah utara dengan kelajuan 10.0 km/j relatif kepada air sungai. Air sungai mengalir ke arah timur dengan kelajuan seragam 5.00 km/j. Tentukan kelajuan sampan relatif kepada seorang pemerhati yang berdiri di tebing sungai.

Same object as seen in different frames I see M is moving with a velocity v from my point of view. I see S’ moving with a velocity v0 I see M is moving with a velocity +v’ from my point of view -vo S S’ Object M v’ +v0 v v’ = v - vo

Penyelesaian Merujuk kepada v’ = v – vo: Diketahui halaju sampan relatif kepada air sungai, vbr = 10.0 km/j dan halaju air sungai relatif kepada tebing, vrE = 5.00 km/j nak cari vbE: Sungai  rangka S’, tebing  rangka S, sampan  objek M Merujuk kepada v’ = v – vo: identifikasikan halaju sungai, vrE  vo halaju sampan relatif kepada air sungai, vbr  v’ halaju sampan relatif kepada tebing, vbE  v Jadi, vbr = vbE – vrE, atau vbE = vbr + vrE vbE = (vbr2 + vrE2)1/2 = (102 + 52)1/2 m = 11.2 km/j f = tan-1 (vrE / vbr) = tan-1 (5 /10) = 26.6 darjah Jadi, vektor vbE menunjuk ke arah 026.6 darjah (atau 26.6 darjah ke timur dari utara)

Contoh b: Mana harus sampan diarahkan? Merujuk kepada contoh tadi, jika sampan hendak bergerak terus dalam arah utara tanpa “terheret” halatujunya. Manakah arah yang kena sampan itu ditujukan semasa merentasi sungai? Kelajuan sama relatif kepada air sungai (yang bergantung hanya kepada faktor kuasa motor sampan) adalah masih sama, vbr = 10.0 km/j.

Penyelesaian halaju air sungai relatif kepada tebing, vrE = 5.00 km/j masih sama kelajuan sampan relatif kepada air sungai, vbr = 10.0 km/j masih sama, tapi kali ini arah tak sama (bukan lagi arah ke utara) Nak tentukan arah vbr supaya ia menghala ke utara vbE = vbr + vrE vbE = (vbr2 - vrE2)1/2 = (102 - 52)1/2m = 8.66 km/j q = sin-1 (vrE / vbr) = sin-1 (5 /10) = 30.0 darjah Jadi, vektor vbr kena tuju ke arah 330.0 darjah (atau 30 darjah ke barat dari utara)

Quick Quiz Jika sampan dalam kedua-dua contoh berlumba untuk merentasi sungai itu, sampan yang manakah yang akan menang?

Jawapan Pergerakan sampan-sampan sebagaimana yang diperhatikan oleh pengadil di tebing diberikan oleh vbE Sampan dengan komponen vbE arah utara yang paling besar akan menang (renungkan kenyataan ini, persuade yourself to agree on this statement) Untuk sampan contoh a, komponen vbE dalam arah utara = Untuk sampan contoh b, komponen vbE dalam arah utara = Jadi sampam dalam contoh a akan menang

(a) The component of vbE in the North direction is simply vbr (b) The component of vbE in the North direction is simply vbE vbE bermakna: halaju boat relatif kepada bumi = halaju yang diperhatikan oleh pemerhati di tebing vbE adalah vektor yang relavan as far as pemerhati di atas tebing is concerned kerana halaju itu adalah relatif kepadanya

Quick Quiz Secara amnya, kedudukan dan halaju suatu zarah adalah tidak sama jika diperhatikan dari dua rangka rujukan yang berlainan. Bagaimana pula dengan pecutan? Adakah pecutan suatu zarah sama jika diperhatikan daripada dua rangka yang berlainan?

Pecutan di dalam rangka-rangka rujukan yang berlainan Terbitan halaju terhadap masa memberi pecutan v’ = v – vo dv’/dt = d(v – vo)/dt = dv/dt Iaitu, a’ = a Pecutan zarah yang terukur oleh pemerhati dalam suatu rangkan rujukan inertial adalah sama dengan rangka rujukan yang bergerak pada halaju relatif malar relatif kepada rangka rujukan inertial tadi

Transformasi Galilean dan Ketakinvarianan Hukum Pergerakan Newton Keputusan tesebut adalah penting kerana: ia memenuhi kehendak bahawa hukum-hukum pergerakan Newton adalah tak invarian terhadap semua rangka rujukan intertial Atau, dalam kata lain, Hukum-hukum pergerakan Newton wujud dalam bentuk yang sama (same form) dalam semua rangka rujkan Iaitu F = ma dalam S dan F’ = ma’ dalam S’ Dalam kata lain, hukum-hukum pergerakan mekanik klasik tidak berubah dalam semua rangka rujukan

Ringkasan Bab 3 extends the discussion of kinematics to two dimensions by building on students' knowledge of one-dimensional motion (Chapter 1) and vectors (not discussed). Projectile motion, or motion of an object under the influence of gravity only, is treated thoroughly in this chapter We also discuss the kinamatics of circular motions (uniform and non-uniform) and relative motion and the concept of Gelilean transformation.

buatlah soalan-soalan tutorial untuk latihan dan kefahaman