1. 1 Dalam extreme sport “bungee jumping”, pemainnya yang diikatkan dengan tali kekenyalan keselamatan terjun dari ketinggian berpuluh-puluh kaki. Sepanjang proses “jumping” itu saling transformasi di antara tenaga-tenaga keupayaan graviti, kekenyalan dan kinetik berlaku.

2. 2  Tenaga Keupayaan suatu sistem  Keabadian tenaga mekanikal dalam sistem terpencil  Daya terabadi dan tak terabadi  Perubahan dalam tanaga mekanikal untuk daya tak terabadi  Hubungan antara daya terabadi dan tenaga keupayaan  Gambarajah tenaga dan keseimbangan sistem

3. 3 Tenaga keupayaan (P.E)  P.E. ialah tenaga yang berkait dengan konfigurasi sistem di mana komponen-komponen dalam sistem itu berinteraksi melalui daya  Perubahan dalam konfigurasi biasanya bermakna perubahan dalam P.E. (tapi bukan semestinya)  Tiga jenis keupayaan yang asas dalam alam kita: P.E. graviti P.E. graviti P.E. elektrik/electromagnetik P.E. elektrik/electromagnetik P.E. Nuklear P.E. Nuklear Lain-lain jenis keupayaan semuanya boleh tergolong ke dalam salah satu jenis potensi di atas, misalnya: Lain-lain jenis keupayaan semuanya boleh tergolong ke dalam salah satu jenis potensi di atas, misalnya: P.E. kimia (elektromagnetik secara tabii, jadi ia tergolong sebagai PE electromagnetik) P.E. kimia (elektromagnetik secara tabii, jadi ia tergolong sebagai PE electromagnetik) Tenaga keupayaan elastik yang tersimpan dalam spring juga elektromagnetik secara tabii Tenaga keupayaan elastik yang tersimpan dalam spring juga elektromagnetik secara tabii

4. 4 Apa dia “konfigurasi” komponen- komponen dalam suatu sistem?  Contoh: sistem buku-bumi  Membandingkan keadaan sebelum dan selepas buku jatuh dari y b ke y a, sistem ini telah mengalami perubahan dalam konfigurasi.  Jadi terdapat perubahan dalam P.E. sistem ini selepas buku jatuh melalui satu jarak mencancang. Bumi sistem

5. 5 Contoh perubahan configurasi P.E. = U 1 P.E. = U 2  U = U 1 - U 2  0 kerana konfigurasi sistem telah berubah, iaitu kedudukan relatif komponen- komponen tak sama

6. 6 Contoh perubahan configurasi

7. 7 Nota tambahan  Dalam semua contoh terbincang wujud daya graviti yang menginteraksikan bumi dengan objek-objek dalam pertimbangan  Jadi perubahan konfigurasi menyebabkan perubahan dalam P.E. graviti

8. 8 PE yang spesifik kepada daya yang spesifik  Sesuatu P.E. yang tertentu hanya boleh dikaitkan dengan jenis daya yang tertentu sahaja  Misalnya PE graviti terhasil daripada daya graviti,  PE kimia dalam molekul berkait dengan daya electromagnetik yang “ mengikatkan ” atom-atom dalam suatu molekul

9. 9 Contoh sistem yang tiada P.E.  Jika komponen-komponen tiada berinteraksi melalui daya X maka perubahan konfigurasi tidak menghasilkan apa-apa perubahan dalam P.E. yang berkait dengan daya X tu.  Contoh termasuklah:  Sistem dua biji ping pong yang tiada berinteraksi melalui daya elektrik tiada P.E. elektrik  Tapi sistem ini masih ada PE graviti kerana daya graviti sentiasa menginteraksikan mereka  Perubahan konfigurasi menyebabkan perubhan dalam PE graviti tapi bukan P.E. elektrik

10. 10 Mengapa U g = mgh?  Semua orang tahu formula bagi “ tenaga keupayaan graviti jasad m ” ialah U g = mgh  Tapi adakah anda tahu mengapa?  Kita cuba menerbitkan ungkapan tersebut dengan keabadian tenaga

11. 11 Terbitan PE graviti bagi jasad di atas permukaan bumi  Pertimbangkan buku- bumi sbg sistem tak terpencil  Ditindakkan oleh daya luar F app yang sama magnitud dengan berat buku  Gerakan ialah malar- kelajuan ke arah atas  tiada perubahan KE sepanjang lintasan mencancang dari y a ke y b F app Nota: daya graviti di sini ialah daya dalam sistem, bukan daya luar Sistem buku-bumi awal akhir

12. 12 Terbitan PE graviti bagi jasad di atas permukaan bumi  Mengikut teorem keabadian tenaga,   W luar =  (  E) k Sebelah kiri (kerja luar): Sebelah kanan (perubahan tenaga): Jadi Maka kita takrifkan tenaga keupayaan graviti jasad m pada suatu kedudukan y sebagai Sistem buku-bumi awal akhir F app

13. 13 Terbitan PE graviti bagi jasad di atas permukaan bumi  Sebagai rumusan:  Kerja luar yang dilakukan oleh daya luar telah ditukar kepada tenaga keupayaan yang telah distorkan dalam sistem buku- bumi Units PE graviti ialah joules (J)

14. 14 Kata-kata berhati-hati  Dalam formula: U g = mgy:  Ia seharusnya difahami sebagai “ tenaga keupayaan graviti jisim m pada suatu jarak mencancang y daripada titik rujukan yang mana kordinat mencancangnya diset kepada y = 0 Permukaan Bumi y y= 0 y= 10m U g = mgy y’ y’= 0 y’= 5m U’ g = mgy’

15. 15 Nilai mutlak U g bersandar rangka, tapi perbezaanya tak  Nilai mutlak P.E. graviti suatu jasad di atas permukaan bumi bergantung kepada titik rujukan/paras rujukan mengufuk yang dipilih  Jadi semasa buat solaan u kena cerdik dalam memilih paras rujukan. Pilihlah rujukan yang dapat menyenangkan analisis soalan  Tapi, Beza kepupayaan graviti tidak bergantung kepada titik rujuk yang dipilih Permukaan Bumi y y= 0 y= 10m U g = mgy y’ y’= 0 y’= 5m U’ g = mgy’

16. 16 Peringatan kepada defininasi U g = mgy  Secara rigourous, U g = mgy merujuk kepada PE graviti bagi sistem buku-bumi, tapi bukan semata-mata PE graviti bagi buku ini sahaja  Tapi dalam praktisnya perkara ini tidak banyak membawa perbezaan (samada dalam pengiraan atau experimen) kerana dalam kebanyakan kes hanya buku sahaja yang bertukar kedudukan; bumi sentiasa rehat.

17. 17 Real life example  Titik rujukan untuk U g = 0 untuk PE graviti sistem ini boleh dipilih pada mana- mana tempat sahaja, samada pada platform atau pada paras air.  Tak kisah apa pilihan yang dibuat, perubahan PE graviti tetap sama di atara platform dan paras air.  Dalam kes ini, nilai mutlak PE graviti tidak kisah sangat. Yang kisah ialah perubahan PE.

18. 18 Quick Quiz 8.3 An object falls off a table to the floor. We wish to analyze the situation in terms of kinetic and potential energy. In discussing the potential energy of the system, we identify the system as (a) both the object and the Earth (a) only the object (b) only the Earth

19. 19 Answer: (a). We must include the Earth if we are going to work with gravitational potential energy. NOTA: jika bumi tidak dimasukkan ke dalam sistem, tenaga keupayaan tidak tertakrif dengan buku itu semata-mata. P.E. mesti ditakrifkan dengan merujuk kepada satu konfigurasi relatif yang piawai (misalnya buku pada kedudukan di permukaan bumi bersepadanan dengan U = 0). Bagi satu sistem dengan objek tunggal, konfigurasi relatif tidak tertakrif kerana tidak wujud objek kedua sebagai rejukan) Quick Quiz 8.3

20. 20  Sekarang kita pilih buku itu sebagai sistem tak terpencil pula:  Daya luar sekarang ialah daya graviti, F g = mg  (nota: F app tak masuk dalam kes ini)  Applikasikan Keabadian tenaga: Terbitan Keabadian T. Mekanikal melalui contoh buku- bumi akhir awal

21. 21 akhir awal

22. 22 Interpretasi  K +  U g = 0  Dalam ketidakhadiran daya luar (iaitu bila sistem buku-bumi itu merupakan sistem terpencil), jumlah perubahan KE dan PE adalah sifar

23. 23 Keabadian tenaga mekanikal   Kita takrifkan tenaga mekanikal sistem sebagai jumlah algebra PE + KE: E mech = K + U g   Jadi  K +  U g = 0 juga dinyatakan dalam bentuk  E mech  K +  U g = 0   Ini bermakna sebelum dan selepas sesuatu proses fizikal, jumlah tenaga mekanikal dalam sistem terpencil adalah malar dan tak berubah   Ini adalah keabadian tenaga mekanikal untuk sistem terpencil   E mech = K f + U f = K i + U i

24. 24 Keabadian tenaga mekanikal   Misalnya, mengikut takrifan   E mech = K f + U f = K i + U i   Jumlah tenaga mekanikal dalam sistem buku-bumi dalam kedua-dua keadaan a,b ialah   K a + U a = K b + U b   ½ mv a +mgy a = ½ mv a + ½ mgy b

25. 25 Quick Quiz 8.4 In an isolated system, which of the following is a correct statement of the quantity that is conserved? (a) kinetic energy (b) potential energy (c) kinetic energy plus potential energy (d) both kinetic energy and potential energy

26. 26 Answer: (c). The total mechanical energy, kinetic plus potential, is conserved. Quick Quiz 8.4

27. 27 Three identical balls are thrown from the top of a building, all with the same initial speed. The first is thrown horizontally, the second at some angle above the horizontal, and the third at some angle below the horizontal, as shown in the figure below. Neglecting air resistance, rank the speeds of the balls at the instant each hits the ground. (a) v 1 > v 2 > v 3 (b) v 2 > v 1 > v 3 (c) v 3 > v 2 > v 1 (d) v 2 > v 3 > v 1 (e) v 1 = v 2 = v 3 Quick Quiz 8.6

28. 28 Answer: v 1 = v 2 = v 3. The first and third balls speed up after they are thrown, while the second ball initially slows down but then speeds up after reaching its peak. The paths of all three balls are parabolas, and the balls take different times to reach the ground because they have different initial velocities. However, all three balls have the same speed at the moment they hit the ground because all start with the same kinetic energy and the ball-Earth system undergoes the same change in gravitational potential energy in all three cases. Quick Quiz Active figure 8.3

29. 29 PE kekenyalan  PE yang ter ” stor ” dalam sistem ini adalah dalam bentuk PE kekenyalan hasil daripada daya spring F s = - k  x  Biar apply Keabadian T.M ke atas sistem blok-spring untuk terbitkan PE kekenyalan spring  Kenakan daya luar F app untuk memampatkan spring dengan syarat F app = -F s

30. 30 PE kekenyalan, samb  Kerja yang dilakukan oleh daya luar pada sistem blok- spring (dalam menukarkan konfigurasinya dari keadaan releks kepada keadaan regang) adalah tersimpan dalam bentuk P.E. kekenyalan spring  Tenaga keupayaan yang tersimpan dalam spring =  U = U f (keadaan termampat/teregang) - U i (keadaan refleks) = U f  Atau, U f = ½ k(  x) 2

31. 31 PE kekenyalan, samb  Maka kita takrifkan  U s = ½ k(  x) 2 sebagai PE kekenyalan sistem spring- blok  PE boleh difikirkan sbg tenaga yang terstor dalam spring yang terampat/teregang

32. 32 PE kekenyalan, akhir  PE kekenyalan terstor dalam spring ialah sifar bila spring releks/tak distorted PE hanya tersimpan dalam spring yang termampat/teregang PE hanya tersimpan dalam spring yang termampat/teregang  PE kekenyalan mencapai nilai makismum bila spring teregang/termampat kepada jarak regangan/mampatan yang maksimum  PE kekenyalan spring sentiasa +ve kerana x 2 > 0 untuk semua nilai |x| 0 untuk semua nilai |x| < Amplitud

33. 33  Maka kita takrifkan  U s = ½ k(  x) 2 sebagai PE kekenyalan sistem spring-blok  PE boleh difikirkan sbg tenaga yang terstor dalam spring yang terampat/teregang  PE yang terstor ini boleh dikonvertkan kepada KE blok mengikut teorem keabadian Tenaga Mekanikal:  E sebelum = E selepas  U s = K f  ½ k(  x) 2 = K f = ½ mv f 2 Active figure 8.4 U  K mengikut Keabadian T.Mekanikal

34. 34 Contoh keabadian tenaga: bola jatuh  Syarat awal E i = K i + U i = mgh E i = K i + U i = mgh K i = 0 kerana bola jatuh dari rehat K i = 0 kerana bola jatuh dari rehat  Syarat sempadan:  Pilih konfigurasi utk PE sifar jika bola adalah pada permukaan bumi  Dalam keadaan peralihan (di antara titik bola terlepas dengan permukaan bumi),  E f = K f +U f = ½ mv f 2 + mgy  E i = E f : mgh = ½ mv f 2 + mgy

35. 35 Keabadian Tenaga konsisten dengan kinematik 1-D  Dari mgh = ½ mv f 2 + mgy  Kita recover hubungan yang kita familiar semasa belajar kinematik 1-D dengan pecutan graviti v f 2 = v i 2 - 2g(h – y)

36. 36 Contoh: Keabadian tenaga dalam bandul  Semasa bandul berayun pertukaran tenaga di antara PE graviti dan KE berlaku secara berselanjaran  Mula-mula kena pilih rujukan supaya U sistem ialah sifar Biar pilih titik U = 0 di B Biar pilih titik U = 0 di B  Pada A, E = U saja  Pada B, E = K saja  Semua U pada A telah ditukar kepada K pada B  Di C, semua K di B ditukar balik ke U Active figure 8.16b

37. 37 Contoh 8.3  Abaikan geseran  Biar bandul dilepaskan pada A dengan sudat  A  At A, the energy is potential  Soalan (A):  Cari kelajuan bola pada kedudukan terendah, iaitu titk B

38. 38 Penyelesaian  Pilih rujukan U = 0 di B  Pada A, E A = U A + K A = mgL(1-cos  A ) + 0  Pada B, E B = U B + K B = ½ mv B 2 + 0  E B = E A   mgL(1-cos  A ) = ½ mv B 2  v B 2 = 2gL(1-cos  A )

39. 39 Soalan (b)  Apakah ketegangan di dalam tali pada konfigurasi di B?  Penyelesaian:  Pada B, bola adalah dalam GMS seketika dengan kelajuan gandadua v B 2 = 2gL(1-cos  A )  Jadi, applikasikan HN2:   F r = T – mg = (m v B 2 / L)   T = m v B 2 / L + mg  = 2mg (1-cos  A ) + mg  = mg (3 - 2cos  A )

40. 40 Soalan (c) Buktikan bahawa pada  = 0 , ketegangan T adalah maksimum  Penyelesaian:  Kena terbitkan T sebagai fungsi sebarang sudut  dan buktikan bahawa pada nilai  = 0 , T ialah maksimum   F r = T – mgcos  = (mv 2 / L) (Eq.1)  Keabadian tenaga mekenikal:  E B = E A  mgL(cos  A - cos  A ) = ½ mv 2  v B 2 = 2gL(cos  A - cos  A ) (Eq.2)  Gabungkan (Eq.1) dan (Eq.2)  T = mg (3cos  - 2cos  A )  Lcos  L(cos   - cos  ) mg 

41. 41 Soalan (c)  Nilai extremum T berlaku jika dT / d  = 0 dT / d  = 0  2mg sin  = 0   ext = 0   T ext = T pada  ext  Next, kena tentukan samada extremum T ext min atau mak: d 2 T / d  2 = - 2mgcos  d 2 T / d  2 = - 2mgcos   d 2 T/d  2  ext = - 2mgcos 0  < 0   ext = nilai maksimum = mg (3cos 0  - 2cos  A ) = mg (3cos 0  - 2cos  A ) = mg (3- 2cos  A ) = mg (3- 2cos  A )  Lcos  L(cos   - cos  ) mg 

42. 42 Kata-kata berhati-hati  Dalam contoh tadi, perhatikan T tidak melakukan kerja kerana ia berserenjang dengan arah gerakan bandul

43. 43 Contoh keabadian tenaga mekanikal dalam sistem spring- blok  Semasa blok berayun pertukaran tenaga di antara PE spring dan KE berlaku secara berselanjaran  Pada keduduakn anjakan maksimum, A, E = U saja  Pada kedudukan EB, E = K saja  Semua U pada A ditukar kepada K pada EB 2A2A EB x = A x = -A Active figure 8.16

44. 44 Keabadian tenaga mekanikal sistem ini adalah amat similar dengan kes bandul- bumi dan spring-blok

45. 45 Contoh keabadian tenagan: senapang spring  Pemalar spring tidak diketahui  Bila spring dimampat 0.120 m, senapang yang ditembak secara menegak menghantar projektilnya yang berjisim 35 g ke ketinggian maksimum 20.0 m di atas kedudukan projektil sebelum ditembakkan.  (a) Tentukan pemalar spring (abaikan geseran) H

46. 46 Penyelesaian  Mula-mula pilih rujukan: Pada A PE graviti sifar  E A = E B  K A + U gA + U sA = K A + U gA + U sA LHS: K A + U gA + U sA = U sA = ½ kx 2 saja RHS: K B + U gB + U sB = U gB = mgH saja LHS = RHS  k = 2mgH/x 2 = … = 953 N/m H

47. 47 Soalan (b)  Tentukan kelajuan projektil sebaik sahaja ia melalui kedudukan EB spring (iaitu pada B)  Penyelesaian  E A = E B  K A + U gA + U sA = K A + U gA + U sA LHS: K A + U gA + U sA = U sA = ½ kx 2 saja RHS: K B + U gB + U sB = U gB + K B = mgx + ½ mv B 2 saja LHS = RHS ½ kx 2 = mgh + ½ mv B 2 v B = (kx 2 /m - 2mgh) ½ = … = 18.7 m/s

48. 48 Contoh: E mech = K + U s berubah dalam kehadiran daya luar: sistem spring-glider  Glider berjisim m = 0.2 kg pada trak udara (hampir tanpa geseran) dihubungkan dengan spring k = 5.00 N/m.  Jika glider dikenakan daya luar malar (tangan kamu) pada arah +x bermagnitud 0.610 N, apakah kelajuan glider semasa ia melalui keduduakn pada x = 0.08 m? F app = 0.601N

49. 49 Penyelesaian  Sistem spring-glider dalam keadaan tersebut bukan lagi sistem terpencil  Daya luar yang melakukan kerja pada sistem ini akan mengubah PE dan KE sistem mengikut  E mech =  K +  U = F app d E mech sistem tidak terabadi lagi kerana daya luar melakuan kerja ke atas sistem E mech sistem tidak terabadi lagi kerana daya luar melakuan kerja ke atas sistem F app d F app = 0.601N

50. 50 Penyelesaian Secara formal: Secara formal:  E =  W luar di mana  E =  W luar di mana LHS =  E =  K +  U saja (tiada  E int ) LHS =  E =  K +  U saja (tiada  E int ) RHS  W luar = F app d RHS  W luar = F app d Dalam kes ini F app melakukan kerja +ve ke atas sistem kerana ia bergerak dalam arah yang sama dengan glider Dalam kes ini F app melakukan kerja +ve ke atas sistem kerana ia bergerak dalam arah yang sama dengan glider F app = 0.601N

51. 51 Penyelesaian Jadi, di kedudukan 2, Jadi, di kedudukan 2, Pada 1, E 1 = K 1 + U 1 = 0 + 0 = 0 Pada 1, E 1 = K 1 + U 1 = 0 + 0 = 0 Pada 2, Pada 2, E 2 = K 2 + U 2 E 2 = K 2 + U 2 = ½ mv 2 2 + ½ k(  x   = ½ mv 2 2 + ½ k(  x    E = E 2 - E 1 =  K +  U  E = E 2 - E 1 =  K +  U = ½ mv 2 2 - ½ k(  x   = ½ mv 2 2 - ½ k(  x    W luar = F app d  W luar = F app d Jadi, samakan  W luar =  E Dapat ½ mv 2 2 + ½ k(  x    F app d v 2 2  F app d/m - k(  x   /m v 2  …0.67 m/s F app = 0.601N

52. 52 Dua jenis daya (kerana sifat matematik yang distinct)  Dua jenis daya:  daya terabadi (conservative force)  Daya tak terabadi (non-conservative force)  Contoh: daya graviti, daya elektrostatik, daya spring = daya terabadi;  Daya geseran = daya tak terabadi

53. 53 Daya terabadi  Kerja yang dilakukan oleh daya terabadi ke atas suatu zarah yang bergerak antara dua titik adalah merdeka daripada lintasan yang dilalui oleh zarah tersebut  Lantaran itu, dapat dididuksikan secara logik bahawa kerja yang dilakukan oleh daya terabadi ke atas suatu zarah yang mengikuti lintasan tertutup ialah sifar Lintasan tertutup ialah lintasan yang mana dimulakan dan diakhiri pada titik yang sama (tanpa terpintas) Lintasan tertutup ialah lintasan yang mana dimulakan dan diakhiri pada titik yang sama (tanpa terpintas)

54. 54 Secara bergambar  Biar mula dari A dan akhir di B  Lintasan 1, 2, adalah tak sama  Tapi kerja yang dilakukan oleh zarah yang ditindak oleh daya terabadi di dari A ke B adalah sama walaupun mengikuti 2 lintasan yang berlainan:  W A  B,1 = W A  B,2  Kesamaan kerja ini hanya benar untuk daya terabadi tapi bukan sebarang daya 1 2 3 1 2 3

55. 55 Secara bergambar 1 2 3  Katakan W A  B,1 = W 1,  W A  B,2 = W 2  W B  A,2 = - W A  B,2 = - W 2  Pertimbangkan lintasan tertutup ikut jam, A1B2A (lawan jam pun, kesimpulan juga sama)  Jumlah kerja sepanjang lintasan tertutup A1B2A = W closed = W A  B,1 + W B  A,2 = W 1 - W 2 = 0 = W 1 - W 2 = 0 W A  B,1 = W 1, W B  A,2 = -W A  B,2 = W 2

56. 56 Daya terabadi dan PE  Secara am, kita sentiasa dapat mengkaitkan tenaga keupayaan suatu sistem dengan daya terabadi yang bertindak di antara komponen-komponen sistem tersebut: W C = -  U  contoh: sistem bola-bumi  PE graviti dalam sistem berkaitan dengan daya graviti antara bumi dengan bola  kerja dilakukan oleh daya graviti ke atas blok yang jatuh sama dengan negatif perubahan keupayaan sistem buku-bumi  W C ialah kerja yang dilakukan oleh daya terabadi dalam sistem,  W g  Perkaitan tersebut tidak benar bagi daya tak terabadi U gi U gf  U= U gf –U gi = -mg  y yy W g =F g  y = mg  y Sistem bola- bumi

57. 57 Paras yang sama Contoh real life: abaikan geseran, kerja yang dilakukan oleh daya graviti sepanjang lintasan A  B  C  D ialah sifar

58. 58 Tak kira lintasan yang mana, jumlah kerja dilakukan oleh daya graviti ke atas jogger dari 1  2 adalah sama WgWg

59. 59 Daya tak terabadi  Daya tak terabadi tak mematuhi syarat daya terabadi  Biasanya tidak boleh dikaitkan dengan sesuatu keupayaan (misalan, kita tiada mengaitkan “ keupayaan geseran ” dengan daya geseran)  Daya tak terabadi yang bertindak ke atas satu sistem sebagai daya luar menyebabkan perubahan dalam tenaga mekanikal sistem tersebut

60. 60 Tenaga mekanikal dan daya geseran  Secara umum, jika geseran bertindak pada suatu sistem tak terpencil:  E mech =  K +  U = - ƒ k d  E mech =  K +  U = - ƒ k d  U ialah perubahan dalam semua bentuk tenaga keupayaan dalam sistem  U ialah perubahan dalam semua bentuk tenaga keupayaan dalam sistem Ini adalah kes khas keabadian tenaga Ini adalah kes khas keabadian tenaga  E =  W luar dengan  E =  W luar dengan LHS  E =  K +  U saja (tiada  E int ) LHS  E =  K +  U saja (tiada  E int ) RHS  W luar = kerja luar dilakukan oleh geseran = kerja negatif kepada sistem = - ƒ k d RHS  W luar = kerja luar dilakukan oleh geseran = kerja negatif kepada sistem = - ƒ k d Dalam limit ƒ k d  0, persamaan di atas terturun kepada persamaan keabadian tenaga mekanikal Dalam limit ƒ k d  0, persamaan di atas terturun kepada persamaan keabadian tenaga mekanikal fkfk E = K +U  E+  U+  K d E = K +U

61. 61 Daya tak terabadi, samb  Kenyataan di bawah adalah setara:  Kerja dilakukan oleh daya geseran adalah lebih besar untuk lintasan merah daripada lintasan biru  Kerja dilakukan oleh daya geseran bergantung kepada lintasan  Daya geseran ialah daya tak terabadi

62. 62 Quick Quiz 8.9 A block of mass m is projected across a horizontal surface with an initial speed v. It slides until it stops due to the friction force between the block and the surface. The same block is now projected across the horizontal surface with an initial speed 2v. When the block has come to rest, how does the distance from the projection point compare to that in the first case? (a) It is the same. (b) It is twice as large. (c) It is four times as large. (d) The relationship cannot be determined.

63. 63 Answer: (c). The friction force must transform four times as much mechanical energy into internal energy if the speed is doubled, because kinetic energy depends on the square of the speed. Thus, the force must act over four times the distance. Quick Quiz 8.9

64. 64 Quick Quiz 8.10 A block of mass m is projected across a horizontal surface with an initial speed v. It slides until it stops due to the friction force between the block and the surface. The surface is now tilted at 30°, and the block is projected up the surface with the same initial speed v. Assume that the friction force remains the same as when the block was sliding on the horizontal surface. When the block comes to rest momentarily, how does the decrease in mechanical energy of the block-surface-Earth system compare to that when the block slid over the horizontal surface? (a) It is the same. (b) It is larger. (c) It is smaller. (d) The relationship cannot be determined.

65. 65 Answer: (c). The decrease in mechanical energy of the system is f k d, where d is the distance the block moves along the incline. While the force of kinetic friction remains the same, the distance d is smaller because a component of the gravitational force is pulling on the block in the direction opposite to its velocity. Quick Quiz 8.10

66. 66 Problem Solving Strategies – Nonconservative Forces  Define the isolated system and the initial and final configuration of the system  Identify the configuration for zero potential energy These are the same as for Conservation of Energy These are the same as for Conservation of Energy  The difference between the final and initial energies is the change in mechanical energy due to friction

67. 67 Contoh perubahan T.Mekanikal dalam kehadiran geseran – sistem bumi-jasad  E mech =  K +  U  E mech =(K f – K i ) +(U f – U i )  E mech = (K f + U f ) – (K i + U i ) U f = 0; K i = 0;  E mech = ½ mv f 2 – mgh = - ƒ k d fkfk

68. 68 Contoh pengiraan Katakan kanak-kanak yang berjisim 20.0 kg mengelincir ke bawah. Pada ketika sebaik sahaja sebelum dia mencecah air, kelajuannya ialah v f = 3.00 m/s. (a) apakah tenaga mekanikal yang telah terlesap sepanjang proses gelinciran?  E mech =  K +  U = (K f – K i ) + (U f – U i ) = (K f – K i ) + (U f – U i ) = ( ½ mv f 2 – 0) + (0 – mgh) = ( ½ mv f 2 – 0) + (0 – mgh) = ½ mv f 2 – mgh = … - 302 J = ½ mv f 2 – mgh = … - 302 J Negatif makna ada tenaga mekanikal yang lesap fkfk

69. 69 Soalan (b) Bolehkan kita tentukan koefisien geseran kinetik?  E mech = - 302 J dalam sistem ini adalah disebabkan oleh kerja negatif yang dilakukan oleh geseran: f k d = - 302 J  k nd = - 302 J Tapi kita tak tahu maklumat tentang jumlah jarak yang dilalui, d. Juga, nilai daya normal berubah-ubah sepanjang d. ketidaktahuan maklumat geometri curved slid tidak membenarkan kita jalankan pengiraan daya normal secara lebih terperinci utn nilai  k kecuali anggaran kasar fkfk

70. 70  Tanpa geseran, tenaga saling bertukaran di antara PE kekenyalan dan KE blok, dan jumlah tenaga mekanikal tetap malar  Dalam kehadiran geseran, tenaga mekanikal berkurang mengikut  E mech = - ƒ k d  E mech = - ƒ k d Contoh perubahan T.Mekanikal dalam kehadiran geseran – sistem spring-blok

71. 71 Contoh pengiraan  Soalan:  Jism blok = 0.80 kg berlanggar dengan spring yang jisimnya boleh diabaikan dengan kelajuan v A =1.2 m/s dari kanan.  Diberi pemalar spring, k = 50 N/m, koefisien geseran antara blok dengan satah,  k = 0.5, apakah jarak mampatan yang maksimum dalam spring?

72. 72 Penyelesaian Takrifkan kedudukan awal pada x = 0; kedudukan akhirl pada x = x max  E mech =  K +  U  K +  U = (K f – K i ) + (U f – U i ) = ( 0 - ½ mv i 2 ) + ( ½ k x max 2 ) = ( 0 - ½ mv i 2 ) + ( ½ k x max 2 ) = ½ kx max 2 - ½ mv f 2 = ½ kx max 2 - ½ mv f 2  W luar = kerja luar oleh daya geseran = - ƒ k x max Samakan  E mech =  W luar ½ kx max 2 - ½ mv f 2 = - ƒ k x max ½ kx max 2 + ƒ k x max - ½ mv f 2 = 0 (kuadratik) x max = … = 0.092 m dan -0.25 m Jawapan yang manakan dipilih? (hint: blok di sebelah kanan titik EB)

73. 73 Contoh: Blok terhubungkan  Sistem terdiri daripada dua blok+spring+bumi  Sistem bermula dari rehat dan m 2 terjatuh jarak mencancang sejauh h sebelum blok-blok berhenti bergerak  Ada geseran antara blok m 1 dengan permukaan ufuk  Kirakan koefisien geseran kinetik

74. 74 Penyelesaian  PE graviti dan PE kekenyalan terlibat  Blok 2 mengalami perubahan dalam PE graviti  Spring mengalami perubahan dalam PE kekenyalan

75. 75 Penyelesaian U f = U f (blok 2) + U f (blok 1) = -m 2 gh + ½ kh 2 = -m 2 gh + ½ kh 2 U i = U i (blok 2) + U i (blok 1) = 0 + 0 = 0  K +  U = (K f – K i ) + (U f – U i ) = (0) + (-m 2 gh + ½ kh 2 ) = (0) + (-m 2 gh + ½ kh 2 )  -m 2 gh + ½ kh 2  W luar = kerja luar oleh daya geseran = - ƒ k h = -  k Nh = -  k m 1 gh = - ƒ k h = -  k Nh = -  k m 1 gh Samakan  E mech =  K +  U =  W luar -m 2 gh + ½ kh 2  -  k m 1 gh  k = m 2 g - ½ kh/m 1 g Ini satu cara yang baik untuk mengukur koefisien geseran Aras rujukan, h = 0 x max = h

76. 76 Daya-daya terabadi dan tenaga keupayaan  Secara umum, untuj apa-apa daya terabadi tertentu, kita boleh terbitkan satu funsi tenaga keupayaan yang berkait dengan daya tersebut  Syaratnya : fungsi tenaga keupayaan untuk daya terabadi itu adalah sedemikian rupa supaya kerja yang dilakukan oleh daya tersebut sama dengan pengurangan tenaga keupayaan sistem tersebut

77. 77 Daya-daya terabadi dan tenaga keupayaan, samb  Secara matematik: kerja yang dilakukan oleh daya terabadi tersebut, F, ialah Untuk F dan x dalam arah yang sama, nilai disebelah kanan persamaan adalah – ve Untuk F dan x dalam arah yang sama, nilai disebelah kanan persamaan adalah – ve

78. 78 Kesimpulan pendek jika diberikan daya terabadi F, kita boleh terbitkan fungsi keupayaanya U jika diberikan daya terabadi F, kita boleh terbitkan fungsi keupayaanya U

79. 79 Daya terabadi dan tenaga keupayaan  Jika diketahui fungsi keupayaan, kita dapat menerbitkan daya terabadi daripadanya.  Caranya: dengan membezakan persamaan   Kompenen x suatu daya terabadi yang bertindak pada suatu jisim dalam satu sistem bersamaan dengan negatif kepada pembezaan tenaga keupayaan sistem merujuk kepada x Pembezaan: d/dx

80. 80 Kesimpulan pendek Jika diberikan fungsi keupayaan U, kita boleh terbitkan daya terabadi F melaliu Jika diberikan fungsi keupayaan U, kita boleh terbitkan daya terabadi F melaliu

81. 81 Check dengan kes spring  Kita check kebenaran formula dengan memasukkan fungsi keupayaan spring, U = ½ kx 2 : Ini adalah Hukum Hooke ’ s yang kita biasa tahu Ini adalah Hukum Hooke ’ s yang kita biasa tahu Konsistensi telah ditunjukkan Konsistensi telah ditunjukkan

82. 82 Graf U lawan x dan F lawan x  Graf T. keupuyaan and daya lawan kedudukan untuk (a) daya spring, (b) daya graviti. Dalam setiap kes daya adalah terbitan negatif (negative derivative) kepada T. keupayaan

83. 83 Quick Quiz 8.11 What does the slope of a graph of U(x) versus x represent? (a) the magnitude of the force on the object (b) the negative of the magnitude of the force on the object (c) the x component of the force on the object (d) the negative of the x component of the force on the object.

84. 84 Answer: (d). The slope of a U(x)-versus-x graph is by definition dU(x) / dx. From Equation 8.18, we see that this expression is equal to the negative of the x component of the conservative force acting on an object that is part of the system. Quick Quiz 8.11

85. 85 Gambarajah tenaga dan keseimbangan  Gerakan suatu sistem dapat diperihalkan dalam bentuk graf tenaga lawan kedudukan zarah dalam sistem itu  Contoh: sistem spring-blok  Blok berayun di antara titik turning point, x = ±x max  Blok sentiasa terpecut menghala ke titik x = 0

86. 86 Gambarajah tenaga dan keseimbangan stabil  Kedudukan x = 0 ialah kedudukan keseimbangan stabil  Kedudukan sedemikian bersepadanan dengan kedudukan pada mana U(x) merupakan minimum  x=x max dan x=-x max dipanggil turning points

87. 87 Gambarajah tenaga dan keseimbangan tak stabil  Pertimbangkan satu sistem hipotetikal  F x = 0 pada x = 0, jadi kita kata zarah adalah dalam keseimbangan  Tapi utk nilai-nilai yang bersebelahan dengan x=0, zarah akan ditindak oleh daya yang mengerakkannya menjauhi titik keseimbangan  Inilah contoh keseimbangan tak stabil  Kedudukan keseimbangan tak stabil bersepadanan dengan keduduka pada mana U(x) ialah maximum

88. 88 Fig  Walking wire

89. 89 Keseimbangan neutral  Keseimbangan neutral berlaku dalam konfigurasi di mana U adalah malar untuk suatu julat  Sedikit anjakan daripada suatu kedudukan dalam julat tersebut (kadang-kadang dipanggil plateu) takkan menggugat keseimbangan

90. 90 Fig. 7.24, Young, pg. 269 Plateu, U constant Neutral equilibirum

91. 91