In molti sistemi laser si riesce ad ottenere una amplificazione nel mezzo attivo di solo qualche % per metro. Per evitare l’uso di un mezzo attivo di molti metri di lughezza è allora necessario far attraversare più volte il mezzo attivo per poter raggiungere un sufficiente grado di amplificazione ed estrarre dal mezzo una intensità di radiazione adeguata Questo si ottiene con passaggi ripetuti della radiazione nel mezzo attivo mediante l’uso di opportuni specchi, piani o concavi, ad alta riflettività Per esempio tra due specchi piani, paralleli e perfettamente riflettentiun’onda piana si riflette molte volte con perdite dovute solo alla diffrazione causate dalle loro dimensione trasversale. Cavità ottiche 7/147

Supponendo gli specchi di forma circolare, di diametro D, la figura di diffrazione dopo una riflessione consiste di un disco contornato da una serie di cerchi concentrici di intensià rapidamente decrescente. Visto dal centro dello specchio la divergenza angolare del disco centrale vale:  = arc.sin(1.22 /D) E’ evidente che se la cavità ottica deve avere piccole perdite diffrattive è necessario che ogni specchio possa raccoglie quasi tutta la radiazione compresa nel disco centrale di divergenza  7/148

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     la distanza tra specchi circolari di diametro D, si ha: D/L≥   /D Da cui F = D 2 / (L.  ≥ 1 Dove si è introdotto il Numero di Fresnel F=D 2 /(L  della cavità. Per esempio in un laser con = 1  m ed L=1m il diametro degli specchi deve essere almeno superiore al mm. 7/150

Utilizzando specchi di forma arbitraria non solo le perdite diffrattive devono essere piccole ma anche sulla base dell’ottica geometrica deve esistere ana famiglia di raggi luminosi che possa fare un numero elevato ri riflessioni (20≈100) prima di uscire dagli specchi. Per esempio nel caso di specchi sferici e concentrici ( specchi che hanno in comune il centro di curvatura come due calotte di una sfera), tutti I raggi che passano per il centro di curvatura incidono normalmente sugli specchi e ritornano su se stessi. 7/151

Nel caso di un risuonatore aperto, di dimensioni grandi rispetto alla lunghezza d’onda nella cavità, e per radiazione polarizzata trasversa lineare (TEM), una soluzione approssimata del campo EM si può calcolare usando la formulazione del principio di Huygens fatta da Kirchhoff-Fresnel. Si consideri una cavità formata da due specchi : sullo specchio 2 la radiazione può essere calcolata dalla distribuzione del campo elettrico sullo specchio 1 tramite la formula di Kirchhoff-Fresnel..: dove R è la distanza tra i punti (u 1, v 1 ) e (u 2, v 2 ) sugli specchi, e  è l’angolo tra la direzione di R e la normale agli specchi, mentre u e v sono le coordinate sugli specchi 7/152

Quindi, noto il campo elettrico su uno specchio se ne può calcolare la distribuzione sull’altro specchio. Iterando il processo più volte si può cercare una soluzione stazionaria che ha la ovvia caratteristica di avere la stessa distribuzione di campo, a parte un fattore moltiplicativo complesso che rappresenta il cambiamento in ampiezza e fase del campo nel passaggio da uno specchio all’altro. Dopo p passaggi tra gli specchi vale, per una soluzione stazionaria, : La sostituzione nell’eq. precedente dà la seguente equazione integrale per la distribuzione spaziale e la costante di propagazione  del modo di campo dove K è il kernel dell’equazione integrale e si scrive 7/153

Il calcolo dei modi stazionari fu risolto in via numerica da Fox e Li nel 1961 (Fox et al. Bell Syst. Tech. J. 40, pag. 453, 1961) nel caso di cavità a specchi piani; nel loro articolo dimostrarono che una distribuzione arbitraria del campo porta a una soluzione stazionaria dopo passaggi nel risuonatore. Questo risultato implica che modi stazionari esistono in un risuonatore aperto lateralmente e con specchi di apertura finita rettangolari o circolari. I modi di una cavità a simmetria rettangolare sono chiamati TEM mnq, con m, n e q numeri interi che indicano il numero di nodi (zeri) rispettivamente nelle direzioni x, y e z. La direzione z è scelta in modo che coincida con l’asse della cavità. Per specchi con apertura circolare i modi sono chiamati TEM plq dove p ed l danno il numero di linee nodali radiali e circolari. 7/154

Affinchè non avvengano fenomeni di interferenza distruttiva a ridurre l’intensità del campo, il campo che ritorna sugli specchio deve essere in fase e allora solo la parte reale di  da luogo a perdite di intensità. Tutte le volte che il cammino ottico di andata e ritorno nella cavità, round trip, è un multiplo intero q di /2 si ha una risonanza dei modi della cavità e si hanno piccole perdite dovute od alla diffrazione residua o a perdite assorbitive. La risonanza per una cavità fatta con specchi piani e paralleli avviene quando la lunghezza della cavità L è uguale a un numero intero q di mezze lunghezze d’onda: da cui si ricava la frequenza di risonanza della cavità: c = q.c/2L Nel campo ottico, q ha sempre valori molto elevati :ad esempio per una cavità lunga 50 cm di un laser He-Ne ( = nm) si ha un q superiore a un milione. 7/155

Diversamente le coppie (m,n) o (p,l) assumono valori interi piccoli, tipici dei modi che hanno basse perdite di diffrazione. Di conseguenza la distribuzione di campo di un modo nel piano (x,y) è quasi indipendente dal numero q. Ci si riferisce a queste configurazioni di campo come alle distribuzioni spaziali trasversali o spaziali rappresentazione schematica dei modi trasversi per un campo polarizzato linearmente nel caso di apertura quadrata e circolare, da Kolgenik and Li (Kolgenik et al. Applied Opt. 5, pag. 1550, 1966). 7/156

La frazione di energia persa per ogni passaggio è mostrata in figura come calcolata da Fox e Li. Si noti che nella cavità confocale le perdite possono essere ordini di grandezza inferiori a quelle di una cavità a specchi piani. Questo era immaginabile dato che gli specchi concavi tendono a riflettere la luce verso l’asse del risuonatore, riducendo le perdite. 7/157

Inoltre il rapporto tra le perdite dei modi, nel caso di cavità a specchi piani, è circa due in un largo intervallo di valori del valore F (e quindi delle dimensioni della cavità). Questo significa che si può passare facilmente da un modo a basso ordine trasverso ad uno ad alto ordine trasverso. Al contrario, per la cavità a specchi concavi il rapporto è maggiore di 10 per F>1 e quindi è più facile ottenere spontaneamente il funzionamento nel modo TEM 00. Altri vantaggi si hanno sulla precisione necessaria per il parallelismo tra gli specchi. Ad esempio, in un laser He-Ne, per mantenere le perdite per giro inferiori all’1% in una cavità di un metro con diametro effettivo di 3 mm, occorre mantenere gli specchi paralleli entro 1 secondo d’arco. Lo stesso laser, con specchi concavi, ha una sensibilità da 10 a 100 volte inferiore a un eventuale disallineamento degli specchi. 7/158

La condizione di Fresnel F>>1 per i risuonatori equivale a richiedere che la distribuzione del campo elettrico nella figura di diffrazione di campo lontano sia uguale a quella di campo vicino. In questo caso l’equazione integrale si semplifica e in coordinate cartesiane diventa: dove A è una costante e R>>L; la soluzione, in coordinate cartesiane, è esplicita: dove H m e H n sono i polinomi di Hermite rispettivamente di ordine m ed n; il parametro w ha le dimensioni di una lunghezza ed è chiamato raggio del fascio o dimensione dello spot ed è determinato dalle dimensioni della cavità risonante e dalla sua geometria. 7/159

Polinomi di Hermite e Laguerre polinomi di Hermite e Laguerre di ordine più basso 7/160

La distribuzione del campo è la stessa delle autofunzioni di un oscillatore armonico a due dimensioni. Nel caso di simmetria cilindrica sono scritte come: Dove le funzioni sono i polinomi di Laguerre; si noti che il modo con m=n=p=l=0 ha lo stesso profilo nel caso di cavità cilindrica o rettangolare: dove r 2 =x 2 +y 2 questo modo ha le più basse perdite per diffrazione ed è particolarmente importante perché il campo elettrico ha una fase costante su tutto il fronte d’onda, ed ha la più piccola divergenza. 7/161

modi di ordine più basso ottenuti un laser a gas che oscilla di volta in volta a singolo modo in una cavità a simmetria rettangolare Tipicamente il modo TEM 00 viene selezionato mettendo un diaframma dentro la cavità in modo da aumentare le perdite per i modi di ordine maggiore che così cesseranno di oscillare. 7/162

Per definire le condizioni di stabilità di un risuonatore laser si consideri una cavità formata da due specchi 1 e 2, di raggi di curvatura rispettivamente R 1 ed R 2 ; i raggi degli specchi sono definiti positivi se gli specchi sono concavi e affacciati all’interno della cavità Il raggio w 1 del modo laser sul primo specchio è definito come la distanza dall’asse in cui il campo scende a 1/e del massimo e vale: 7/163

Il diametro del fascio sul secondo specchio si ottiene scambiando gli indici 1 e 2; in particolare, per un risuonatore simmetrico confocale (quindi con R 1 =R 2 =L) si ottiene, per il valore del campo 1/e: In un generico risuonatore a specchi concavi il fascio raggiunge un diametro minimo (2w 0 ) che vale: Al di fuori del risuonatore il fascio si propaga con una divergenza che è misurata dall’angolo  di diffrazione a campo lontano, definito dal rapporto tra la dimensione dello spot a distanza z e la distanza z, al limite vale  w o 7/164

Semplici considerazioni geometriche (la traccia dei raggi) mostrano che non tutte le combinazioni di specchi e distanze L portano a configurazioni stabili, dato che raggi inizialmente paralleli all’asse della cavità possono divergere dopo varie riflessioni e portare a grandi perdite e la cavità si dice instabile. Le condizioni di stabilità di un risuonatore si deducono dato che w 4 deve essere in questo caso positivo e si trova che Che si può riscrivere come (codizione di stabilità) Rappresentabile nel seguente grafico 7/165

diagramma di stabilità di risuonatori a specchi sferici 7/166

Con riferimento alla figura si vede che i confini tra le regioni stabili (in bianco) ed instabili (in grigio) sono rappresentati dalla condizione di stabilità e che i risuonatori confocale simmetrico, simmetrico concentrico e piano parallelo sono tutti sul confine. Tuttavia allontanando od avvicinando gli spcchi ci si muove lungo la diagonale principale del piano e quindi questi modi sono stabili 7/167

Fabry -Perot Si consideri un’onda piana incidente con un angolo  su un piano trasparente con due facce parallele parzialmente riflettenti. Trascurando l’assorbimento (mezzo trasparente) ad ogni superficie l’ampiezza A i si divide in una componente riflessa ed in una trasmessa La riflettività R dipende dall’angolo di incidenza e dalla polarizzazione dell’onda incidente e si ottiene dalle formule di Fresnel. 7/167

Le riflessioni e trasmissioni successive si trovano con le seguenti iterazioni: Con riferimento alla figura si trovano le seguenti differenze di cammino ottico tra due onde parziali successive che grazie alla relazione diviene nel caso di indice di rifrazione maggiore di 1 entro le due facce del piano ed n=1 all’esterno (caso tipico di una lastra in aria). Come conseguenza si genera la differenza di fase dove  tiene conto dei altri possibili cambiamenti di fase dovuti alle condizioni delle superfici. Ad esempio nella riflessione su un’interfaccia tra un mezzo con indice 1 ad uno con n >1(ad esempio la riflessione della luce su una finestra) si ha un salto di fase pari a  Sommando la serie di tutte le ampiezze con le relative differenze di fase si ottiene, per l’intensità dell’onda riflessa: 7/168

Analogamente, per l’onda trasmessa, e come ci si poteva aspettare dalla conservazione dell’energia (I=I R +I T ) nel caso di processi senza assorbimento, vale Definendo Si hanno le equazioni di Airy che danno la trasmissione e la riflessione dell’onda incidente Le funzioni di Airy sono periodiche ed oscillano tra 1 ed un volore positivo 7/169

Trasmittanza di un interferometro privo di assorbimenti in funzione della differenza di fase  e per diversi valori della finezza F. La massima trasmittanza è T = 1 per  = 2m , la intensità trasmessa è quindi uguale a I 0 e l’intensità riflessa è nulla. La distanza in frequenza tra due massimi si chiama Free Spectral Range dell’interferometro e vale 7/170

che nel caso di incidenza ortogonale alla superficie diventa Da notare che all’aumentare dell’angolo di incidenza aumenta la differenza di cammino ottico tra due onde successive Si può facilmente calcolare che la larghezza a metà altezza dei picchi vale che per (1-R)<<R diventa. Free Spectral Range Il rapporto tra il free spectral range e la larghezza a metà altezza (espressa in Hz) si chiama finezza dello spettrometro e vale : 7/171

dove si è tenuto conto che il free spectral range corrisponde ad una differenza di fase di 2 . In un interferometro reale la finezza è tuttavia minore a causa, ad esempio, di superfici non perfettamente piane o leggere inclinazioni relative. L’inverso della finezza totale è allora dato dalla somma degli inversi delle singole finezze:. Ad esempio, nel caso di un interferometro con finezza di riflettività pari a 60, superfici piatte fino a l/50 di  (e quindi finezza di 50) e parallelismo entro 0.2" (che per un cammino ottico di 1 cm tra le due facce, =500 nm causa una differenza di cammino ottico pari a 0.1, che a sua volta allarga i massimi come se fosse una finezza di circa 20), la finezza totale è. Il che dimostra come non solo la riflettività ma anche le superfici ottiche rivestano un ruolo fondamentale nel determinare la risoluzione di un interferometro. L’uso di specchi sferici, eliminando la necessità del parallelismo, permette di ottenere maggiori finezze prossime a quelle previste dalla sola riflettività. 7/172

Fasci gaussiani soddisfa all’eq. Del campo EM.. Scritta in questo modo risulta evidente che R(z) è il raggio di curvatura del fronte d’onda che interseca l’asse alla distanza z, mentre w(z) dà la distanza dall’asse, distanza a cui l’ampiezza è scesa ad 1/e del massimo. Misurando z dal beam waist, punto di minimo di w, si ottengono le soluzioni La forma del campo sugli specchi di una cavità suggerisce di verificare per quali condizioni un’onda del tipo 7/173

In conclusione per un modo TEM 00 si può scrivere il campo nella cavità come un fascio gaussiano dove c è un fattore di normalizzazione e il primo esponenziale dà la distribuzione radiale gaussiana, il secondo dà lo shift di fase che dipende da z ed r. Dalla distribuzione dell’intensità radiale si ottiene il fattore di normalizzazione tramite la condizione 7/174

dove P 0 è la potenza totale nel fascio laser. Se il fascio gaussiano passa attraverso un’apertura di diametro 2a viene trasmessa solo una frazione della potenza totale, data da intensità di un fascio gaussiano con raggio W attraverso un’apertura di raggio a 7/175

andamento del waist e del raggio di curvatura per un fascio gaussiano w0w0 R  nw 0 7/176