NOMBRES ENTIERS NUMERATION CALCUL Cycle Roland Charnay 1

Sur les enjeux d’apprentissage L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. (programme, 2008) La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (programme, 2008) Roland Charnay

3 Résultats, procédures et techniques - à mémoriser, à automatiser - à savoir élaborer Langage, représentations - analogique - verbal - symbolique Propriétés - utilisées implicitement - connues explicitement Problèmes qu'il permet de résoudre Sur la maîtrise d’un concept différents aspects à prendre en compte

Le triple code Stanislas Dehaene - La Bosse des maths – Odile Jacob Représentation analogique Représentation symbolique Représentation verbale Roland Charnay

Exemple du triple code : petits nombres Roland Charnay 3 trois

Exemple du triple code : numération décimale Roland Charnay 173 cent soixante-treize

Exemple du triple code multiplication 7 3 x 4 4 x 3 Trois fois quatre Quatre multiplié par trois Produit de trois par quatre Roland Charnay

Une question structurante pour le C1 et le C2 : Comment dénombrer ? Dénombrer : utiliser un moyen pour associer un nombre à une quantité. Ces moyens vont évoluer au cours du cycle 2. Mesurer en sera un prolongement : utiliser un moyen pour associer un nombre à une grandeur (longueur par exemple), avec la nécessité de décider d’une unité Roland Charnay 8

Premiers moyens de dénombrer (très petites quantités) Roland Charnay 9 -Reconnaissance immédiate des quantités -Décomposition et calcul (trois et deux, c’est cinq) -Comptage un par un

Roland Charnay 10 -Reconnaissance immédiate plus difficile, sauf si les « configurations-doigts » ou la « constellation de 6 » ont été mémorisées -Décomposition et calcul (cinq et trois, c’est huit) -Comptage un par un Petites quantités

Un nouveau moyen… (quantités importantes) Roland Charnay 11 -Reconnaissance immédiate impossible -Décomposition et calcul (long et délicat) -Comptage un par un (long et délicat) -Grouper par dix  numération décimale

Encore un autre moyen Roland Charnay 12 Le calcul -additif -multiplicatif

PLAN DES REPÈRES SUR… - la notion de nombre, de la maternelle au CP - la numération des nombres entiers - le calcul, en particulier mental Roland Charnay 13

LA NOTION DE NOMBRE de la Maternelle au CP Roland Charnay 14

Quatre enjeux complémentaires… 1.Quels problèmes les nombres permettent-ils de résoudre ? 2.Quelles procédures sont possibles ? 3.Quelles représentations des nombres faut-il développer ? 4.Quelles premières propriétés des nombres faut-il mettre en place ? Roland Charnay 15

Les nombres outil pour mémoriser… …des quantités aspect cardinal Réaliser une quantité aussi, plus ou moins importante qu’une quantité donnée Compléter une quantité pour la rendre aussi, plus ou moins importante qu’une quantité donnée Comparer des quantités … des positions dans une liste rangée aspect ordinal Indiquer une position, un rang Replacer un objet à sa position Comparer des positions Roland Charnay 16

Les nombres outil pour anticiper Aspect cardinal : quantités Valeur après transformation (augmentation, diminution, réunion, distribution, partage) Valeur de la transformation (augmentation, diminution) Valeur avant transformation (augmentation, diminution) Aspect ordinal : positions dans une liste rangée Position atteinte après un déplacement (en avant ou en arrière) Valeur du déplacement Position avant un déplacement Roland Charnay 17 Vers le calcul qui sera travaillé à partir du CP

Exemple de l’utilisation des nombres pour exprimer et mémoriser les quantités réaliser des quantités identiques Roland Charnay 18 dans le but de …

Roland Charnay 19 Les nombres, mémoire des quantités Exemples de problèmes de la PS au CP La situation "de référence" Préparer juste ce qu'il faut de bouchons pour en avoir un pour chaque bouteille.

Collections assez nombreuses et proches Placer les bouchons : respect de la contrainte Roland Charnay 20 -Activité pratique (possibilité de placer un bouchon à côté de chaque bouteille) -Pas d’activité mathématique

Jusqu'à 10 bouteilles, bouchons proches Préparer les bouchons sur un plateau avant de les placer Vérifier ensuite par un placement effectif Roland Charnay 21 -Activité mathématique : assurer l’égalité des quantités -Procédures -Correspondance un à un ou par paquets -Utilisation du nombre (globalement pour 3 bouteilles, par comptage pour plus de 4 ou 5 bouteilles) -Variable : bouteilles déplaçables ou pas

Collections éloignées Aller chercher les bouchons en plusieurs, puis en une seule fois Vérifier ensuite par un placement effectif Roland Charnay 22 -Activité mathématique : assurer l’égalité des quantités -Procédures -Utilisation d’une quantité intermédiaire (dessin, doigts…) -Utilisation du nombre (cf. précédemment) -Variable : nombre d’essais autorisés

Collections éloignées, bouchons par paquets Préparer les bouchons sur un plateau avant de les placer Vérifier ensuite par un placement effectif Roland Charnay 23 -Activité mathématique : assurer l’égalité des quantités -Procédures -Décomposer la quantité de bouteilles en paquets -Composer des paquets pour atteindre la quantité de bouteilles -Variable : nombre d’essais autorisés

Roland Charnay 24 Juste ce qu'il faut de gommettes pour réparer le robot Un problème de référence à l’articulation GS-CP (D’après Cap maths CP) Aller chercher, à distance, juste assez de gommettes pour réparer le robot (allers retours possibles) Aller chercher, à distance, en une seule fois, juste assez de gommettes pour réparer le robot Les demander oralement Les commander par écrit

Roland Charnay 25 Une compétence nécessaire pour réussir SAVOIR DENOMBRER Une compétence à développer en maternelle Une compétence à consolider au CP Une compétence qui comporte plusieurs aspects

Roland Charnay 26 Reconnaissance immédiate (subitizing)

Roland Charnay 27 Quantités repères : constellations, doigts…

Reconnaissance immédiate et collections témoins (petite collections jusqu’à quatre) 28 Très tôt, l’enfant sait que certaines collections ont la même quantité par perception globale. Cette quantité peut être numérisée : « trois » Roland Charnay Cela permettra la décomposition d’une collection importante en parties immédiatement dénombrables (groupements et écritures additives)

Roland Charnay 29 Comptage un par un (3 principes importants) un deux trois huit un deux trois Etiqueter chaque objet par un mot nombre Identifier le dernier mot- nombre comme cardinal de la collection Comprendre que les objets peuvent être comptés dans n’importe quel ordre

Une comptine qui numérote et qui dénombre Roland Charnay 30 un deux troisquatre un deux troisquatre un deux troisquatre

Roland Charnay 31 Importance de la "comptine" orale et du dénombrement L'acquisition de la chaîne numérique verbale et son usage dans les processus de quantification est déterminante (…). Ces habiletés verbales constituent en réalité les éléments à partir desquels s'édifient les acquisitions ultérieures… Conclusion d'une synthèse de P. Barouillet et V. Camos

Roland Charnay 32 L'acquisition de la comptine Quelques étapes de 2 à 6 ans Grande variabilité selon les enfants (donc valeurs moyennes) 4 ans et demi : récitation jusqu'à seize apprentissage lent et difficile 5 ans et demi : récitation jusqu'à quarante appui sur des régularités à partir de vingt Mais savoir réciter, ce n'est ni connaître complètement ni savoir utiliser

Roland Charnay 33 Connaître la "comptine" Vers 6 ans A partir de 1 jusqu'à… A partir de … jusqu'à… A rebours (décompter) A partir de 6-7 ans Compter et décompter n nombres à partir de … Compter ou décompter de … à …, en comptant les nombres énumérés

Roland Charnay 34 un deux trois quatre cinq Trouver le mot-nombre associé à une écriture chiffrée Trouver l’écriture chiffrée associée à un mot-nombre un deux trois quatre cinq

Roland Charnay Des connaissances travaillées en GS à prendre en compte au début du CP (sur un domaine numérique assez étendu) A quoi servent les nombres ? Exprimer les quantités pour les mémoriser Repérer et exprimer des positions dans une liste Traiter des problèmes "arithmétiques" (sans l'objectif de travailler le calcul) Suite orale des nombres : stabilisation Dénombrement : différentes méthodes Correspondance suite orale - suite écrite, par le biais de la bande numérique 35

LA NUMERATION DES ENTIERS Repères pour le CP et le CE1 - Valeur positionnelle des chiffres - Organisation de la suite des nombres et valeur positionnelle des chiffres Roland Charnay 36

Des réussites parfois trompeuses (à l’entrée en sixième) Les compétences techniques sont les plus évaluées Lire / écrire des nombres 85 % à 95 % Comparer / ranger des nombres 70 % à 90 % Pourtant à l'entrée en sixième… Ecris en chiffres 25 dizaines 41 % Roland Charnay 37

VALEUR POSITIONNELLE DES CHIFFRES Deux moments importants au CP -Passage de la suite orale aux groupements par dix (appui sur la désignation orale) -Groupements par dix et place des chiffres Roland Charnay 38

Roland Charnay 39 Passage de la suite orale aux groupements par dix (appui sur la désignation orale) Les régularités des suites écrites et orales… …jusqu'à 39, puis jusqu'à 59 Dès la GS et en début de CP, les élèves sont familiarisés avec : les régularités de la suite écrite les régularités de la suite orale organisée par des mots-clés (au-delà de vingt) : avec vingt et trente, d'abord avec vingt, trente, quarante et cinquante, ensuite (de dix en dix) D'où possibilité de dénombrer et de réaliser des quantités par "comptage de dix en dix"

Roland Charnay 40

Roland Charnay 41 Groupements par dix et place des chiffres Un exemple de problème de référence (Cap Maths CP ) Le problème Demander juste ce qu’il faut de « gommettes » pour réparer le grand ziglotron Les gommettes étant « vendues » à l’unité ou par groupes de dix. L’objectif Mettre en évidence la "valeur positionnelle" des chiffres

Roland Charnay 42 Matériel

Roland Charnay 43 Etape 1 sur 3 -Les élèves disposent du ziglotron (entre 20 et 40 gommettes à demander) -Pas de contrainte sur la demande (elle peut être orale ou écrite) -Une seule demande possible -Au retour, ils placent les gommettes pour valider leur commande Pour répondre, les élèves peuvent : -Dénombrer les emplacements et formuler une demande orale ou écrite du nombre total de gommettes qui sont alors servies à l’unité -Entourer des groupes de 10 emplacements et demander des paquets de 10 gommettes et des gommettes à l’unité (ils ne sont alors pas obligés de passer par le nombre total de gommettes) -Dénombrer les emplacements, écrire le nombre (34 par exemple) et le décoder en 3 paquets de dix gommettes et 4 gommettes isolées

Roland Charnay 44 Etape 2 sur 3 -Les élèves disposent du ziglotron (entre 20 et 40 gommettes à demander) -Quatre contraintes sur la demande : -commande écrite (cf. bon de commande) -ne pas demander plus de 9 gommettes isolées -le marchand donne ce qui est commandé -vérification différée : les commandes sont discutées avant d’être validées Pour répondre, les élèves peuvent : -Dénombrer les emplacements et écrire le nombre total souhaité (37, par exemple), puis entourer des groupes de dix et compléter la deuxième partie du bon de commande (3 paquets de dix boutons / 7 boutons) -Entourer des groupes de dix et compléter la deuxième partie du bon de commande, puis dénombrer les emplacements en comptant de dix en dix… (dix, vingt, trente, trente-et-un, trente-deux…) -Dénombrer les emplacements, écrire le nombre (37 par exemple) et le décoder en 3 paquets de dix gommettes et 4 gommettes isolées

Roland Charnay 45 Etape 3 sur 3 -Les élèves ne disposent pas du ziglotron -Ils disposent d’un bon de commande que l’enseignant à commencer à remplir et qu’ils doivent compléter -La vérification est toujours différée : les commandes sont discutées avant d’être validées Pour répondre, les élèves peuvent : -Dessiner les 42 gommettes, puis entourer des groupes de dix et compléter la deuxième partie du bon de commande (4 paquets de dix boutons / 2 boutons) -Décomposer 42 en et compléter le bon de commande -Décoder directement 42 en 4 paquets de dix et 2 unités 42

Roland Charnay 46 Entraînement (sur fiche)

SUITE DES ÉCRITURES CHIFFRÉES ET VALEUR POSITIONNELLE DES CHIFFRES Un moment important au CE Roland Charnay 47

Roland Charnay 48 Une situation : quantités, compteur et calculette D'après Cap Maths CE1 Le problème Gérer les effets de l'ajout de 1, 10, 100 objets sur différents matériels qui permettent d’écrire les nombres Les objectifs - Comprendre que avancer de 1, 10… revient à ajouter 1 unité, 1 dizaine… - Comprendre qu'à chaque rang correspond un type de groupement

Roland Charnay cartes portant 100 perles 10 cartes portant 10 perles 40 cartes portant 1 perle Matériel 1 boîte

Roland Charnay 50 Problèmes Ajout de perles de 1 en 1 jusqu'à 37 Quelle action sur la calculette à chaque ajout ? Quelle action sur le compteur à chaque ajout ? Y a-t-il adéquation entre le contenu de la boîte, l’affichage de la calculette et celui du compteur Ajouts d’une ou plusieurs cartes portant soit 1, soit 10, soit 100 perles Mêmes questions

Roland Charnay 51 Un premier exemple de problème Il y a déjà 28 perles dans la boîte (2 cartes avec 10 perles et 8 perles isolées). On ajoute 2 fois de suite une perle. Comment faire pour que le contenu de la boîte, l'affichage du compteur et celui de la calculette coïncident ? - Contenu de la boîte : 2 paquets de dix et 10 perles isolées - Affichage de la calculette : (avec +1, deux fois) - Compteur : ??? (que faire quand la roue des unités est sur 9 ?)

Roland Charnay 52 Un deuxième exemple de problème Il y a déjà 92 perles dans la boîte (9 cartes avec 10 perles et 2 perles isolées). On ajoute 1 carte de 10 perles. Comment faire pour que le contenu de la boîte, l'affichage du compteur et celui de la calculette coïncident ? - Contenu de la boîte : 10 paquets de dix et 2 perles isolées - Affichage de la calculette : (avec +10, une fois) - Compteur : 092 ??? (que faire quand la roue des dizaines est sur 9 ?)

Roland Charnay 53 Un troisième exemple de problème Il y a déjà 199 perles dans la boîte (1 carte de 100 perles, 9 cartes avec 10 perles et 9 perles isolées). On ajoute 1 carte de 1 perle. Comment faire pour que le contenu de la boîte, l'affichage du compteur et celui de la calculette coïncident ? - Contenu de la boîte : 1 paquet de cent, 9 paquets de dix et 9 perles isolées - Affichage de la calculette : (avec +1, une fois) - Compteur : 199 ??? (que faire quand les roues des dizaines et des unités sont sur 9 ?)

Roland Charnay 54 Activité identique avec des cartes marquées "unité", "dizaine", "centaine" Ce qui favorise le passage des groupements aux échanges. Il faut, par exemple, sortir 10 cartes « dizaine » pour les remplacer par 1 carte « centaine »

Roland Charnay 55 Entraînement… qui n'a de sens qu'après l'activité !

Au CE1, des connaissances essentielles pour la suite…. Valeur de chaque chiffre en fonction du rang qu’il occupe dans l’écriture du nombre Valeurs référées à l’unité Dizaine = 10 unités Centaine = 100 unités Relations entre valeurs Dizaine = 10 unités Centaine = 10 dizaines Tout cela référé au triple code Verbal Symbolique : écriture chiffrée Représentation matérielle : paquets de cent (dix paquets de dix), paquets de dix, unités Roland Charnay

LE CALCUL au cycle Roland Charnay 57

Quelques considérations générales En maternelle et au début du CP les élèves résolvent des problèmes arithmétiques sans étudier le calcul et sans utiliser les signes opératoires Au CP ils continuent à résoudre des problèmes arithmétiques en utilisant des procédures personnelles et des procédures expertes pour certains problèmes ils commencent à structurer le répertoire additif, à mémoriser des résultats, à développer le calcul réfléchi et s’initient au calcul posé pour l’addition Au CE1 ils étendent le champ des problèmes résolus par des procédures expertes et en résolvent d’autres par des procédures personnelles Ils mémorisent le répertoire additif et commencent à mémoriser le répertoire multiplicatif ils développent le calcul réfléchi, maîtrisent le calcul posé pour l’addition et s’initient au calcul posé pour la soustraction Roland Charnay 58

DES PROBLÈMES POUR APPRENDRE LE CALCUL un exemple au CP Roland Charnay 59

Dans la boîte… Cap Maths CP - Je mets 3 jetons dans la boite, j’en mets encore 2. Combien de jetons maintenant ? -Il y a 8 jetons dans la boite, j’en enlève 2. Combien de jetons maintenant ? -Il y a 5 jetons dans la boite, j’en ajoute. Il y en a maintenant 8. Combien en ai-je ajouté ? Roland Charnay

Quelles procédures ? Recomptage mental ou aidé (doigts…) Dessin et dénombrement Surcomptage mental ou aidé (doigts…) Décomptage mental ou aidé (doigts…) Double comptage de … à …mental ou aidé (doigts…) Utilisation de résultats déjà connus Roland Charnay

undeuxtroisquatrecinqsixsept Roland Charnay Double comptage sur la bande numérique Exemple pour : « 6 et 7 »

Combien de jetons dans la boîte ? (nombres de 1 à 10) Une progression au CP (qui peut commencer en GS) Expérience effective avec anticipation : ajout et retrait de 1, de 2 ou de 3 Expérience évoquée (idem) Oralement : "3, j'ajoute 2" Roland Charnay

Ensuite au CP… Entraînement : calcul oral « trois plus un », « quatre moins deux » Relier ainsi le sens des mots plus et moins au résultat d’un ajout ou d’un retrait (simulables avec des objets ou avec les doigts) Mise en place d'un langage symbolique + – Nouveaux problèmes : « Où suis-je ? » sur la bande numérique Relier ainsi + et – au résultat d’un déplacement en avant ou en arrière sur la bande numérique Répertoire des résultats connus Roland Charnay

65 Dix dans la boîte Une situation de synthèse - deux joueurs - 1, 2 ou 3 jetons dans la boîte à chaque coup

Dix dans la boîte : 3 problèmes à résoudre pour les élèves Roland Charnay 66 Se souvenir de ce qui est mis dans la boîte à chaque coup Plusieurs solutions… dont les nombres 3 / 2 / 1 / … Connaître le contenu de la boîte Vers l’addition Savoir s’il est possible de gagner au coup suivant Vers le complément

Roland Charnay 67 ANTICIPER / VALIDER : un aspect essentiel de ce type de situations Réel Il favorise l’appropriation de la situation et du problème Anticipation Incite à l'expérience mentale Il permet la validation de la réponse ou d'une procédure Oblige à élaborer des procédures

Roland Charnay 68 Le travail sur fiche vient après la situation vécue

LE CALCUL MENTAL L’exemple de l’apprentissage des tables Roland Charnay 69

Roland Charnay 70 Avant la mémorisation, la construction des résultats

Trois catégories de procédures Appui sur l’aspect cardinal Quantités réelles ou évoquées (doigts, jetons, dessins…) Appui sur l’aspect ordinal File numérique : avancer de 4 au-delà de 8 Ou avancer de 2, puis de 2 Appui sur le calcul (connaissances numériques) 8 et 2 et encore 2 8 plus 4 mémorisé Roland Charnay

72 Comment aider les élèves à mémoriser les tables ?

Roland Charnay 73 Qu’est-ce qu’avoir mémorisé ?Exemple avec 6 +7 Qu’est-ce qu’avoir mémorisé ? Exemple avec 6 +7 C’est savoir que… et sont égaux à 13 Pour aller de 6 à 13, il y a 7 Pour aller de 7 à 13, il y a 6 13 – 6 = 7 et 13 – 7 = 6 13 se décompose, entre autres, en et en 7 + 6

Addition et multiplicationDes conditions différentes Addition et multiplication Des conditions différentes Addition Soit mémorisation complète Soit mémorisation partielle et reconstruction instantanée Multiplication Mémorisation complète Roland Charnay

Addition et multiplication Des points d’appui pour la mémorisation Roland Charnay

Comprendre aide à mémoriser (référence, contrôle) Addition sous un double aspect Cardinal : réunion ou augmentation de quantités Ordinal : avancer sur une piste numérotée Multiplication sous un triple aspect Itération de quantités Organisation « rectangulaire » de quantités Addition itérée (fois) 76 Possibilité de construire ou de retrouver des résultats inconnus ou oubliés Roland Charnay

Répertorier et organiser aide à mémoriser Rassembler des résultats en vrac (affiche) Chercher à les organiser Compléter avec ceux qui manquent Roland Charnay

Organisation plutôt sous forme de listes (CP, CE1) 5678… Roland Charnay

Organisation sous forme de tableau (à partir du CE2) x Roland Charnay

Points d’appui pour la mémorisation Commutativité S’appuyer sur des régularités ou des propriétés Ajouter ou soustraire 1 : dire le suivant ou le précédent De 3 en 3 dans la table de multiplication par 3… Alternance de 0 et de 5 dans la table de multiplication par 5 S’appuyer sur des résultats connus Doubles, compléments à 10 pour l’addition… Voisins pour l’addition et la multiplication Roland Charnay

Etapes de la mémorisation (par zones numériques pour l’addition) Roland Charnay

Etapes de la mémorisation (par tables pour la multiplication ) Tables de 2 et de 5 Tables de 4 et de 8 (doubles à partir de celle de 2) Tables de 3 et de 6 Table de 9 avec ses particularités 4 x 9 = = 9 Table de 7 (ne reste que 7 x 7 !) Roland Charnay

Autres conditions S’entraîner, répéter Savoir ce qu’on sait et ce qui reste à apprendre Lien entre conditions de mémorisation et possibilités de « rappel » Roland Charnay