1. Leçon 8: Corps ronds Géométries et communication graphique Edouard.riviere@umons.ac.be Edouard Rivière-Lorphèvre 1

2. Université de Mons Jusqu’ici dans ce cours, nous avons vu les méthodes permettant de traiter des corps fait de points, droites, plans (polyèdres) La réalité industrielle fait manipuler des pièce présentant des surfaces qui ne sont pas planes (cylindres, sphères, cônes,…) La fin du cours sur la méthode de Monge développera le traitement de ce type d’objet Introduction I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE

3. Université de Mons Introduction 3 E. Rivière | Service de Génie Mécanique I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE

4. Université de Mons Nous avons vu précédemment que les plans techniques doivent représenter l’ensemble des arêtes d’une pièce, est-ce suffisant ? Notion de contour apparent I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 4 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Dessus Face Contour apparent

5. Université de Mons Contour apparent I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 5 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Pour représenter une pièce sur un plan, il faut représenter l’ensemble des arêtes vues et son contour apparent Contour apparent: Cylindre circonscrit à la forme dont les génératrices sont perpendiculaires au plan de projection

6. Université de Mons Axes ┴ plan de projection Exemples I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 6 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Cylindre Cône Sphère Tore

7. Université de Mons Projection d’un cercle = ellipse I NTRODUCTION | POINT | DROITE | INVERSE | PLAN | PROFIL 7 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Ellipse Grand axe // X Dimension = 2.R Petit axe // Y ( ┴ X) Dimension= 2.R cos 

8. Université de Mons Un cercle se projette sur un plan selon une ellipse: Grand axe=diamètre (// intersection entre les plans) Petit axe réduit de cos  (perpendiculair au grand axe) Projections d’un cercle I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 8 E. Rivière | Service de Génie Mécanique + tout segment // intersection des plans se voit en VG

9. Université de Mons Projections d’un cercle I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 9 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Diamètre //  h Vu en VG dans H Diamètre //  f Vu en VG dans F

10. Université de Mons Tracer les projections d’un cercle I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 10 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Cercle appartenant au plan  Centre donné Diamètre en VG donné

11. Université de Mons Tracer les projections d’un cercle I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 11 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Grand axe connu Orientation du petit axe connue Reste à trouver sa mesure Épure vierge p 275 gfgf IfIf JfJf IhIh JhJh ghgh

12. Université de Mons I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 12 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Rabattement de C dans le plan frontal Tracé du cercle (VG) =ch f =ch h ee ee Cr h Cr f

13. Université de Mons I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 13 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Le diamètre // ch est vu en VG (grand axe de l’ellipse) Méthode des alignements pour obtenir le petit axe Fr f Fr h Gr f Gr h S f =Sr f S h =Sr h FfFf GfGf

14. Université de Mons I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 14 E. Rivière | Service de Génie Mécanique (c) h (c) f

15. Université de Mons Sphère I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 15 E. Rivière | Service de Génie Mécanique

16. Université de Mons Placer un point sur une sphère: une des projections connues, rechercher l’autre projection 2 solutions possible Point sur une sphère I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 16 E. Rivière | Service de Génie Mécanique

17. Université de Mons Point sur une sphère I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 17 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Projection connue P1 h =P2 h Plan frontal: intersection avec la sphère =cercle AhAh BhBh AfAf BfBf P1 f P2 f La deuxième projection est sur le cercle

18. Université de Mons Droite verticale ou de bout (idem placer un point sur une sphère Droite horizontale ou frontale Droite quelconque Intersection droite-sphère I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 18 E. Rivière | Service de Génie Mécanique

19. Université de Mons Droite horizontale I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE E. Rivière | Service de Génie Mécanique Plan horizontal contenant la droite: intersection avec la sphère = cercle Intersection avec le cercle: points recherchés

20. Université de Mons Droite horizontale I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 20 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Plan horizontal contenant la droite: intersection avec la sphère = cercle =O h OfOf Ø IfIf IhIh JhJh JfJf Intersection avec le cercle: points recherchés

21. Université de Mons Droite quelconque I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 21 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Cercle (pas projeté en VG) VG du diamètre Droite joignant les centres: frontale ( ┴ plan de bout)

22. Université de Mons Problème initial I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 22 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Dessin en VG d’un cercle contenu dans un plan de bout Rechercher le centre Rotation (plan horizontal) Tracer le cercle

23. Université de Mons Droite quelconque I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 23 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Plan de bout contenant la droite: intersection avec la sphère = cercle Ø OfOf Rotation autour d’un axe de bout pour amener le cercle en VG (rendre le plan horizontal ch f ch h dr f =A f =Ar f A h =Ar h BrhBrh BfBf BhBh BrfBrf dr h Or f Or h OhOh Epure vierge p 276

24. Université de Mons Droite quelconque I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 24 E. Rivière | Service de Génie Mécanique L’intersection est vue en VG Rotation inverse pour obtenir les points cherchés IfIf IhIh Ir f Ir h JfJf JhJh Jr f Jr h

25. Université de Mons Droite quelconque I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 25 E. Rivière | Service de Génie Mécanique

26. Université de Mons Tout plan tangent à une sphère est normal au rayon issu du point de tangence Plan tangent à une sphère I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 26 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Plan de coupe passant par le point de tangence et le centre P P

27. Université de Mons Rappel perpendicularité I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 27 E. Rivière | Service de Génie Mécanique d ┴  dh ┴ hhdh ┴ hh df ┴ ffdf ┴ ff

28. Université de Mons Soit une sphère de centre C (40,35,10) et de rayon 25. Rechercher les traces du plan tangent en un point P (55,50,z) [choisir z pour avoir la cote maximale) Application 28 E. Rivière | Service de Génie Mécanique

29. Université de Mons Plan tangent à une sphère I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 29 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Petit cercle passant par P dans un plan vertical hhhh  f h OhOh =O f

30. Université de Mons Plan tangent à une sphère I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 30 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Plan normal au rayon issu du point de tangence  C f P f ┴ f f =f h f IfIf IhIh

31. Université de Mons Plan tangent à une sphère I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 31 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Plan normal au rayon issu du point de tangence  C h P h ┴  h hhhh  f h ffff  h f K hf

32. Université de Mons Rotation d’une droite (génératrice) autour d’un axe // à cette droite Ou génératrice glissant le long d’une trajectoire circulaire (directrice) Surface cylindrique de révolution I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 32 E. Rivière | Service de Génie Mécanique

33. Université de Mons Représenter les cercles de base + le contour apparent Différence suivant l’orientation de l’axe Vertical ou de bout Horizontal ou frontal Quelconque Représentation cylindre I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 33 E. Rivière | Service de Génie Mécanique

34. Université de Mons Axe de bout I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 34 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Projection frontale: cercle en VG Projection horizontale: rectangle

35. Université de Mons Axe de bout I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 35 E. Rivière | Service de Génie Mécanique

36. Université de Mons Projection frontale: rectangle Projection horizontale: les cercle de base sont projetés selon deux ellipses (semblables) Axe frontal I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 36 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Plan ┴ axe frontal : de bout Intersection = droite de bout

37. Université de Mons Axe frontal I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 37 E. Rivière | Service de Génie Mécanique afaf ahah VG de r Cercle dans un plan de bout Grand axe (VG) ┴ a h CfCf ChCh DfDf DhDh

38. Université de Mons Données: Projections de l’axe Rayon de base Position des centres des bases Axe quelconque I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 38 E. Rivière | Service de Génie Mécanique

39. Université de Mons 39 E. Rivière | Service de Génie Mécanique

40. Université de Mons 40 E. Rivière | Service de Génie Mécanique

41. Université de Mons Cylindre d’axe de bout Intersection droite-cylindre I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 41 E. Rivière | Service de Génie Mécanique

42. Université de Mons Cylindre d’axe de bout I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 42 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Plan de bout =ff=ff =hf=hf g1 h g2 h g1 f g2 f IhIh JhJh =J f =I f Intersection plan - cylindre Points d’intersection

43. Université de Mons Rotation autour d’un axe de bout pour amener l’axe vertical Résolution du problème d’intersection comme exposé précédemment Rotation inverse Cylindre d’axe frontal I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 43 E. Rivière | Service de Génie Mécanique

44. Université de Mons Cylindre d’axe frontal I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 44 E. Rivière | Service de Génie Mécanique  XhXh XfXf dr f dr h AfAf BfBf Ar f Br f AhAh BhBh Ar h Br h   rotation Épure vierge p 277

45. Université de Mons Cylindre d’axe frontal I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 45 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Intersection Ir h Jr h Ir f Jr f Rotation inverse IhIh JhJh IfIf JfJf

46. Université de Mons Rotation d’une droite (génératrice) autour d’un axe (  ≠ 0 et  /2) Ou génératrice glissant sur un cercle (directrice) et passant par un point (sommet) Surface conique de révolution I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 46 E. Rivière | Service de Génie Mécanique

47. Université de Mons Théorème de Dandelin: section plane d’un cône donne Ellipse Parabole Hyperbole Une de ces formes dégénérées (point, droites,…) Section plane d’un cône I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 47 E. Rivière | Service de Génie Mécanique wikipedia

48. Université de Mons Point d’un cône d’axe vertical I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 48 E. Rivière | Service de Génie Mécanique

49. Université de Mons Point d’un cône d’axe vertical I NTRODUCTION | C ERCLE | SPHÈRE | CYLINDRE |C ÔNE 49 E. Rivière | Service de Génie Mécanique g1 f =g2 f A1 f =A2 f A1 h A2 h P1 h P2 h g1 h g2 h Épure vierge p 278

50. Université de Mons Intersection droite-cône 50 E. Rivière | Service de Génie Mécanique Plan  contenant la droite et le sommet Intersection avec le cône: g1 et g2 Intersection de d avec g1 et g2 donne les points recherchés

51. Université de Mons 51 E. Rivière | Service de Génie Mécanique ffff  h f JfJf JhJh d’ f d’ h hh   f WfWf WhWh J’ f J’ h g1 f g2 f g1 h g2 h J1 f J2 f J1 h J2 h I1 f I2 f I1 h I2 h Épure vierge p 279

52. Université de Mons 52 E. Rivière | Service de Génie Mécanique

53. Université de Mons Remédiation mercredi 19/12 matin Envoyez vos questions ou demandes avant le 16 au soir ! Examen lundi 7 janvier après-midi Examen entièrement pratique Couvre tout le cours (bien sur !): Monge mais aussi isométrie, polyèdres Deux types de questions: ‘figure imposées’: exercices à résoudre suivant une méthode imposée (rabattement, rotation, changement de plan par exemple) ‘figures libres’: exercices pour lesquels la méthode est libre The end… 53 E. Rivière | Service de Génie Mécanique