1. LIMIT SEBARAN (LIMITING DISTRIBUTING) – 3
Materi Pokok 26
LIMIT SEBARAN (LIMITING DISTRIBUTING) – 3
Teorema Limit Pusat
Suatu contoh acak X1, X2, …, Xn dari sebaran normal dengan nilai tengah µ dan ragam σ2 dengan n bulat positif maka
menyebar normal dengan nilai tengah 0 dan ragam 1. (Teorema Limit Pusat).
Teorema 1.
Misalkan X1, X2, …, Xn melambangkan pengamatan contoh acak dari sebaran yang mempunyai nilai tengah µ dan ragam σ2 maka peubah acak

2. Mempunyai limit sebaran yang menyebar normal dengan nilai tengah normal dengan nilai tengah nol dan ragam satu.
Contoh 1.
Misalkan merupakan nilai tengah contoh acak berukuran 75 dari sebaran dengan fungsi kepekatan
Tentukan peluang
M (t) ada untuk t nyata dan (fungsi
kepekatan seragam) sehingga pendekatan peluangnya menjadi:

3. Contoh 2.
Misalkan contoh acak X1, X2, …., Xn sebagai contoh acak dari sebaran binomial = b (1, p) sehingga  = p dan 2 = p (1 – p) dam M (t) ada untuk semua nilai real dari t. Jika Yn = X1 + X2 + ….+ Xn menyebar secara binomial b (n, p) maka dengan teorema limit pusat
mempunyai limit sebaran normal dengan nilai tengah 0 dan ragam 1; N (0, 1)

4. Bila n=100, dan p = ½ dan kita ingin menghitung
P (Y = 48, 49, 50, 50, 51, 52) maka kejadian
Y = 48, 49, 50, 51, 52 adalah setara dengan
P (47,5 < Y < 52,5) dengan nilai tengah np = 50 dan ragam np (1 - p) = 25 sehingga

5. Bila konvergen dalam peluang kepada  dan menyebar normal N (, 2/n)
Bila konvergen dalam peluang kepada  dan menyebar normal N (, 2/n). Fungsi dilambangkan dengan u dan dengan ekspansi Taylor

6. Contoh 3
Bila Y = Yn mempunyai sebaran binomial b (n, p) maka y/n menyebar N [p, p (1 - p)/n]. Ragam y/n adalah tergantung pada n. Dengan ekspansi Taylor u (y/n)   (y/n)
 (y/n) mempunyai nilai tengah u (p) dan ragam
Dengan persamaan diferensial

7. Teorema-teorema Limit Sebaran
Bila Fn (u) melambangkan fungsi sebaran suatu peubah acak Un, yang sebarannya tergantung pada bilangan bulat n dan Un konvergen dalam peluang kepada konstanta c  0. Peubah acak Un/c konvergen kepada 1.
Teorema 3.
Bila Fn (u) melambangkan fungsi sebaran suatu peubah acak Un, yang sebarannya tergantung pada bilangan bulat n dan Un konvergen dalam peluang kepada konstanta c > 0 dan
P (Un < 0) = 0 untuk setiap n. Maka konvergen dalam peluang kepada

8. Teorema 4.
Bila Fn (u) melambangkan fungsi sebaran peubah peubah acak un, yang sebarannya tergantung pada n = bulat positif dan un mempunyai Limit sebaran dengan fungsi sebaran Fn (u) dan peubah acak yang konvergen dalam peluang kepada 1 maka limit sebaran adalah sama dengan Un sehingga Wn mempunyai Limit sebaran dengan fungsi sebaran F ().
Contoh 4.
Misalkan Yn merupakan peubah acak yang menyebar secara binominal : b (n,p), 0 < p <1, maka
mempunyai limit sebaran N (0,1) dan Y/n konvergen dalam peluang kepada p 1-Y/n konvergen dalam peluang kepada 1- p maka (Y/n/n) (1-Yn/n) konvergen dalam peluang kepada p(1- p) dan (Y/n/n)
(1-Yn/n) / [p(1-p)] konvergen dalam peluang kepada 1.