1. 1 מתמטיקה ב' לכלכלנים שיעור 6 – אינטגרלים, שטחים ושימושיהם. תיאוריה

2. 2 בעיה מעשית תאוצתה של מכונית היא a מטרים לשניה כלומר : לאיזה מרחק תגיע המכונית כעבור דקה ? ( כלומר - ) זמן מהירות נפתור באמצעות הערכות מלמעלה ומלמטה. הערכה מלמטההערכה מלמעלה נתחיל בהערכה נאיבית. נזכור כי במהירות קבועה - 0 המהירות תמיד חיובית המהירות קטנה מ -60a a3600

3. 3 בעיה מעשית תאוצתה של מכונית היא x מטרים לשניה. לאיזה מרחק תגיע המכונית כעבור דקה ? זמן מהירות הערכה מלמטההערכה מלמעלה 0a3600 רעיון חדש : נחלק את הדקה ל 30 שניות ראשונות ו 30 שניות אחרונות. נחשב הערכה חדשה מלמטה : בשלושים השניות השניות התקדמנו לפחות בקצב a30. 900a

4. 4 בעיה מעשית תאוצתה של מכונית היא x מטרים לשניה. לאיזה מרחק תגיע המכונית כעבור דקה ? זמן מהירות הערכה מלמטההערכה מלמעלה a3600 רעיון חדש : נחלק את הדקה ל 30 שניות ראשונות ו 30 שניות אחרונות. 900a הערכה חדשה מלמעלה : התקדמנו בחצי הדקה הראשונה בקצב לא גבוה מ -a30. a2700

5. 5 בעיה מעשית תאוצתה של מכונית היא x מטרים לשניה. לאיזה מרחק תגיע המכונית כעבור דקה ? זמן מהירות הערכה מלמטההערכה מלמעלה a2700 רעיון חדש : נחלק את הדקה ל 20 שניות ראשונות, 20 שניות שניות ו 20 שניות אחרונות. נחשב הערכה חדשה מלמטה : בעשרים השניות השניות התקדמנו לפחות בקצב a20. בעשרים האחרונות לפחות a40. 900a1200a

6. 6 בעיה מעשית תאוצתה של מכונית היא x מטרים לשניה. לאיזה מרחק תגיע המכונית כעבור דקה ? זמן מהירות הערכה מלמטההערכה מלמעלה a2700 רעיון חדש : נחלק את הדקה ל 20 שניות ראשונות, 20 שניות שניות ו 20 שניות אחרונות. 1200a הערכה חדשה מלמעלה : בעשרים שניות ראשונות התקדמנו לכל היותר בקצב a20 ובשניות 40a. a2400

7. 7 בעיה מעשית תאוצתה של מכונית היא x מטרים לשניה. לאיזה מרחק תגיע המכונית כעבור דקה ? זמן מהירות הערכה מלמטההערכה מלמעלה ננסה כעת להכליל את השיטה. 1200aa2400 נחלק את הזמן ל n חלקים שווים. נעריך את המהירות בכל קטע על ידי המהירות בתחילת הקטע : חסם מהירות גודל הקטע ( קבוע ) סדרה חשבונית :

8. 8 בעיה מעשית תאוצתה של מכונית היא x מטרים לשניה. לאיזה מרחק תגיע המכונית כעבור דקה ? זמן מהירות הערכה מלמטההערכה מלמעלה נחזור על התהליך עבור חסם עליון. a2400 שוב נחלק את הזמן. נעריך את המהירות בכל קטע על ידי המהירות בסוף הקטע :

9. 9 בעיה מעשית תאוצתה של מכונית היא x מטרים לשניה כלומר : לאיזה מרחק תגיע המכונית כעבור דקה ? ( כלומר - ) זמן מהירות קיבלנו שתי סדרות הערכות שהאיבר היחיד שנמצא בין שתיהן הוא : הערכה מלמטההערכה מלמעלה

10. 10 פתרון אחר לבעיה שראינו ננסה לנסח את הבעיה שנתקלנו בה במונחים של חשבון דיפרנציאלי, כלומר : תאוצתה של מכונית היא a מטרים לשניה לאיזה מרחק תגיע המכונית כעבור דקה ? מצא את s(t). אנחנו מכירים את כל הפונקציות האלו. ( הוכחנו ששתי פונקציות שוות - נגזרת נבדלות בקבוע ) נציב ונקבל : חשוד מאוד ! מה הקשר בין חישובי החסמים והשטחים לנגזרות ?

11. 11 מה הקשר בין חישובי שטחים לנגזרות נביט בגרף של פונקציה מסויימת : נסמן ב - את השטח בין הפונקציה לציר ה x בקטע (x,0). ננסה להבין מה הקשר בין לבין. x f(x)

12. 12 מה הקשר בין חישובי שטחים לנגזרות נסתכל על שינוי ברוחב של F(x) ליד x מסוים. נביט מקרוב יותר. קיבלנו הערכה לשינוי של F. x f(x)

13. 13 מה הקשר בין חישובי שטחים לנגזרות נחלק את המשוואה בדלתא. וכעת נשאיף ל 0.

14. 14 מה הקשר בין חישובי שטחים לנגזרות אך אם f(x) רציפה – מתקיים ולכן כלומר השטח הוא פונקציה גזירה ונגזרתה f(x). x f(x)

15. 15 ועכשיו פורמלי – אינטרגל הגדרה : תהי f(x) פונקציה רציפה. אם F’(x)=f(x) אז נכנה את F קדומה של f, ונסמן : מכונה לעיתים אינטגרל לא מסוים. סימון שיזכיר לנו איזה משתנה צריך לגזור. משפט : כל הקדומות של פונקציה f נבדלות בקבוע. הוכחה : ( ברמת תרגיל תיאורטי לבחינה ) נביט בשתי קדומות שונות : דוגמא :

16. 16 ועכשיו פורמלי – אינטרגל הגדרה : תהי f(x) פונקציה אי שלילית. נסמן את השטח שמתחת לגרף הפונקציה בין a ל b ב - ונכנהו האינטגרל של f(x) בקטע a,b גבולות האינטגרל משפט ( ניוטון - לייבניץ ): אם f(x) רציפה בקטע וקדומתה F(x).

17. 17 נוסחת ניוטון-לייבניץ x f(x) נחזור לפונקציה שלנו : וקדומתה ראינו בתחילת הפרק מדוע חישוב השטח שמתחת לפונקציה קשור לקדומה, אולם כיצד בחרו ניוטון ולייבניץ את הקבוע של הקדומה עבור האינטגרל ? אנו רוצים כי ב a יהי ערך האינטגרל שלנו 0. לכן נרצה : כלומר :

18. 18 תכונות האינטרגל נפנה לחקור את תכונות האינטגרל הלא מסויים כהכנה לשימוש בו להבנת האינטגרל המסוים. כאשר נשווה אינטגרלים תהה תמיד ההשוואה עד כדי קבוע. טענה הוכחה

19. 19 תכונות האינטרגל התכונות האלו מעודדות אותנו להרחיב את הגדרת האינטגרל המסוים עבור שטחים חדשים כדי שתכונות האינטגרל המסוים תתאמנה לאלו של הבלתי - מסויים : נגדיר אינטגרל של פונקציה שלילית לפי בתור : וכך נוכל לחשב אינטגרל מסוים גם לפונקציות לא חיוביות. לפי נוסחאת ניוטון לייבניץ נגדיר :

20. 20 משמעות בגיאומטריה ובתחומים אחרים. מה המשמעות הגיאומטרית של אינטגרל של פונקציה כאשר אינה בהכרח חיובית ? את השטח שמתחת ל 0 ניקח בסימן שלילי. אך אל לנו לשכוח שאינטגרלים אינם משמשים רק לחישוב שטחים. אלא גם פשוט להיפוך נגזרת. למשל כאשר מחשבים ריבית בבנק הריבית היא השינוי בכסף שברשותנו נראה דוגמא כזו בהמשך. x f(x) a b

21. 21 דוגמאות אינטגרלים לא מסוימים מפורסמים :

22. 22 משפט הערך הממוצע האינטגרלי תכונה שלמדנו בקורס הקודם ונהיית ברורה יותר בהסתכלות על אינטגרלים היא הערך הממוצע האינטגרלי. משפט : אם ו f(x) רציפה, אזי קיים c בין a ל b כך ש : x f(x)

23. 23 תרגיל לדוגמא: חשב את השטח הכלוא מתחת לפונקציה ומעל ציר ה x. עלינו לחשב את :

24. 24 וכעת – פרקטיקה. תרופות קיצוניות מתאימות מאוד למחלות קיצוניות. -- היפוקרטס