1. GEOMETRIA FRACTALA

2. Cele de mai sus nu prea arata a fi desprinse dintr-o lume "geometrica“
Cele de mai sus nu prea arata a fi desprinse dintr-o lume "geometrica“. Nu ne prea mai sunt de folos compasul sau rigla. Pentru a genera modele asemanatoare imaginilor prezentate ne trebuie o alta unealta, mai complexa decat rigla si compasul. Si aceasta unealta, minune a gandirii colective este Calculatorul. El s-a constituit intr-o poarta prin care Omul a intrat in lumea fractalilor, lume definita in 1975 odata cu aparitia primei carti a lui Benoid Mandelbrot.
Natura pare sa arate diferit in functie de scara la care se vizualizeaza obiectele. Lumea cristalelor sau Universul corpurilor Ceresti pot fi descrise prin aproximatii geometrice (prisme, piramide, poliedre, sfere).
Realitatea observabila la scara omului se lasa mai greu aproximata prin geometria clasica. In jurul nostru, obiectele au forme neregulate, asemanatoare scoartei copacului, stancilor si fulgerelor, fracturilor si structurii complicatei structuri arhitectonice a neuronilor din creier.
Geometria Fractala devine astfel un inceput de descriere matematica a formelor complicate, o geometrie a Naturii.

3. Introducere
Istoria fractalilor nu este lungă. A început brusc, în 1975, cu lucrarea revoluţionară a matematicianului Benoit Mandelbrot, "O teorie a seriilor fractale", care mai târziu a devenit cartea sa manifest "Geometria fractală a naturii".
Mandelbrot a inventat cuvântul "fractal" pentru a reuni munca multora dinaintea sa.
Matematicieni ca Waclaw Sierpinski, David Hilbert, George Cantor şi Helge von Koch au creat primii fractali, în general ca exerciţii abstracte, neavînd nici o idee despre semnificaţia lor
Ei au simţit că descoperiseră ceva ce sfida şi ameninţa câteva din convingerile cele mai preţioase.

4. Gandirea lui Mandelbrot a evidentiat si sistematizat cunostintlele vremii accentand asupra dependentei de scara de masura a unor marimi fizice precum si a importantei legii putere in descrierea stiintifica a realitatii
A introdus termenul de FRACTAL si a identificat domenii de aplicabilitate a geometriei sale
Abordare metaforica 
Daca o figura geometrica este in general usor de construit si se defineste prin aceasta constructie, un obiect fractal este mai dificil de surprins in complexitatea sa. El necesita din partea observatorului un efort imaginativ, o participare mentala de natura unui proces nesfarsit ce permite "dezvoltarea" unei "seminte". Limita procesului, a dezvoltarii semintei, este chiar obiectul fractal cautat.
Fractal (fracturat, fragmentat) – concept matematic introdus de Mandelbrot si asociat unui model de generare recursiva (iterativa) capabil sa structureze forme auto-similare complicate ce pot fi utilizate in descrierea formelor din natura (structura plamanului, a vaselor de sange, a norilor, a cursului raurilor, a reliefului etc.)
Fractal in sens fizic matematic – model ideal al unei curbe, suprafete, sau volum, generat recusiv
Fractal in sens fizic – obiect cu proprietati auto-similare (un fragment seamana cu intregul), concept util in evaluarea cantitativa a unor structuri neregulate. Impreuna cu matematica statistica, asigura o mai buna discriminare – clasificare a obiectelor abordate in prezent doar in sens calitativ (inlocuieste o exprimare de tipul: scoarta bradului este “mai neteda” decat cea a castanului…)

5. Definiţia fractalilor
În 1982, Mandelbrot şi-a extins două eseuri anterioare, creînd lucrarea deschizătoare de drumuri "Geometria fractală a naturii". El a inventat cuvântul "fractal" (din latinescul "frangere" care înseamnă "a sparge în fragmente neregulate"), astfel încât inversele forme au putut fi unificate sub un singur nume.
Pentru a fi clasificată oficial ca fractal, o formă trebuie să aibă dimensiunea Hausdorff-Besicovitch mai mare decât dimensiunea sa topologică tradiţională. Pe scurt, fractalii sunt toate acele ciudăţenii care umplu spaţiul şi pe care matematicienii le abandonaseră ca fiind dezarmant de complexe.
Mandelbrot nota patetic: "deoarece cuvântul algebra derivă din cuvântul arab jabara (a lega împreună), între cuvintele fractal şi algebră este o contradicţie etimologică

6. Geometria fractală
Benoit Mandelbrot şi-a întemeiat geometria fractală bazându-se în principal pe simularea sa încununată de succes a tendinţei preţurilor bunurilor de consum, iar analiza pieţii rămâne una din cele mai atrăgătoare aplicaţii ale geometriei fractale.
Piatra Filosofică a oricărui analist al pieţii este, desigur, să precizeze comportarea preţurilor cu destulă exactitate pentru a se umple de bani cât mai repede. Dacă cineva a pus mâna pe aceasta Piatră, probabil că îşi foloseşte câteva din miliardele sale pentru a-şi apăra secretul.
În domeniul pieţii, ca şi în alte domenii în care fractalii şi haosul dau rezultatele, rareori se dovedesc atât de folositori pentru prezicere, pe cât sunt pentru simulare.

7. Simularea fractală
Simularea fractală poate modela şi prezice natura general statistică a unui sistem, fără să-i prevadă comportarea specifică într-un anumit moment.
De exemplu, simulările din 1953 ale lui Mandelbrot asupra preţului bumbacului continuau sa prezică cu exactitate cantitatea de variaţie din preţul bumbacului, atât lunară cât şi anuală.
Totuşi, ele nici măcar nu pot pretinde cât ne indică preţul bumbacului în 2002.

8. Exemple de fractali
Prin anii 1980, grafica pe calculator a progresat într-atât încât forme ca "Linia de coastă Koch" şi "Covorul lui Sierpinski" puteau fi reprezentate cu detalii explicite.
"Geometria fractală a naturii" era o galerie a acestora şi a altor forme geometrice, dintre care multe nu fuseseră văzute niciodată. Multe dintre ele erau simple automate celulare în care fiecare linie era transformată repetat în linii mai mici.
După ce a lucrat o perioadă cu fractalii "naturali" auto-reflectivi, Mandelbrot a descoperit că procesele iterative similare pot produce construcţii matematice abstracte cum ar fi faimoasa "serie Mandelbrot" şi "seria Julia".
Ca şi alţi fractali, aceste serii au fost descoperite cu mult înainte de Mandelbrot, dar erau atât de complexe încât necesitau calculatoare puternice pentru a le cerceta şi vizualiza.

9. In geometria Euclidiana, se opereaza cu elemente simple: puncte, linii, suprafete si volume.
Un punct nu are dimensiune. Conventional, dimensiunea atasata unui punct (intersectia a doua drepte) este D=0.
Linia are o dimensiune sau altfel spus este definita intr-un spatiu euclidian cu o dimensiune: D=1. Are lungime si se masoara in m, in, yarzi, coti, mile etc. O linie se poate genera prin miscarea de translatie a unui punct.
Suparafata are doua dimensiuni (lungime si latime) sau altfel spus este definita intr-un spatiu euclidian D=2; Are suprafata si se masoara in m2. O suprafata se poate genera in doua moduri: prin Translatia unei drepte sau prin Rotatia unei drepte. In plan (in doua dimensiuni) se definesc cele doua miscari de baza cunoscute Translatia si Rotatia.
Volumul are trei dimensiuni (lungime, latime, inaltime) sau, altfel spus este definit intr-un spatiu euclidian D=3; Se masoara in m3. Un volum se poate genera prin translatia sau rotatia unui plan. (Observatie: In spatiu 3D nu se defineste un nou tip de miscare; orice miscare in spatiu este descriptibila ca o combinatie de roto-translatii (3 Translatii si 3 Rotatii).
In generarea figurilor geometrice clasice, studiate de geometria euclidiana, o curba se genereaza continuu, punct dupa punct. Un cerc este trasat cu ajutorul unui compas – punct dupa punct, dupa o lege unica, respectata pe o rotatie intreaga. O miscare browniana se traseza in ideea unui “Lant Marcov fara legaturi” – pozitia ulterioara nu depinde deloc de istoria anterioara.
Ce putem spune despre curba mai deosebita in care pozitia la un momendat depinde atat de trecut (de istorie) cat si de viitor? O asemenea curba este si curba Van Koch, prototip de gandire pentru un Fractal geometric.

10. a) b) INITIATOR GENERATOR a)Generarea sa implica alegerea unui:
- INITIATOR (dreapta, suprafata, volum), a unei  - LEGI de constructie (de transformare= de deformare, de rupere, de decupare, de alipire etc) GENERATOR si
- un PROCES ce repeta la nesfarsit aceeasi operatie dictata de legea aleasa, asupra fiecarei parti rezultate din operatia initiala. 
Concret, in cazul generarii unei curbe van Koch a) legea impune ca dreapta AB sa fie divizata in trei parti egale, sa fie inlaturata partea centrala si in locul ei sa se aseze un triunghi echilateral fara baza ( astfel, la scara 1/3 obiectul generat are 4 elemente liniare).   Un proces de repetitie recursiva presupune aplicarea legii pe fiecare segment de dreapta rezultat: la o noua divizare a initiatorului in 9 parti (scara = 1/9) si dupa aplicarea legii pe fiecare din cele 4 portiuni liniare, se obtine o noua faza (o noua iteratie) a viitorului fractal ce contine 16 elemente liniare de lungime 1/9. Procesul se repeta la nesfarsit obtinandu-se la limita o curba de lungime infinita, continua dar nederivabila in nici un punct.
Observatie: Curba fractala este o curba ideala ce nu poate fi materializata practic.
Se remarca faptul ca numarul elementelor creste dupa legea N=4n in timp ce scara scade dupa legea s=(1/3)n; n este numarul iteratiei (numarul de repetitie a algoritmului…)
b) O alta forma generata – Sita lui Serpinski. De data asta, initiatorul este un triunghi echilateral de latura unitate. Legea aleasa presupune luarea unui punct la jumatatea fiecarei laturi, unirea acestora si decuparea triunghiului astfel format. Deci, la scara (s=1/2) se obtin 3 triunghiuri pline (N=3). Procesul se continua, astfel ca, la scara (s=1/4) se obtin 9 triunghiuri pline, si asa mai departe…
Se remarca faptul ca sita formata are un numar diferit de pori pentru fiecare nivel (rang, iteratie), iar materialul ramas, sita, are un numar de N=3n elemete de latura s=(1/2)n. b)

11. Unul dintre primii şi cei mai faimoşi fractali matematici a fost inventat de un astronom.
La începutul anilor 1960, Michel Hanon de la Observatorul din Nisa, în Franţa, a observat o comportare tulburătoare într-un simplu model al stelelor care orbitează într-o galaxie.
Câteva dintre orbite erau line şi stabile, în timp ce altele păreau aproape aleatoare. La început, el şi colegii lui au ignorat pur şi simplu orbitele anormale presupunînd că ele apar datorită unor erori de calcul inexplicabile. În cele din urmă, Henon a descoperit că acest tip de comportare haotică era o parte esenţială a dinamicii orbitelor stelare.

12. Fractalii ca o artă
Chiar înainte ca fractalii să fie larg acceptaţi ca matematică adevărată, imaginile pe care ei le produceau au devenit foarte populare.
Matematicienii artişti, cum ar fi Richard Voss, Greg Turk şi Alan Norton au perfecţionat procedurile de bază ale lui Mandelbrot pentru a creea peisaje uimitoare, atât realiste cât şi abstracte. Brusca revenire a matematicii ca artă a fost mult întârziată. Ştiinţa şi matematicile secolelor al XIX-lea şi al XX-lea pierduseră legătura cu vizualul şi intuitivul.
Teoriile moderne, ca relativitatea şi mecanica cuantică, sunt frumoase şi elegante dar trebuie să fii un Albert Einstein sau Erwin Schrodiger pentru a le aprecia frumuseţea. Pe de altă parte, atât nespecialiştii cât şi matematicienii pot aprecia chiar şi cea mai abstractă imagine fractală

13. Fractalii şi ştiinţa
În timp ce fractalii câştigau toate premiile la expoziţiile de grafică pe calculator, aproape toate disciplinele ştiinţifice descopereau frumoasele lor modele haotice.
Fizicienii, trasînd grafic starea particulelor, găseau tulburătoare opere de artă apărînd pe imprimantele lor. Biologii şi psihologii diagnostichează "boli dinamice", care apar când ritmurile fractale devin desincronizate. Seismologii chiar au descoperit valuri fractale care străbat scoarţa terestră.
Meteorologii, economiştii, chimiştii, hidrologii şi aproape toate ramurile inginereşti se întâlneau cu forme care erau mult mai frumoase decat previzibile.

14. Fractalii si stiinta
În anii 1980, fractalii răsăreau din fiecare ecuaţie sau procedură binecunoscută, de la metoda lui Newton până la banala funcţie cosinus.
La începutul anilor 1980, matematicianul Michel Barsley s-a alăturat rândurilor mereu crescînde de "fractalieri". Când era copil, Michel a fost fascinat în mod deosebit de anumite ferigi. Nu a putut stabili exact ce conferea ferigilor frumuseţea lor magică decât mulţi ani mai târziu.
Observând modul în care fiecare frunză se aseamană cu întreagul, el a scris un program simplu pe calculator pentru a modela aceste caracteristici. Imaginea rezultată era mult mai reală decât s-a aşteptat şi a devenit în curând unul dintre cei mai faimoşi fractali in lume

15. Aplicaţii pentru fractali
Prima aplicaţie majoră a muncii lor era comprimarea imaginii. Prin trasformarea lor în fractali, Barnsley era capabil să comprime imagini foarte mari în coduri foarte mici, obţinînd un raport de comprimare de peste zece mii la unu. Comprimarea fractală a imaginii creează noi posibilităţi captivante, cum ar fi transmiterea in timp real a imaginilor video în mişcare prin liniile telefonice normale.
Din anii 1990, fractalii sunt larg folosiţi. Producţii cinematografice importante îi folosesc pentru efecte speciale, sistemele de redare grafică pe calculator îi folosesc pentru a creea structuri naturale, oamenii de ştiinţă şi matematicienii i-au transformat într-o unealtă indispensabilă pentru munca lor. Pe măsură ce potenţialul acestei noi geometrii este recunoscut din ce în ce mai mult şi calculatoarele din ce în ce mai rapide fac interacţiunea mai uşoară, instrumentelele de desenare fractală vor deveni parte a majorităţii sistemelor de grafică pe calculator.

16. Energetica şi fractalii
Fractalii se află peste tot în jurul nostru, luând forma unui lanţ muntos sau se regăsesc în unduirea liniei de ţărm.
Ca şi formaţiunile noroase şi focurile licărind, unii fractali suferă schimbări continue, în timp ce alţii, cum ar fi copacii sau sistemul vascular omenesc, reţin structura pe care au căpătat-o în evoluţia lor.
Conceptul matematic de "fractal" caracterizează obiecte cu o diversă gamă de structură şi care astfel reflectă principiul ierarhic de organizare.
Obiectele fractale nu îşi schimbă forma în mod semnificativ când sunt observate la microscop. În 1980, Mandelbrot a găsit un principiu ce organizează un întreg univers de structuri asemănătoare cu întregul într-o manieră neaşteptată.

17. Generare de structuri geometrice cu caracteristici fractale
se utilizeaza:
tehnica de generare tip initiator/generator/proces recursiv, obtinandu-se curbe ideal autosimilare (curbe utile in studii teoretico-experimentale).
un numar de iteratii (de la 2 la 8), pentru a surprinde de la ce iteratie eroarea estimata este acceptabila in practica.
Exemple Curbe van Koch
Curbe cu generatori complicati
Concluzie
cu dimensiunea fractala D=1,8575

18. Constructia unui obiect fractal:
- se alege un initiator, o figura geometrica simpla,
se construieste o lege de modificare a initiatorului,
se repeta la nesfarsit aceeasi lege de generare.
Exemplu: curba Koch, curba cu lungime infinita, continua dar nederivabila in nici un punct.
i se poate atasa un scalar, determinat prin diferite metode, de exemplu prin metoda dimensiunii capacitive:
Se considera ca obiectul din figura alaturata este o multime marginita în spatiul euclidian de dimensiune d. Se acopera acest obiect cu sfere de dimensiune d cu raze identice 1/ , . Dimensiunea capacitiva Dc este dat de relatia:
Concluzie
Intr-o buna aproximatie, se poate determina o dimensiune fractala din raportul dintre logaritmul numarului de elemente constituente ale obiectului si logaritmul scarii 0. Astfel:

19. Structuri pseudofractale utilizate ca antene pentru sistemele de radioreceptie
Antenele fractale reprezinta sisteme radiante care inglobeaza autosimilaritatea in forma / aspectul lor fizic.
antene multibanda pe frecvente nelegate armonic intre ele
Aplicatii
Antena Fractala
Particularizarea interactiunii materiei structurate fractal cu un camp electromagnetic euclidian
Interactiuni noi in biologie, genetica, cercetari experimentale in domeniul bioenergiei, a morfogenezei.
Constructii de noi aparate, tehnici si tehnologii si determinarea de noi tematici de cercetare
- Aparat de testare a calitatii biscuitilor de a face…”croc”
- Coaja de ou si structura fractala a porilor – o noua directie in stiinta materialelor – proprietati noi ale unor obiecte, dictate de modul de asezare la scara mezoscopica a elementelor constituente
- Proprietati de suprafata (intelegerea interfetei viu-neviu pentru implant, intelegerea mecanismelor de generare a cancerului si elaborarea de metode de diagnoza precoce, materiale biocompatibile, tehnologii de acoperire si protectie prin forma etc.)
- Intelegerea mecanismelor de rupere, difuzie cu aplicabilitate in industria petrolului, a moraritului si cimentului, in pedologie)
- Intelegerea si evaluarea unor procese de propagare in medii neomogee a unor perturbatii (alicatii in sociologie, in economie, in viata organizationala etc.)
Deschide o problematica noua, legata de interactiunea dintre CM si materia structurata fractal

20. Concluzii deschise
Nimeni nu ştie cu siguranţă cum răsar spiralele şi ramurile din seriile Manderlbot şi Julia din simple ecuaţii neliniare şi nici de ce urmăresc ele atât de aproape modelele arhetipale ale naturii. Aceste teme sunt în prim-planul cercetării matematice şi ştiinţifice actuale.
Când o serie de ecuaţii este lăsată în seama propriilor sale iteraţii întortocheate, matematica însăşi pare să găsească plăcere în poezia vizuală naturalistă. Încă din cele mai vechi timpuri, ordinea clară a matematicii a fost într-o poziţie făţişă faţă de haosul care nu ţine cont de nici o regulă a naturii.

21. Iata caracteristicile unui obiect fractal
"va trebui considerata definitia unui fractal in aceeasi maniera in care acceptam definirea vietii. Este imposibila definirea precisa a unei fiinte vii, totusi poate fi alcatuita o lista de proprietati caracteristice" Keneth Falconer - matematician
Iata caracteristicile unui obiect fractal
are o structura fina, adica prezinta detalii la toate scarile,
are o forma prea neregulata pentru a putea fi descrisa in limbajul geometriei euclidiene, la nivel local si global,
este in general autosimilar (statistic autosimilar) sau autoafin -proprietate geometrica ce atesta invarianta la scalare .(nu-si schimba aspectul la modificarea scarii de observatie)
are o dimensiune mai mare decat dimensiunea topologica, dar mai mica decat dimensiunea spatiului euclidian in care este scufundat,
Concluzie

22. Un singur germene

23. box-counting - utilizata in cazul structurilor 2D
Metode de evaluare canitativa, complementare celor statistice utilizabile in studiul formelor cu aspect neregulat (analiza fractala)
box-counting - utilizata in cazul structurilor 2D
Aplicare: se alege o scara de masura de tipul 8= ½, ¼, … se divide corespunzator imaginea analizata (nr de celule rezultat 4, 16, …). Pentru fiecare divizare in parte, se numara celulele în care exista cel putin un element al structurii masurate si se retine rezultatul (N(8)), se repeta operatia pana la rezolutia maxima a imaginii.
Din sirul de masuratori efectuate 8, N(8)) se determina existenta unei legii putere:

24. Studii asupra unui posibil camp morfogenetic
Aplicatii ale Geometriei Fractale in biologie si medicina
Aplicatie practica
Evaluarea structurilor biologice – aplicatii in diagnoza precoce a cancerului
Studii asupra unui posibil camp morfogenetic

25. Aplicatii ale Geometriei Fractale in studiul calitatii suprafetelor
Aplicatie practica
Produs realizat in Parteneriat intre CSC si ASTech Soutions

26. CRITICALITATE AUTOORGANIZATA
- acumularea evenimentelor in structura sistemului va duce la aparitia unei stari critice robuste de la care un eveniment minor poate trece nevazut sau poate conduce la o catastrofa
 Pentru a intelege mai bine proprietatile unui sistem complex, sa va descriu pe scurt modelul numit "sistemul birocratilor nevrotici", prototip de gandire pentru ce vom numi de acum in colo criticalitate autoorganizata. 
 Sa ne imaginam o camera; (zidurile formeaza interfata ce separa sistemul de exterior iar ferestrele constituie Iesirile din sistem). In camera, sunt frumos ordonate un numar de birouri, la care vor lucra "birocratii" nostri. Prin modul de amplasare al birourilor, fiecare are patru vecini: unul in fata altul in spate, unul la dreapta altul la stanga. E ora 7, momentul de initializare al unui "joc" cu consecinte neasteptate. 
 Este bine cunoscut rolul fiecarui functionar, cel de a "rezolva dosare", sarcini distribuite cu regularitate de un Sef, (identificat in acest model cu Intrarea in sistem). Si sa ne imaginam un fel de ploaie de dosare, care "cad" de undeva de sus (de la sefu'), pe masa functionarului, ce tresare la "contactul" cu o prima sarcina. Dar el este un functionar cu state vechi in servici si nu se sperie asa, cu una cu doua. Oricum mai este valabila ideea ca: ce poti face azi, lasa pe maine caci poimaine poate nu mai este nevoie! Asa ca, dosarul ramane pe masa functionarului, care continua sa stea linistit. Dar dosarele cad si cad, si statistic vorbind vine si momentul in care se cumuleaza, doua, apoi trei dosare pe masa unui functionar oarecare. Starea lui de stres creste si se transforma intr-o adevarata criza, atunci cand apare cel de-al patrulea dosar. Este picatura care a umplut paharul! trebuie sa faca ceva. Si ce poate fi mai "normal" intr-o asemenea situatie, cand tot nu mai poate rezolva nimic, pe un asemenea fundal de stres: sa distribuie vecinilor propria sarcina. Caci de ce oare sunt facuti vecinii! Un dosar in fata, unul in spate, unul la stanga, altul la dreapta, si gata! totul este "curat". Functionarul s-a relaxat. Se poate intampla insa ca aceasta mutare sa surprinda un vecin cu trei dosare pe masa, iar acest mic "ajutor" din lateral sa-l aduca si pe el intr-o stare critica. Nici o problema, caci si el stie sa repete procedeul, pasand mai departe "pisica", adica sarcinile, si relaxandu-se in consecinta. Se poate genera astfel, din aproape in aproape, o avalansa de dosare, care, in cele din urma va ajunge la acei functionari "privilegiati" care stau in apropierea ferestrei, si care vor rezolva problema aruncand pe geam "surplusul" corespunzator . Si astfel, se autogenereaza un efect spectaculos pentru cel aflat afara, care vede din cand in cand, dupa un anumit timp fata de ora 7, dupa ce functionarii au devenit cu adevarat nevrotici, la intervale greu de precizat, aglomerari de dosare, avalanse, ("clustere"-termen consacrat aglomerarilor, ingramadirilor). Si aceasta cu toate ca intrarea in sistem, adica ...
Automatele celulare pot fi considerate modele de inceput din clasa algoritmilor ce conduc la procese de auto-organizare, contin Inteligenta Artificiala (calculatorul neuronal) si permit generarea de Viata Artificiala – cele mai multe aplicatii ce au evidentiat dificultatea de a diferentia intre Viu si Neviu, au definit metode si tehnici de evaluare a evolutiei si au permis definirea conceptului de sistem complex.

27. Simularea procesului de AUTOORGANIZARE
Starea critica este robusta
Nici un eveniment nu
poate fi asa de mare incat sa
scoata sistemul din starea critica
Sistemul a acumulat “istorie”
Reproductibilitate minima sau Imposibila
Un eveniment minor poate duce la efecte catastrofale – catastrofa este intrinseca sistemului
Evenimentele se succed dupa o lege putere – abordare prin Geometria fractala, teoria haosului
 Desprindem astfel cel putin trei concluzii importante pe care le putem generaliza tuturor sistemelor complexe:  
1.      Cauze identice, mici ca intensitate pot declansa efecte minore dar si "catastrofe", prin aceleasi mecanisme de functionare; (deci nu trebuie cautate relatii de proportionalitate intre cauza si efect- sau este posibil ca buturuga mica sa rastoarne carul mare).
2.      Efecte majore, de tip catastrofa, pot fi consecinta atat a unor cauze majore externe sistemului, dar si datorate unor cauze minore ce declanseaza prin mecanisme de tip avalanse, reorganizari interne ale sistemului analizat;
3.      catastrofa face parte integranta din functionarea unui asemenea sistem; - un eveniment elementar poate afecta oricat de multe elemente ale sistemului,- un eveniment elementar are efecte de toate marimile, (efecte produse prin reactii in lant), - distributia dupa marime a efectelor declansate de catre un eveniment elementar urmeaza o lege de puteri; 
4.      Sistemele complexe nu ajung niciodata la echilibru, ci evolueaza de la o stare critica la alta. 
 Sa fie oare asta o trasatura generala a viului, care se zbate pentru supravietuire, visand linistea, echilibrul, dar avand parte numai de agitatie, crize, haos? Sa fie oare aceasta framantare un "blestem" sau un "dar divin", o dovada palpabila a transformarii spiritului? Intrebari la care poate unii vor gasi si raspuns
Experiment numeric

28. Eminescu despre … Număr
„O singură mişcare există în univers. Viaţa individului nu este decât o fracţiune a acelei unităţi. Dar dacă într-o serie de necunoscute o fracţiune ne e cunoscută, atunci şi restul de termeni se rezolvă. E evident dar că cel dintâi lucru al omenirii s-a concentrat asupra acestei fracţiuni, că legile înnăscute ale matematicii şi logicii, legile raportului fracţiunii către întreg au fost cele dintâi cercetate cu multă exactitate. Şi fiindcă luând această fracţiune ca unitate s-a ajuns a se confirma prin experienţă tot ce ea calculase apriori – de aceea Pitagora şi egiptenii erau ameţiţi şi atribuiau numărului o putere divină.”

30. 4. ŞIRUL LUI FIBONACCI
Şirul lui Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

31. Botaniştii au arătat că plantele cresc din grupuri mici aflate chiar în vârful lor, numite primordii.

32. Secţiunea divină poate fi văzută la: frunză, floare, floarea soarelui, pană de păun, dungi, culori pe păsări, fluturi de noapte, flori, insecte.

33. De ce natura preferă folosirea acestei proporţii atât de des?
Răspunsul constă în paching adică aranjarea obiectelor într-o formă optimă.
Obiectele pătrate s-ar „împacheta” mai bine într-o formă dreptunghiulară; obiectele rotunde – într-un aranjament hexazecimal.

34. 3. NUMĂRUL DE AUR ŞI OMUL
S-a constatat, de asemenea, că ombilicul, împarte corpul uman în aceeaşi proporţie, cu mici diferenţe, că braţul şi antebraţul respectă proporţia de aur.
În formele de undă ale electrocardiogramelor se poate întâlni acelaşi raport.
De asemenea, în caracteristicile scrisului de mână.

35. 4. NUMĂRUL DE AUR ÎN DIVERSE DOMENII
Fără a elimina rolul întâmplării, studiile arată existenţa raportului de aur în toate domeniile, pornind de la astrofizică şi până la nivel cuantic, de la formele anorganice la cele organice. Cert este că proporţia la care ne referim este întâlnită în geometria orbitelor planetare, în evoluţia cutiei craniene, a mutaţiilor cromozomiale, etc.
S-a observat existenţa unor concordanţe în:
aplicarea legii a doua a lui Kepler
expansiunea unor nebuloase
evaluarea semiaxelor orbitelor planetare
aproximarea masei, a diametrului ecuatorial şi a acceleraţiei gravitaţionale a unor planete şi a sateliţilor acestora
legătura dintre temperatura de fierbere şi de congelare a unor elemente chimice (He–H, N–O)
reacţiile halogenilor
raportul capacităţii craniene la Australopitecus, Homo erectus şi Homo sapiens şi în raportul altor oase ale scheletului
volumul şi ritmul respirator, cardiac sau al undelor alfa
apariţia unor boli cum ar fi cancerul
densitatea populaţiei pe continente
constatări psihologice (puseurile de violenţă socială)
recorduri sportive
domeniul muzicii, etc.

36. Dacă toate acestea sunt coincidenţe considerate ca evenimente în accepţiunea lor fizică sau temporală între care, aparent logic, nu poate fi stabilită vreo relaţie de determinare, sau reprezintă doar dorinţa asiduă a omului de a găsi corelaţii matematice, de a pune sub formă de formulă lumea în care trăim rămâne să hotărască alţii.

37. Numărul de aur (secţiunea de aur) reprezintă, în viziunea multora, o filosofie a naturii, a universului în general. Această proporţie încearcă să găsească o legătură, o unitate în natură, să postuleze, printr-o legitate matematică, o teoremă unică a lumii. Chiar dacă legile fizicii enunţate în ultimii 60 de ani conduc spre idea hazardului total, nu trebuie neglijat efortul tuturor generaţiilor anterioare de a ordona tot ce se întâmplă în jurul nostru sub un număr. În decursul istoriei s-au căutat numeroase proporţii, numere iraţionale sau complexe dar nici unul nu a reuşit să se impună în totalitate.
Unul dintre cei mai importanţi cercetători moderni (care a studiat „numărul de aur”) a fost în deceniile III – IV ale secolului trecut românul Matyla Ghica, nepot al ultimului domnitor al Moldovei.

38. 5. DESCRIEREA MATEMATICĂ A NUMĂRULUI DE AUR
proporţia disjunctă:
proporţia continuă:
proporţia economică:
„Dar nu este posibil ca doi termeni să formeze singuri o compoziţie frumoasă fără un al treilea. Căci trebuie să se afle între ei o legătură care să-i apropie pe amândoi. Ori, dintre toate legăturile, cea mai frumoasă este aceea care îşi dă sieşi şi termenilor pe care îi leagă, unitatea cea mai completă. Şi aceasta este proporţia care o realizează, fireşte în modul cel mai frumos”.
Platon - Timeus
Proporţia apare ca o consonanţă între părţi şi întreg, consonanţă ce conferă ansamblului armonie (stabilitate, funcţionalitate şi fiabilitate ridicată?). Dintre proporţiile analizate de antici, proporţia economică rămâne şi azi în atenţia oamenilor de ştiinţă şi artă, căci determină: Secţiunea şi Numărul de AUR.

39. rezultă Fie a, b  R . Proporţia economică: Notând cu soluţiile:
Numărul de aur:
Proprietăţi:

40. 6. VOLUMUL DE AUR – EXTINDERE ÎN SPAŢIUL TRIDIMENSIONAL A NUMĂRULUI DE AUR
6.1. Limitările anticilor
De ce s-au oprit anticii la o materializare a proporţiei continue doar pentru spaţiul bidimensional?
Obiectele reale sunt tridimensionale şi ar fi poate mai nimerit ca ele să fi constituit o primă sursă de inspiraţie pentru spiritul cercetător.
Există oare şi un număr de aur ataşat spaţiului 3D?
Dacă numărul poate fi utilizat la construcţia unui dreptunghi de excepţie numit dreptunghiul de aur ce are atâtea proprietăţi matematice nebănuite, atunci nu există oare şi un paralelipiped de aur?
Şi, pentru că la facultate se lucrează, din primul an de studiu, într-un spaţiu matematic n-dimensional, atunci nu există în fiecare spaţiu câte un volum de aur descris de un număr de aur specific?
Şi dacă da, atunci care este acea serie de numere de aur?

41. 6.2. Cercetările contemporanilor
Florin Munteanu şi Cristian Ioana
Centrul pentru Studii Complexe Bucureşti
Marile descoperiri în geometrie ale anticilor constituiau chiar blocajul mental al învăţaţilor vremii. Ei considerau că Planul este esenţial (puteau opera cu unelte cunoscute de ei: rigla şi compasul) în timp ce Spaţiul era redus la o simplă dinamică a planului, o simplă extensie de aceeaşi calitate. Paradigma lor şi bunul lor simţ spunea că ceea ce putea fi important pentru spaţiu era de descoperit în esenţa figurilor din plan, aşa că doar planul este important.
Fiecare epocă este limitată de tehnologia de care dispune. De fapt chiar şi marii învăţaţi ai vremii nu ştiau să rezolve probleme de algebră banale azi pentru un elev din clasa a VIII-a. Ei rezolvau problemele prin metode grafice, utilizând pentru aceasta doar rigla şi compasul. Aceste unelte şi metodologia de construcţie geometrică stăpânită cu măiestrie, nu erau suficiente însă pentru a aborda complexitatea ecuaţiilor de gradul 3, specifice formalizării problemelor în spaţiu şi cu atât mai puţin a generalizării conceptelor pentru un spaţiu geometric abstract n-dimenional.

42. O proporţie continuă, definită prin trei numere a, b, c, poate sta la baza construcţiei unui corp în spaţiu (un paralelipiped).
Idea este materializată de Hippocrate în rezolvarea problemei privind dublarea volumului unui cub dat:

44. e) Punctele P1, P11, P14, P16, P20, P22,... sunt denumite puncte-diagonale şi se află pe o spirală logaritmică conţinută în planul Q
f) Distanţele 1-Ag , 11-Ag , 14-Ag etc., formează o progresie geometrică cu raţia 1/ .

45. 7. GENERALIZAREA NUMĂRULUI DE AUR ÎN SPAŢIUL N-DIMENSIONAL
Construcţia unui corp de aur în spaţiul n-dimensional, implică utilizarea proporţiei continue drept relaţie de legătură între laturile succesive ale acestuia. Considerând un paralelipiped de aur n-dimensional, divizarea sa conduce, la limită, la identificarea unui punct de convergenţă Ag. Exprimarea coordonatelor centrului de convergenţă în raport cu baza n-dimensională în care s-a construit corpul, implică utilizarea unui invariant notat:
unde verifică ecuaţia caracteristică:
Pe măsură ce dimensiunea spaţiului de construcţie a structurii de aur creşte, valoarea numărului de aur corespunzător scade de la 1, spre 1.

46. 8. UTILIZĂRI ALE NUMĂRULUI DE AUR
Între dorinţă şi putinţă, între natural şi artificial, între descoperire şi invenţie, între a fi şi a nu mai fi, Omul trebuie să DISCEARNĂ şi SĂ ALEAGĂ. Şi pentru a discerne şi alege în cunoştinţă de cauză, într-o situaţie de o asemenea complexitate, nu are decât o soluţie: „ ... să facă o scurtă pauză în zbuciumul zilnic pentru a redescoperi sensurile profunde ale Naturii, a simţi din nou ritmurile Cosmice pentru ca apoi, să continue să construiască în consonanţă cu acestea.”

47. 8.1. Arhitectură

48. 8.2. Artă

49. Rezultatele privind tratarea neliniară a fenomenelor din natură, constituirea unor discipline de sinteză (precum: Sinergetica, Fizica complexităţii, Teoria catastrofelor), apariţia unor modele matematice mai convenabile pentru descrierea realităţii înconjurătoare (Fractali, Teoria tranziţiei la haos, precum şi a Automatelor celulare şi a Calculatoarelor neuronale), a permis abordarea dintr-o perspectivă nouă a viului şi a raportului acestuia cu natura anorganică, precum şi locul şi rolul omului în acest context.
Dacă până în prezent, omul de ştiinţă s-a „inspirat” în activitatea sa de creaţie din natura vie, încercând să o imite în sens funcţional, se poate spune că în prezent asistăm la tentativa acestuia de a înţelege mai profund şi unitar, viul. Implicaţiile acestui mod de abordare se fac resimţite pornind de la definirea Ştiinţei Cogniţiei şi până la restructurarea tehnologiei în sens fenomenologic (ortotehnologic).
De fiecare dată forma şi numărul au constituit un punct important, justificând parcă afirmaţia lui Bernard Russel: „poate cea mai curioasă tendinţă manifestată în ştiinţa modernă este întoarcerea ei la Pitagorism”.

50. Numărul şi magia pe care a exercitat-o asupra spiritului uman revine în fizica modernă pe multe coordonate, de la constanta universală a haosului descoperită de Feigenbam la seria de numere de aur.
Se pare că omul a fost şocat de diversitatea celor văzute în jur şi a căutat instinctiv ceva constant, ceva stabil. Fizicianul caută şi azi, prin activitatea sa de cercetare, un nou invariant în această lume fluctuantă. Sigur caută cu metode specifice secolului prezent dar în principiu, scopul căutării nu se deosebeşte prea mult de cel al anticilor. Azi se caută într-o lume abstractă, cea a modelelor, caracterizată printr-un spaţiu cu mai multe dimeniuni „umplut” cu „stringuri” şi „străbătut de găuri de vierme”.

51. 10. CONCLUZII
„Legătura care se stabileşte prin unul şi acelaşi raport geometric între segmente sau forme ale unor obiecte sau entităţi organice total diferite ca grad de dezvoltare, de complexitate structurală, de regn, funcţie individuală sau colectivă nu poate fi acceptată în toate cazurile ca fiind întâmplătoare.” (Ioan Ciofu – „Numărul de aur - matrice a evoluţiei?)
„Cunoaşterea umană constă în bună măsură în descoperirea simplităţii în complexitate.” (acad. Solomon Marcus)
„Gândirea, luată în sensul ei cel mai general, pentru a cuprinde arta, filozofia, ştiinţa, luate şi acestea în cea mai generală accepţie a lor, este căutarea invarianţei într-o lume în fluctuaţie." (C. J. Keyser – „Mathematical Philosophy”)

52. 11. CÂTEVA ÎNTREBĂRI
Există o unică proporţie ce stă la baza a tot ce este în natură sau fiecare lucru are „proporţia” sa?
Această proporţie, dacă există, este Numărul de aur despre care am vorbit?
Faptul că trunchiem acest număr raţional la primele lui zecimale are vreo influenţă asupra proprietăţilor „magice” ale valorii?
Are vreo influenţă asupra metabolismului fiinţelor vii sau este doar o chestiune de estetică şi eficacitate acest Număr de aur?
Suferim pentru faptul că nu cunoaştem şi nu suntem în permanenţă înconjuraţi de astfel de proporţii?
Dorinţa noastră de a pune ordine în toate nu este cumva cea care a generat această idee şi se încăpăţânează să o promoveze?