1 第三章 数列

2 3.1 数列的概念 考点 搜索 ●数列的概念 ●数列通项公式的求解方法 ●用函数的观点理解数列 高考 猜想 以递推数列、新情境下的 数列为载体, 重点考查数列的通 项及性质, 是近年来高考的热点, 也是考题难点之所在.

3  一、数列的定义  1. 按① _________ 排成的一列数 叫做数列，其一般形式为 a 1,a 2,…,a n,…, 简记为 {a n }.  2. 数列是一种特殊的函数，其 特殊性表现在它的定义域是正整数集 或正整数集的子集，因此它的图象是 ② _______________.  二、数列的通项公式  一个数列 {a n } 的第 n 项 a n 与项数 n 之间的函数关系，如果可以用一个公 式 a n =f(n) 来表示，我们就把这个公式 叫做这个数列的通项公式. 一定顺序 一群孤立的点

4  三、数列的分类  (1) 按照项数是有限还是无限 来分：有穷数列、无穷数列.  (2) 按照项与项之间的大小关 系来分：递增数列、递减数列、摆 动数列和常数列. 递增数列与递减数 列统称为单调数列.  (3) 按照任何一项的绝对值是 否都不大于某一正数来分：有界数 列、无界数列.

5  四、数列前 n 项和 S n 与 a n 的关系  1.S n = ③ ________________( 用 a n 表示 ) ；  2.a n = ④ ________________( 用 S n 表示 ).  盘点指南：①一定顺序；②一 群孤立的点；③ a 1 +a 2 +a 3 +…+a n ; ④ a 1 +a 2 +a 3 +…+a n

6  1. 已知数列 {a n } 、 {b n } 的通项 公式分别是： a n =a n+2,b n =b n+1 (a,b 是常 数 ) ，且 a>b. 那么两个数列中序号与数 值均相同的项的个数是 ( )  A. 0 个 B. 1 个  C. 2 个 D. 无穷多个  解： a n =b n a n+2 =b n+1 (a- b)n=-1.  由于 a>b ， n ∈ N*.  所以 (a-b)n=-1 无解. 故选 A. A

7  2. 已知数列 {a n } 中， a 1 =1 ， a 2 =3 ， (n≥3) ，则 a 5 等于 ( )  A. B.  C. 4 D. 5  解： a 1 =1 ， a 2 =3 ， (n≥3)  A

8  3. 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n =n 2 -9n ，第 k 项满足 5<a k <8 ，则 k 等于 ( )  A. 9 B. 8  C. 7 D. 6  解：因为数列 {a n } 的前 n 项和 S n =n 2 -9n,  所以，当 n≥2 时， a n =S n -S n-1 =2n-10;  当 n=1 时， a 1 =S 1 =-8, 满足上式，  故 a n =2n-10(n ∈ N*).  5<a k <8 5<2n-10<8 <n<9. 故选 B. B

9  1. 写出下面数列的一个通项公式： 题型 1 根据数列前几项 写出数列的一个通项公式

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12  写出下面数列的一个 通项公式：

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16  2. ( 原创 ) 设数列 {a n } 的前 n 项和 为 S n ，分别在下列条件下求数列 {a n } 的通项公式.  (1)a n +S n =2 ；  (2)a n =S n ·S n-1 (n≥2 ， S n ≠0) ，  解： (1) 当 n=1 时， a 1 +a 1 =2 ，解得 a 1 =1.  当 n≥2 时，由 a n +S n =2 ，得 a n-1 +S n- 1 =2.  此两式相减得 2a n -a n-1 =0 ，即  所以 {a n } 是首项为 1 ，公比为 的 等比数列， 题型 2 运用 a n 与 s n 的关系解题

17  即 a n =( ) n-1.  由于 n=1 时，也符合上式，  所以数列 {a n } 的通项公式是 a n =( ) n-1 (n ∈ N*).  (2) 当 n≥2 时,a n =S n -S n-1, 所以 S n -S n- 1 =S n ·S n-1 ，  所以 =-1(n≥2) ，所以数列 { } 为  等差数列.  所以，  当 n≥2 时， a n =S n -S n-1

18  所以  点评：由数列的前 n 项和 S n 得 a n 的关系  是： 一般分 n=1 与 n≥2  进行讨论，如果 n=1 时的通项公式 也符合 n≥2  的式子，则可以合并成一个通项公 式，如果  不能合并，则按分段形式写结论.

19  设数列 {a n } 的前 n 项 和为 S n ，分别在下列条件下求数列 {a n } 的通项公式.  (1)S n =3 n -2; (2)S n =n 2 +2n.  解： (1) 当 n=1 时， a 1 =S 1 =1;  当 n≥2 时， a n =S n -S n-1 =3 n -2-(3 n-1 - 2)=2·3 n-1.  由于 a 1 =1 不适合上式，因此数 列 {a n } 的通项公式为

20  (2) 当 n=1 时， a 1 =S 1 =3;  当 n≥2 时， a n =S n -S n-1  =n 2 +2n-(n-1) 2 -2(n-1)  =2n+1.  因为 a 1 =3 满足上式，所以数 列 {a n } 的通项公式为 a n =2n+1(n ∈ N*).

21  3. 设数列 {an} 满足 a 1 +3a a 3 +…+3 n-1 a n = ， n ∈ N* ， 求数列 {a n } 的通项公式.  解：依题意得 a 1 +3a a 3 +…+3 n-1 a n =, ①  a 1 +3a a 3 +…+3 n-2 a n-1 = (n≥2) ， ②  由① - ②得 3 n-1 a n = (n≥2).  所以 (n≥2).  验证 n=1 时也满足上式，故数列 {a n } 的通项公式  为 (n ∈ N*). 题型 3 由递推关系式求递推公式

22  点评：数列是特殊的函数， 数列的递推关系式反映的就是函 数的一个对应关系. 如果已知的是 n=k 时的命题，则 n=k-1(k≥2) 时的 命题，或 n=1 时的命题的相应形式 我们应该能准确的写出来，然后 由这些式子经过加减等运算得到 我们所需要的递推关系式或通项 公式.

23  数列 {a n } 满足 a 1 = a 1 +a 2 +  …+a n =n 2 ·a n ，则数列 {a n } 的通项公式 a n =____.  解：设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，则 S n =n 2 ·a n.  所以当 n≥2 时， a n =S n -S n-1 =n 2 a n -(n- 1) 2 a n-1 ，  所以

24  1. 根据数列的前面几项，写 出它的一个通项公式，关键在于找出 这些项 (a 1 ， a 2 ， a 3 ， …) 与项数 (1 ， 2 ， 3 ， …) 之间的关系，常用方法有观察 法、逐项法、转化为特殊数列法等.  2. 利用 S n 与 a n 的关系求通项是 一个重要内容，应注意 S n 与 a n 间关系 的灵活运用，同时要注意 a 1 并不一定 能统一到 a n 中去.

25  3. 已知数列的递推关系式求 数列的通项公式，解此类题型的方 法一般是将已知的递推关系，用代 数法、迭代法、换元法，或转化为 基本数列 ( 等差或等比数列 ) 的方法 求通项公式.  4. 数列中有两个重要变形， 在适当条件下，注意使用：  (1)a n =a 1 +(a 2 -a 1 )+…+(a n -a n- 1 );  (2) (a n ≠0).