1. § 对偶空间
一、对偶空间与对偶基
二、对偶空间的有关结果
三、例题讲析

2. 一、对偶空间与对偶基 1、 对偶空间 定义 设 是数域 上的 维线性空间， 表示 上全体线性函数的集合，在 中定义加法 和数乘运算：
设 是数域 上的 维线性空间， 表示
上全体线性函数的集合，在 中定义加法
和数乘运算：
则　　　 构成数域 上的线性空间，称之为V
的对偶空间，记为

3. 2、 对偶基
设 为数域 上线性空间 的一组基，
作映射
则 ，且
① 对任意 有， 即，

4. ② 线性无关.
证明：设
两端作用 得
线性无关.
③ 中任意线性函数可由 线性表出.
证明： ，对 ，设 则

6. 综合②与③即得
定理2　取定线性空间V的一组基
若V上的n个线性函数　　　　　　满足
则　　　　　 为 的一组基.
称之为 　　 的对偶基.

7. 3、例题讲析
例. 上线性空间 ,任意 个不同实数
根据拉格朗日插值公式，有多项式 则
且　　　　　　　　 　为 的一组基.

8. 这是因为:
① 线性无关.
事实上，若有
用 依次代入上式则得:
线性无关. ②
为基.

9. 设　　　　　　　　　是在　点的取值函数：
则线性函数满足
因此 是 的对偶基.

10. 二、对偶空间的有关结果
1、定理3　设 　与 　 为线性
空间V的两组基，其的对偶基分别为 与 如果
则　　　　　 到 的过渡矩阵为 即，

11. 证明：设V数域P上的一个n维线性空间，
与 是V的两组基，它们的对偶基分别是 即， 再设

12. 其中，
于是有
即 或
所以， 　

13. 2、线性函数空间的同构
定理4　设V为线性空间，　　是V的对偶空间
的对偶空间，即
定义映射
则 为同构映射.　即　

14. 证： 同理
所以 保持加法和数量乘法.

15. 首先： 是1-1对应的， 若
则对 , 即, 又
由 的任意性， 即
故 是单射.

16. 注：
由Th3, 与 同构，而 是 上线性函数空间，
空间，所以 可看成 上线性函数空间, 与 是
互为线性函数空间的.

17. 三、例题讲析
例1.设 是线性空间 的一组基,
是它的对偶基，
试证： 是 的一组基，并求它的对偶基.
（用 表示）

18. 解： 而
非退化.
故 是 的一组基.
它的对偶基

19. 例2.设 是一个线性空间， 是 中的
非零向量. 证明：
存在 使
证： 的核 是 的真子空间，否则 即 从而
与已知矛盾.