1. 4 第四章 矩阵 学时：  18 学时。 教学手段：  讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。 基本内容和教学目的：  基本内容： 矩阵的运算，可逆矩阵，初等矩阵及其性质和意义， 分块矩阵。  教学目的：  1 ．使学生理解和掌握矩阵等价的相关理论  2 ．能熟练地进行矩阵的各种运算 ( 包括求逆，分块等 ) 本章的重点和难点：  掌握矩阵的运算以及它们的运算规律；伴随矩阵的概念及其在矩 阵求逆中的应用；基本关系式的应用；初等方阵的概念，性质和 应用；矩阵的分块及意义。

2. 4 4.2 矩阵的运算

3. 4 一、 矩阵的加法 矩阵加法： 1. 具有相同行、列数的矩阵 ( 即同型矩阵 ) 方可相加； 2. 同型矩阵 A, B 的对应元素相加组成同型矩阵 A ＋ B.

4. 4 例. 由产地 A 1 ， A 2 调运大米和面粉到销地 B 1 ， B 2 ， B 3 的数量（吨）分别如 A ， B 矩阵所示，则调运粮食总 量可以由矩阵如下 A ＋ B 给出. （见下页）

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7. 4 性质 5 max{r(A), r(B)}≤r(A, B)≤r(A) ＋ r(B). 特别： r(A)≤r(A,β)≤r(A) ＋ 1 ， β 为非零列向量. 证明：矩阵 A 的最高阶非零子式总是 (A, B) 的非零子式 → r(A)≤r(A, B). 同理可以推出 r(B)≤r(A, B) → max(r(A), r(B))≤r(A, B). 设 r(A) = r, r(B) = t, 把 A ， B 分别作列变换化成列阶 梯形矩阵 A ， B, 则 A ， B 分别含 r 个和 t 个非零列，可设 A→ A = (α 1,···,α r,0, ···, 0) ； B→ B = (β 1, ···,β t, 0, ···, 0), 即矩阵 (A, B) 经过列变换化成为 ( A ， B ) ，而 ( A ， B ) 中 只含有 r + t 个非零列 → r( A ， B )≤ r + t → r(A, B) = r( A ， B )≤ r + t ，即 r(A,B) ≤ r + t.

8. 4 性质 6 r(A ＋ B)≤r(A) ＋ r(B) 证明： 设 A ， B 均为 s × n 矩阵，且 A = (α 1, α 2, ···, α n ), B = (β 1, β 2, ···, β n ). 对矩阵 (A ＋ B, B) = (α 1 +β 1, α 2 + β 2, ···, α n + β n, β 1, β 2, ···, β n ) 作列变换： ( － 1)×c n+i ＋ c i 上，则将矩阵 (A ＋ B, B) 化 成矩阵 (A, B), 于是据性质 6 ，就有 r(A ＋ B)≤r(A ＋ B, B) = r(A, B)≤r(A) ＋ r(B).  矩阵加法满足结合律，交换律；减法作为加法的逆 运算，不是一个独立的运算；矩阵加 ( 减 ) 法中有关秩的 性质 5 ， 6 是不同于我们以往所学代数运算性质研究的 两个独特的性质，应特别予以重视.

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10. 4 矩阵乘法： 两矩阵 A = (a ik ) ， B = (b kj ) 相乘为 AB = (c ij ) 1.A 的列数 = B 的行数，两矩阵 A ， B 方可相乘； 2. AB 的第 i 行、第 j 列元素 c ij 等于 A 的第 i 行与 B 的 第 j 列对应元素乘积的和.

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15. 4 x · M y 1 y 2 x 2 x 1 θ φ x Y 实例：将直角坐标系 xoy 旋转 θ 度到 x 1 oy 1, 再旋转 φ 度到 x 2 oy 2. 设 M 点在三个坐标系下的坐标依次为 (x,y), (x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ) ，利用平面解析几何的坐标旋转公式有

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25. 4 4.3 矩阵乘积的行列式与秩

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30. 4 4.4 矩阵的逆

31. 4 一 矩阵逆的概念  设 M n (P) = {A|A 是数域 P 上的 n 阶矩阵 } ；  矩阵相仿复数，有加、减、乘运算，是否也可以引 入除法运算？ → 对任意的 A ∈ M n (P) ， AE = EA = A, 而对任意的 x ∈ P, 1x = x1 = x, 即 n 阶单位矩阵 E 与 数 1 起的作用是类似的 → 当 x ≠ 0 时， xx － 1 = 1, 相仿的，可引入以下概念： 定义 7-8 A( ∈ M n (P)) 称为可逆矩阵，若存在 B ∈ M n (P) 使得 AB = BA = E (1) 这时称 B 为 A 的逆矩阵， 记为 A － 1 = B.