תחשיב הפסוקים חלק ד'

תורת ההיסק של תחשיב הפסוקים

דוגמא מערכת (תורה) מורכבת מ: 1. מושגי יסוד, כגון משתנים, אמת, שקר, קשרים הגדרות, כגון נוסחאות בנויות היטב, ערך אמת של נוסחה אקסיומות וכללי היסק 4. משפטים

דוגמא למערכת בשם G מושגי יסוד סימנים: | (קבוע) ו-  (יחס) הגדרות: | הוא שם עצם. אם t הוא שם עצם, אזי | t הוא שם עצם (הגדרה רקורסיבית). אם s ו- t הם שמום עצם, אזי t  s הוא נוסחה. (|||...||| הוא הצגה אונרית של מספר, ו-  משמעותו גדול").

אקסיומות לכללי היסק אקסיומות: (A1) |  || כללי היסק (P1) |A |A (P2)A |A כאשר A היא נוסחה. A |A| A |A

משפט (G1): ||  |||| הוכחה פורמלית: A1 (1) ||  | (2) |||  || P1 (1) (3) ||||  || P2 (2)

הוכחה פורמלית משפט (G2): |||  |||||| הוכחה פורמלית:.... G1 (1) ||||  || (2) |||||  || P2(1) (3) ||||||  ||| P1(2)

הוכחה מתוך הנחות משפט (על מערכת G) ||||||├ |||||  |||||  ||| הוכחה פורמלית: הנחה |||||  ||| (1) (2) ||||  |||||| P1 (1) (3) |||||  |||||| P2 (2)

הוכחה הגדרה: תהי T מערכת, ו- A 1,…A n ו- B נוסחהות של T. סדרת נוסחאות F 1,…,F n של T נקראת הוכחה של B מן,A 1,…A n מסומן,A 1,…A nT Bאם: 1. F i הוא אחד מ- A 1,…A n, או 2. F i הוא אקסיומה של T, או 3. F i מתקבל ממספר F j 'ים, j<i, ע"י כללי היסק של T, ו- 4. קיים i בך ש- F i הוא B (בדרך כלל מניחים ש- i=n) אם n=0, אזי ההוכחה נקראת "הוכחה של B ב- T".

משפט (על מערכת G) ├ | n+t+1  | n הוכחה: אינדוקציה על n ו- t. A1(1) ||  | P1 (1)(2) |||  ||   P1 (n-1)(n) | n+1  | n P2 (n)(n+1) | n+1+1  | n   P1 (n+t-1)(n+t) | n+t+1  | n

תחשיב הפסוקים מושגי יסוד P, Q, R,... משתנים ,  קשרים לוגיים הגדרות נוסחאות בנויות היטב במשתנים פשוטים ובקשרים  ו - .

אקסיומות וכללי היסק אקסיומות (מערכת אקסיומות L) וכללי היסק: A1 A  (B  A) A2 (A  (B  C))  ((A  B)  (A  C)) A3 (  B  A)  ((  B  A)  B) כלל היסק – MP: A, A  B├B A, B ו- C הם נוסחאות בנויות היטב. A BA B A, B

├ P  P דוגמא 'א: 1. (P  ((P  P)  P))  ((P  (P  P))  (P  P)) – A2 A B C A B A C 2. P  ((P  P)  P) – A1 3. (P  (P  P))  (P  P) – MP; 2,1 4. P  (P  P) – A1 5. P  P – MP; 4,3

משפט הנאותות למה: כל האקסיומות של L הן טאוטולוגיה. הוכחה באותה צורה ניתן לבדוק גם את A2 ו- A3. A  (B  A)BABA BA TTFF TFTF TTFT TTTT

משפט הנאותות משפט: כל משפט ב- L הוא טאוטולוגיה (L היא מערכת נאותה). הוכחה: תהי F 1,…,F n הוכחה ב- L. נוכיח באינדוקציה על i כי F i הוא טאוטולוגיה. בסיס: i=1. F 1 הוא אקסיומה, ולכן טאוטולוגיה. צעד האינדוקציה: אם F i הוא אקסיומה, אזי, על פי הלמה, F i הוא טאוטולוגיה. אחרת F i נתקבל מ- F j ו-F k, j,k < i על ידי MP: FjFj FkFk ABAB A B FiFi

על פי הנחת האינדוקציה A ו - A  B הם טאוטולוגיות. לכן (F i =)B הוא טאוטולוגיה. FjFj Fk FiFk Fi FkFk FiFi FjFj FkFk ABAB A B FiFi

משפט השלמות משפט: כל טאוטולוגיה היא משפט ב- L (L היא מערכת שלמה).

תורה בעלת סתירה הגדרה: תורה נקראת בעלת סתירה אם קיימת נוסחה A כך ש- ├ A וגם ├ ~A. הערה: תורה שלמה יכולה להיות בעלת סתירה. למשל התורה שהאקסיומות שלה הן כל הנוסחאות הבנויות היטב. תורה שאינה בעלת סתירה נקראת עיקבית.

תורה בעלת סתירה דוגמא: תהי 'L מערכת שמכילה את L, כלומר כל האקסיומות של L הן גם אקסיומות של 'L, ו- MP הוא כלל ההיסק של 'L. אם 'L היא בעלת סתירה, אזי לכל נוסחה B בנויה היטב מתקיים B ' ├ L (תחת 'L).

הוכחה: על פי ההגדרה קיימת נוסחה בנויה היטב A כך ש- L'├ A וגם L'├ ~A

הוכחה של A  1. A הוכחה של ~A  2. ~A A1 3. ~A  (~B  ~A) MP;2, 3 4. ~B  ~A A1 5. A  (~B  A) MP;1, 5 6. ~B  A A3 7. (~B  ~A)  ((~B  A)  B) MP;4, 7 8. (~B  A)  B MP;6, 89. B

דוגמא: נתבונן במערכת L F כאשר האקסיומות שלה הן: A3, A2, A1 ו- A4 F : F(A 1, …A n ) כאשר A 1, …A n נוסחאות בנויות היטב כלשהן. כלל ההיסק של L F הוא MP. משפט: L F היא עקבית אם ורק אם F(A 1, …A n ) היא טאוטולוגיה. ' ' '

הוכחה:  אם F(A 1, …A n ) היא טאוטולוגיה, אזי לפי משפט השלמות, כל מקרה של A4 F ניתן להוכיח ב-L. לכן לכל הוכחה ב- L F מתאימה הוכחה אם אותה התוצאה ב- L (במקום אקסיומה מ- A4 F מציבים את ההוכחה שלה. משום ש- L היא עקבית (ניתן להוכיח בה רק טאוטולוגיות), L F היא גם כן עקבית. ' '

הוכחה (המשך):  נניח כי F(A 1,…,A n ) איננה טאוטולוגיה, אזי קיימת הצבה A i של (P  P) (T) ו - ~(P  P) (F) עבור,A i, i=1,…,n, כך ש - F(A 1,…,A n )  F. לכן ~F(A 1,…,A n ) היא טאוטולוגיה ועל פי משפט השלמות, ~F(A 1,…,A n ) L F ├. בנוסף לכך, מפני ש- F(A 1,…,A n ) היא אקסיומה של L F, F(A 1,…,A n ) L F ├. F FFFF ' FF ' ' FF FF

משפט הדדוקציה משפט: H 1,…,H m,P├ C אם ורק אם.H 1,…,H m ├ P  C הוכחה: , כלומר אם H 1,…,H m ├ P  C, אז H 1,…,H m,P ├ C. תהי F 1,…,F n סדרת ההוכחה של P  C מתוך {H 1,…,H m }

הוכחת  ( המשך) F1F1 1.  F n ‘‘=’’ (P  C) n. הנחהPn+1. MP;n+1,nCn+2.

 נניח כי H 1,…H m,P ├ C. אנו נוכיח באינדוקציה על מספר נוסחאות n בסדרת ההוכחה של C מקבוצת ההנחות {H 1,…H m,P} כי H 1,…,H m ├ P  C. בסיס: n=1 אזי: C היא P, או C  {H 1,…H m }, או C היא אקסיומה. אם C היא P, אזי על פי הדוגמא ├ P  P. אם C הנחה או אקסיומה, אזי הנחה (אקסיומה)C1. A1 C  (P  C) 2. MP;1,2 PCPC 3.

צעד האינדוקציה: נניח שאם ניתן להוכיח את C מקבוצת הנחות {H 1,…,H m,P} ב- n צעדים. אזי H 1,…,H m ├ P  C. תהי: F 1,F 2,…,F n,F n+1 (‘‘=C’’) הוכחה של C מקבוצת הנחות {H 1,…,H m,P} ב- n+1 צעדים. אם F n+1 =(C) היא P או אחת מן ההנחות, או אקסיומה נמשיך את ההוכחה כמו בבסיס. אחרת, F n+1 =C מתקבלת מ- F i ו - F j i,j  n ע"יMP. כלומר, F j היא F i  C.

על פי הנחת האינדוקציה ניתן להוכיח את P  F i ו- P  (F i  C) מקבוצת הנחות {H 1,…H m }. ע"י שרשור של שתי ההוכחות נקבל:  הנחת האינדוקציה PFiPFi x.  הנחת האינדוקציה P  (F i  C) y. A2 P  (F i  C)  ((P  F i )  (P  C) y+1 MP; y,y+1 (P  F i )  (P  C) y+2 MP; x,y+2 PCPC y+3

דוגמא: הוכח כי A  B, B  C ├ A  C (S) על פי משפט הדדוקציה מספיק להוכיח כי A, A  B, B  C ├ C הוכחה: הנחהA1. הנחה ABAB 2. MP;1,2B3. הנחה B  C 4. MP;3,4C5.

הוכחה מקבילה על פי הוכחת משפט הדדוקציה AAAA 1. A  (A  B) 2. (A  (A  B))  ((A  A)  (A  B)) (A  A)  (A  B) ABAB 3. A  (B  C) 4. (A  (B  C))  ((A  B)  (A  C)) (A  B)  (A  C) ACAC 5.

על פי משפט הדדוקציה מספיק להוכיח כי B, A  (B  C) ├ A  C הוכחה: הנחה A  (B  C) 1. A2 (A  (B  C))  ((A  B)  (A  C)) 2. MP;1,2 (A  B)  (A  C) 3. הנחהB4. A1 B  (A  B) 5. MP;4,5 ABAB 6. MP;3,6 ACAC 7. דוגמא A  (B  C) ├ B  (A  C)

על פי משפט הדדוקציה מספיק להראות כי A, B, A  (B  C) ├ C הנחהA1. הנחהB2. הנחה A  (B  C) 3. MP;1,3 BCBC 4. MP;2,4C5. דוגמא B, A  (B  C) ├ A  C

למה: (a) ├ ~~B  B (b) ├ B  ~~B (c) ├ ~A  (A  B) (d) ├ (~B  ~A )  (A  B) (e) ├ (A  B)  (~B  ~A ) (f) ├ A  (~B  ~(A  B)) (g) ├ (A  B)  ((~A  B)  B)

הוכחה (a) A3 (~B  ~~B)  (~B  ~B)  B 1. דוגמא ~B  ~B 2. 1,2;דוגמא (~B  ~~B)  B 3. A1 ~~B  (~B  ~~B) 4. 4,3;דוגמא ~~B  B 5.

הוכחה )המשך( (b) A3 (~~~B  ~B)  ((~~~B  B)  ~~B 1. (a) ~~~B  ~B 2. MP;1,2 (~~~B  B)  ~~B 3. A1 B  (~~~B  B) 4. 4,3;דוגמא B  ~~B 5.

הוכחה )המשך( (c) על פי משפט הדדוקציה מספיק להוכיח כי A,~A ├ B זאת הוכחנו כשעסקנו בתורות בעלות סתירה.

הוכחה (המשך) (d) על פי משפט הדדוקציה מספיק להוכיח כי ~B  ~A ├ A  B הנחה ~B  ~A 1. A3 (~B  ~A)  ((~B  A)  B) 2. MP;1,2 (~B  A)  B 3. A1 A  (~B  A) 4. 3,4;דוגמא ABAB 5.

הוכחה - המשך (e) על פי משפט הדדוקציה מספיק להוכיח כי A  B ├ ~B  ~A הנחה ABAB 1. (a) ~~A  A 2. 1,2;דוגמא ~~A  B 3. (b) B  ~~B 4. 3,4;דוגמא ~~A  ~~B 5. (d) (~~A  ~~B)  (~B  ~A) 6. MP;5,6 (~B  ~A) 7.

הוכחה - המשך (f) טענת עזר : ├ A  ((A  B)  B) הוכחה: על פי משפט הדדוקציה מספיק להוכיח כי A, A  B ├ B הנחהA1. הנחה ABAB 2. MP;1,2B3.

הוכחה - המשך הוכחת (f): טענת עזר A  ((A  B)  B) 1. (e) ((A  B)  B)  (~B  ~(A  B)) 2. 1,2;דוגמא A  (~B  ~(A  B)) 3.

הוכחה - המשך (g) על פי משפט הדדוקציה מספיק להוכיח כי A  B, ~A  B ├ B הנחה ABAB 1. הנחה ~A  B 2. (e) (A  B)  (~B  ~A) 3. MP;3,1 (~B  ~A) 4. (e) (~A  B)  (~B  ~~A) 5. MP;2,5 ~B  ~~A 6. A3 (~B  ~~A)  ((~B  ~A)  B) 7. MP;6,7 (~B  ~A)  B 8. MP;4,8B9.