1 Finite Continued Fractions 田錦燕 94/11/03 95/8/9( 最後更新 )

2 Outline  定義  計算方法  性質  與 Fibonacci 數列關係  求解一次不定方程式

3 A finite simple continued faction 簡寫為 [a 0 ;a 1,a 2,…,a n ] Every finite simple continued fraction represents a rational number. Every rational number can be expressed by a finite simple continued fraction.

4 分數 → 連分數 =>

5 連分數 → 分數

6 Two possible representations

7 Ex: 173/55=[3;6,1,7] p 0 =3 q 0 =1 => C 0 =p 0 /q 0 =3/1=3 p 1 =3*6+1=19 q 1 =6 C 1 =p 1 /q 1 =19/6 p 2 =1*19+3=22 q 2 =1*6+1=7 C 2 =p 2 /q 2 =22/7 p 3 =7*22+19=173 q 3 =7*7+6=55 C 3 =p 3 /q 3 =173/55 kth convergent Define: p 0 =a 0 q 0 =1 p 1 =a 0 a 1 +1 q 1 =a 1 p k =a k p k-1 +p k-2 q k =a k q k-1 +q k-2,k>=2 Then the kth convergent is C k =p k /q k ( 第 k 個漸近分數 )

8 Pseudoconvergent(1) α=[a 0 ;a 1,a 2,…], p k /q k is kth convergent of α Pseudoconvergents of α is ： p k,t /q k,t =(t ． p k-1 +p k-2 ) / (t ． q k-1 +q k-2 ) ( 其中 k 為正整數且 k ≧ 2, and 0 < t < a k ) =>[a 0 ;a 1,a 2,…,a k-1,t] =>[a 0 ;a 1,a 2,…,a k-1, a k -d] 若 | α- r/s | ≦ | α - p k,t / q k,t | ( r,s 為整數,s>0 ) 則 s >q k,t 或 r/s =p k-1 /q k-1

9 Pseudoconvergent(2)

10 連分數性質 (1) p k q k-1 - p k-1 q k =(-1) k-1 p k 與 q k 互質, If a0 > 0,then p k /p k-1 =[a k ;a k-1,…,a 1,a 0 ] q k /q k-1 =[a k ;a k-1,…,a 2,a 1 ]

11 連分數性質 (2) C 1 >C 3 >C 5…. C 0 <C 2 <C 4….. C 2j-1 >C 2j+2k-1 >C 2j+2k >C 2k

12 連分數性質 (3) 若有一有理數 p/q 適合, 則 p/q 必為 x 之一 convergent 若 p>0,q>0, 且 |p 2 -x 2 q 2 |<x, 則 p/q 必為 x 之一 convergent 範例：, 試算 及 是否為 x 之 convergent 成立 不成立

13 連分數性質 (4) if a/b=[a 0 ;a 1,a 2,…a n ] > 1,then b/a=[0;a 0,a1,a2,…a n ] if a/b < 1,then a 0= 0 and b/a=[a 0 ;a1,a2,…a n ]

14 與 Fibonacci 數列關係 由公式 p k =a k p k-1 +p k-2, q k =a k q k-1 +q k-2, 若 a 0 =0 之外, 其它 a k 都等於 1 時, 得 p k, q k 數列如下 : {p k }=0,1,1,2,3,5,8,13,21, … {q k }=1,1,2,3,5,8,13,21,…

15 求解 [ １ ; １, １, ．．．, １ ] 若所有 a k 均等於 1 時, 可得 p k, q k 數列如下 : {p k }= 0,1,1,2,3,5,8,13,21, … {q k }=1,1,2,3,5,8,13,21,… 所以 [1;1] ＝ C 2 =2 [1;1,1] ＝ C 3 =3/2 [1;1,1,1]=C 4 =5/3 …..

16 求解一次不定方程式 ax+by=c 假設 令 與 為最後兩個 漸近值, 則其中 因兩者俱為最簡分數, 故 p n =a ， q n =b ，再由公式 （為方便計, 可取正號）, 代入方程式 ax+by=c=c(aq n-1 -bp n-1 ), 並展開、移項、化簡, 得 因而解得

17 ex: 求解 11x+7y=3 11/7=[1;1,1,3] p n-1 =p 2 =a 2 p 1 +p 0 =1*2+1=3 q n-1 =q 2 =a 2 q 1 +q 0 =1*1+1=2 得 求解一次不定方程式範例