סמינר במדעי המחשב 3 עודד פרץ משפט הנורמליזציה החזקה

הגדרה Page 2  ביטוי נקרא מטופס אם ורק אם קיימים ו - כך ש -

משפט מחלקת הביטויים ה - מטופסים סגורה תחת הפעולות הבאות : 1.תת ביטוי 2.פישוט 3.הרחבת שאינה מכפילה ואינה מבטלת 4.הפשטת - Page 3

הוכחה : 1.עפ"י משפט בניית הנושא 2.עפ"י משפט פישוט הנושא - אם וגם אזי 3.עפ"י משפט הרחבת הנושא - אם וגם ע"י פישוט שאינו מכפיל ואינו מבטל אזי 4.נסיק זאת ישירות מהכלל Page 4

הגדרה - טיפוסים  נגדיר את הטיפוסים באינדוקציה : -בסיס : משתני הטיפוס האטומיים -סגור : יהיו ו - טיפוסים, אזי : - הוא טיפוס Page 5

הגדרה - זוג סדור יהיו ו - ביטויים, אזי גם הוא ביטוי הפשט מחזיר את האיבר השמאלי בזוג הסדור הפשט מחזיר את האיבר הימני בזוג הסדור Page 6

הגדרה - ביטויים  נגדיר את הביטויים באינדוקציה : -בסיס : משתני ביטוי. -סגור : -יהיו ו- ביטויים מהטיפוסים ו- בהתאמה, אזי הוא ביטוי מטיפוס -יהא ביטוי מהטיפוס,אזי ו- הם ביטויים מהטיפוסים ו- בהתאמה -יהיו ביטוי מהטיפוס ו- משתנה מהטיפוס אזי הוא ביטוי מהטיפוס -יהיו ו- ביטויים מהטיפוסים ו- בהתאמה, אזי הוא ביטוי מהטיפוס Page 7

הגדרות - דרגה  דרגה של טיפוס, מוגדרת ע"י : -אם הוא משתנה טיפוס אטומי, אזי -אחרת  דרגה של פשט, מוגדרת ע"י : - כאשר הוא ביטוי מהטיפוס Page 8

הגדרות - דרגה  דרגה של ביטוי, מוגדרת ע"י : הסופרמום של דרגות הפשטים המוכלים בביטוי, כאשר הדרגה של ביטוי מנורמל היא אפס, שכן הוא אינו מכיל פשטים Page 9

למה אם מטיפוס אזי : Page 10

הוכחת למה נסתכל על הביטוי, הוא מכיל : -פשטים של, מהם נקבל את הדרגה -ייתכן כי נוצרו גם פשטים חדשים (בעלי אותה דרגה כשל ) לכן עפ"י הגדרת הדרגה עבור ביטוי נקבל כי הדרגה של קטנה/שווה מהמקסימלית מבין שלושת הדרגות לעיל Page 11

למה יהיו ביטויים אם אזי Page 12

הוכחת למה בהוכחת הלמה נבחן מהלך החלפה יחיד, כלומר נחליף את ב - בביטוי ונקבל את הביטוי נסתכל על הביטוי, הוא מכיל : -פשטים של שאינם נמצאים ב - (לא משפיע על הדרגה) -פשטים של, כאשר מתקבל מהפשטה או החלפה ב - הוא בעצם ומלמה נקבל כי אם הוא מטיפוס אזי ומאחר ואנו יודעים כי נקבל -פשטים שמתקבלים מהחלפת ב - בדומה לסעיף הקודם עפ"י למה לפשטים אלו דרגה זהה לזו של הטיפוס של, נסמנו ב - אך אנו יודעים כי Page 13

למה יהא פשט בעל דרגה מקסימלית בביטוי נניח כי כל הפשטים המוכלים ב - הם בעלי דרגה קטנה מ - אם מתקבל מ - ע"י החלפת ב -, אזי הוא בעל פחות פשטים מדרגה Page 14

הוכחת למה נסתכל על הביטוי לאחר ההחלפה נמצא כי : -הפשטים מחוץ ל - נשארים כפי שהיו -הפשטים בתוך נשמרים ואף לעיתים מתרבים -הפשט מוסר וייתכן שהוא מוחלף במספר פשטים מדרגה נמוכה יותר. לכן מספר הפשטים בעלי דרגה בביטוי קטן ממספר הפשטים בעלי דרגה זו בביטוי Page 15

משפט הנורמליזציה החלשה לכל ביטוי מטופס קיימת צורה נורמלית כלומר, לכל ביטוי מטופס קיים פישוט לצורה הנורמלית במספר סופי של צעדים Page 16

הוכחת משפט הנורמליזציה החלשה יהא ביטוי, נסמן כאשר : מספר הפשטים מדרגה עפ"י למה ניתן לבחור פשט בביטוי כך שלאחר החלפת ל- התוצאה מקיימת, כלומר אם נסמן נקבל : או Page 17

המשך ההוכחה כעת אם נבחן את סדרת הזוגות הסדורים לקסיקוגרפית ניווכח בקלות (ניתן להוכיח זאת באינדוקציה על ו- ) כי קיים מספר סופי של החלפות שבסופן נקבל ביטוי שדרגתו אפס, כלומר ביטוי נורמלי (עפ"י הגדרת הדרגה) Page 18

הגדרה - רדוקטיביות נגדיר את קבוצת הביטויים הרדוקטיביים של הטיפוס - באינדוקציה על הטיפוס : בסיס : אם הוא מטיפוס אטומי אזי הוא רדוקטיבי אם הוא ניתן לנירמול חזק סגור : -אם הוא מטיפוס אזי הוא רדוקטיבי אם ורק אם וגם רדוקטיביים -אם הוא מטיפוס אזי הוא רדוקטיבי אם ורק אם לכל ביטוי רדוקטיבי מטיפוס, גם הוא ביטוי רדוקטיבי מהטיפוס Page 19

הגדרה - ניטרליות ביטוי נקרא ניטרלי אם הוא אינו מהצורה או הגדרה שקולה : ביטוי נקרא ניטרלי אם הוא מהצורה : Page 20

הגדרה יהא ביטוי נסמן ב - את החסם העליון על מספר הצעדים של כל רצף נרמול המתחיל ב - Page 21

מאפייני רידוקטיביות נציג שלושה קריטריונים בהם נשתמש בהוכחה : 1.אם, אזי ניתן לנירמול חזק 2.אם וגם, אזי 3.אם הוא ניטרלי ומכל פישוט של אנו מקבלים, אזי נוכיח את נכונות הקריטריונים באינדוקציה על מבנה הטיפוס. Page 22

הוכחת הקריטריונים  טיפוסים אטומיים ביטוי מטיפוס אטומי הוא רדוקטיבי אם ורק אם הוא ניתן לנירמול חזק לכן מספיק להראות שקבוצת הביטויים הניתנים לנירמול חזק מטיפוס מספקת את שלושת הקריטריונים : 1.זוהי טאוטולוגיה 2.אם ניתן לנירמול חזק אז כל ביטוי שהוא פישוט של גם כן ניתן לנירמול חזק. 3.נשים לב שלכל פישוט של נהיה חייבים לעבור דרך כלשהו שניתן לנירמול חזק ולכן גם ניתן לנירמול חזק Page 23

הוכחת הקריטריונים  טיפוסי מכפלה נניח כי ביטויים מהטיפוסים מקיימים את שלושת הקריטריונים 1.יהא ביטוי רדוקטיבי מטיפוס הוא ביטוי רדוקטיבי ועפ"י הנחת האינדוקציה ניתן לנירמול חזק כמו כן ניתן לראות כי ולכן סופי, כלומר ניתן לנירמול חזק 2.יהא ביטוי רדוקטיבי מטיפוס אם אזי וגם מאחר ו - רדוקטיבי גם רדוקטיביים ולכן עפ"י הנחת האינדוקציה גם הם רדוקטיביים לכן רדוקטיבי Page 24

הוכחת הקריטריונים 3.יהא ביטוי נטרלי ונניח כי כל המתקבל בצעד פישוט יחיד מ - הוא רדוקטיבי מפישוט של נקבל שכן אינו זוג סדור וכמו כן הביטוי הוא רדוקטיבי מאחר ו - הוא רדוקטיבי לכן, עפ"י הנחת האינדוקציה מאחר ו - נטרלי וכל ביטוי שמתקבל בצעד פישוט יחיד ממנו רדוקטיבי נקבל כי רדוקטיבי באופן דומה ניתן להראות כי רדוקטיבי ולכן רדוקטיבי Page 25

הוכחת הקריטריונים  טיפוסי גרירה נניח כי ביטויים מהטיפוסים מקיימים את שלושת הקריטריונים 1.יהא ביטוי רדוקטיבי מטיפוס ויהא משתנה ביטוי מטיפוס, עפ"י הנחת האינדוקציה עבור קריטריון 3 מאחר ו - הוא נטרלי ונורמלי הוא רדוקטיבי מכך נובע כי רדוקטיבי ולכן עפ"י הנחת האינדוקציה ניתן לנירמול חזק, כלומר סופי מאחר ו - נקבל כי סופי גם כן ולכן ניתן לנירמול חזק Page 26

הוכחת הקריטריונים 2.יהיו ביטוי רדוקטיבי מטיפוס ו - ביטוי רדוקטיבי מטיפוס כאשר, לכן עפ"י הנחת האינדוקציה עבור ביטויים מהטיפוס נקבל כי רדוקטיבי ולכן רדוקטיבי 3.יהיו ביטוי נטרלי ו - ביטוי רדוקטיבי מטיפוס ונניח כי כל המתקבל בצעד פישוט יחיד מ - הוא רדוקטיבי עפ"י הנחת האינדוקציה עבור קריטריון 1 נקבל כי ניתן לנירמול חזק, כעת נסתכל על צעד פישוט יחיד של הביטוי  נקבל כאשר מתקבל לאחר צעד פישוט יחיד של ומאחר ו - רדוקטיבי גם רדוקטיבי  נקבל כאשר מתקבל לאחר צעד פישוט יחיד של והוא רדוקטיבי עפ"י קריטריון 2, לכן עפ"י הנחת האינדוקציה רדוקטיבי Page 27

הוכחת הקריטריונים בשני המקרים האפשריים אנו מקבלים כי הביטוי הנטרלי הופך לביטויים רדוקטיביים בלבד ולכן עפ"י הנחת האינדוקציה עבור הטיפוס נקבל כי הוא רדוקטיבי ולכן הוא רדוקטיבי Page 28

למה אם ו- הם ביטויים רדוקטיביים אזי גם הוא ביטוי רדוקטיבי. Page 29

הוכחת למה עפ"י קריטריון מספר 1 ניתן להוכיח באינדוקציה על שהביטוי רדוקטיבי הביטוי יכול להיות מוחלף באחד מהביטויים : - שהוא ביטוי רדוקטיבי על פי ההנחה. - כאשר מוחלף ל - בצעד אחד, הוא ביטוי רדוקטיבי עפ"י קריטריון מספר 2 ואנו מקבלים כי, לכן עפ"י הנחת האינדוקציה רדוקטיבי - כאשר מוחלף ל - בצעד אחד - בדומה לסעיף הקודם Page 30

המשך ההוכחה בכל אחד מהמקרים הביטוי הניטרלי הופך לביטוי רדוקטיבי ולכן עפ"י קריטריון מספר 3 גם הוא רדוקטיבי ניתן להוכיח באופן דומה עבור ולכן הוא ביטוי רדוקטיבי Page 31

למה אם לכל ביטוי רדוקטיבי מטיפוס, הוא רדוקטיבי אזי גם הוא ביטוי רדוקטיבי Page 32

הוכחת למה אנו בעצם רוצים להוכיח שלכל ביטוי רדוקטיבי מתקיים שהביטוי גם הוא רדוקטיבי גם כאן נוכיח זאת באינדוקציה על הביטוי יכול להיות מוחלף באחד מהביטויים : - שהוא ביטוי רדוקטיבי עפ"י ההנחה - כאשר מוחלף ל - בצעד אחד, הוא ביטוי רדוקטיבי עפ"י קריטריון מספר 2 ואנו מקבלים כי, לכן עפ"י הנחת האינדוקציה רדוקטיבי - כאשר מוחלף ל - בצעד אחד - בדומה לסעיף הקודם Page 33

המשך ההוכחה בכל אחד מהמקרים הביטוי הניטרלי הופך לביטוי רדוקטיבי ולכן עפ"י קריטריון מספר 3 גם הוא רדוקטיבי לכן הוא ביטוי רדוקטיבי Page 34

משפט כל הביטויים ה מטופסים הם רדוקטיביים Page 35

הוכחת משפט יהא ביטוי כך שהמשתנים החופשיים שלו הם מהטיפוסים בהתאמה ויהיו ביטויים רדוקטיביים מהטיפוסים בהתאמה נוכיח באינדוקציה על ש - גם כן רדוקטיבי : - הוא - טאוטולוגיה - הוא - עפ"י הנחת האינדוקציה הוא רדוקטיבי, לכן גם הוא רדוקטיבי - הוא - בדומה לסעיף הקודם Page 36

המשך הוכחת משפט Page 37 - הוא, עפ"י הנחת האינדוקציה וגם הם רדוקטיביים אזי עפ"י למה גם הוא רדוקטיבי - הוא, עפ"י הנחת האינדוקציה וגם הם רדוקטיביים אזי עפ"י הגדרה גם הוא רדוקטיבי - הוא מטיפוס, עפ"י הנחת האינדוקציה הוא רדוקטיבי לכל ביטוי מטיפוס עפ"י למה הוא גם רדוקטיבי

משפט הנורמליזציה החזקה לכל ביטוי מטופס לא קיים רצף פישוטים אינסופי המתחיל ב - Page 38

הוכחת משפט הנורמליזציה החזקה עפ"י משפט כל ביטוי מטופס הוא רדוקטיבי עפ"י קריטריון מספר 1 כל ביטוי רדוקטיבי הוא נורמלי חזק לכן נקבל כי כל ביטוי מטופס הוא נורמלי חזק Page 39

משפט קיים אלגוריתם שעבור כל זוג ביטויים מטופסים ו- מכריע האם או Page 40

הוכחה נפשט את ו- לצורה הנורמלית המתאימה שעפ"י משפט הנורמליזציה החלשה בהכרח קיימת וניתנת להשגה ע"י פישוטים שמאליים ביותר לאחר הפישוט נשווה בין הביטויים הנורמלים שהתקבלו  הערה : האלגוריתם הנ"ל אמנם מכריע את הבעיה אך סיבוכיותו גדולה מאקספוננציאלית Page 41

משפט לכל ביטוי יש טיפוס Page 42

סיכום ניתן להתייחס לנורמליזציה החלשה והחזקה כתכונות בטיחות של תיאוריית הטיפוסים שלנו, שכן אם נסתכל על פישוטים כעל פעולות חישוב : משפט הנורמליזציה החלשה יבטיח לנו שקיים חישוב שתמיד יכול להגיע לתוצאה משפט הנורמליזציה החזקה יבטיח לנו שכל החישובים סופיים Page 43

Page 44 תודה רבה