אינטרפולציה רועי יצחק

נושאים אינטרפולציה על ידי לגרנז אינטרפולציה על ידי ניוטון אינטרפולציה Hermite Cubic Spline

מהות הבעיה – מציאת פונקציה פשוטה ככל האפשר המייצגת בדייקנות מירבית התנהגות של פונקציה כלשהי f.כלומר נתונות נקודות בסיס ,צריך לבנות פונקציה כך ש – . הגדרה- אינטרפולציה באמצעות פונקציות בסיס שהן פולינומים ממעלות מאפס עד N נקראת אינטרפולציה פולינומית. התוצאה שהיא פולינום ממעלה N (חלק ממקדמים ראשיים יכולים להתאפס ואז בפועל המעלה תהיה נמוכה יותר) נקראת פולינום אינטרפולציה. משפט- קיים לכל היותר פולינום אחד ממעלה קטנה מ-n או שווה לו, העובר דרך n+1 נקודות בסיס .

פיתרון אפשרי עלינו לקיים מערכת משוואות נתונה על ידי פונקציות בסיס , בתנאי שמהערכת אינה תלויה ליניארית למערכת הזאת קיים פתרון יחיד אם”ם פונקציות הבסיס בלתי תלויות לינארית במצב כזה דטרמיננטה של המטריצה שונה מאפס.

מקרה קלאסי פונקציות הבסיס הכי פשוטות הינן פולינומים עד מעלה n נבחר פולינום אינטרפולציה ממעלה n העובר דרך n+1 נקודות: נתייחס אל המקדמים כאל נעלמים וע"י הצבת הנקודות הנתונות נקבל מערכת של n+1 משוואות בנעלמים אילו. מטריצת ונדרמונדה

דוגמא מצא את הפולינום ממעלה שנייה העובר בנק' (0,0) (1,1) (2,4)

שיטת לגרנג' ניתן לבטא את פולינום האינטרפולציה (שהוא, כזכור, יחיד) באופן הבא: נשמע מסובך אבל בפועל זה פשוט :

שיטת ניוטון -הפרשים מחולקים שיטת ניוטון -הפרשים מחולקים רושמים את הפולינום בצורה: ובדוגמא הקודמת הפולינום המתקבל

Example 1 Find the Newton polynomial which passes through (1,5),(2,7),(4,11)(6,15)

Cubic spline השימוש בspline הוא מציאת סט של פולינומים המקרב את הפונקציה בנקודות הדגימה. כך שבין כל 2 נקודות נוצר פולינום ממעלה שלישית והפולינום חייב להיות בעל 2 נגזרות רציפות ניתן לייצר spline מסדר ראשון או שני אנחנו נתמקד בספליין מסדר שלישי המתקבל על ידי ערכי הנגזרות השניות בנק' הדגימה. במרבית מן המקרים לא ידוע ערך הנגזרות וצריך למצוא את הפיתרון של ערך הנגזרות השניות על ידי מטריצה בעלת n+1 משתנים וn-1 משוואות מה שיוצר פיתרון אין סופי על מנת למצוא פיתרון יחיד נגדיר את ה natural cubic spline אשר בו ערך הנגזרות השניות בקצוות שווה ל0

נוסחאות

משוואות אורך כל אינטרוול בין נקודות דגימה מערכת הנגזרות השניות (a-ים) ב natural cubic spline משוואות האינטרפולציה:

דוגמא: מצא את ה natural cubic spline למערכת הבאה ניתן לראות שאורך כל ה h–ים שווה לאחד כמו כן a0 ו a4 שווים ל 0 ,לכן קודם כל נמצא את שאר ה a-ים.

וכל מה שנשאר לעשות זה להציב במשווואות הspline

דוגמא נוספת א.משוואות הspline

ב.אם הנקודות נמצאות על ישר אחד אזי לפי נוסחת הישר במקרה כזה המקדמים הכי גבוהים במשוואות הם:

כפי שניתן לראות אין נקודה בקטע [-h,0] שהנגזרת תתאפס כי נוכל לדרוש או שאלפא תהיה שווה ל0 או שביתא תהיה שווה לאפס ובתנאים כאלה הפונקציה תהיה מונוטונית עולה או מונוטונית יורדת.נניח שביטא גדולה מאלפא אזי הפונקציה יורדת בקטע [-h,0] וערך ההפרש מקסימלי