SEMEJANZA.

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS. Una TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA PLANA es aquella que a cada punto del plano le hace corresponder un único punto del mismo y viceversa. Los puntos así relacionados se llaman HOMÓLOGOS, y la misma denominación reciben las figuras, lados, ángulos, etcétera. Transformación geométrica Nazarí de la Alambras

EJEMPLO DE TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS. Ejemplo.- Si consideramos: C el círculo de centro el punto A(0,0) y de radio 1. C’ el círculo de radio el punto B(1,1) y de radio 1. Entonces C y C’ son círculos HOMÓLOGOS, pues cualquier punto del círculo C’ se obtiene desplazando un punto de C, según el vector (1,1)

ISOMETRÍAS Y SEMEJANZAS. Una TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA PLANA de una FIGURA, que conserve la forma y dimensiones, se denomina ISOMETRÍA o MOVIMIENTO, mientras que si solo conserva las formas, y no necesariamente las dimensiones, se denomina SEMEJANZA. SEMEJANZA FIGURA Ejemplo:. ISOMETRÍA

SEMEJANZA Ejemplo:. FIGURA FIGURAS SEMEJANTES. Dos figuras son SEMEJANTES cuando son iguales o solo difieren de su tamaño. En tal caso la distancia entre dos puntos de la figura inicial y la distancia entre sus dos puntos homólogos es proporcional, es decir que dicha distancia se obtiene multiplicando dicha longitud por un número fijo, denominado RAZÓN DE SEMEJANZA. SEMEJANZA Ejemplo:. Razón de semejanza = 2 FIGURA Q’ Q P’ P d(P,Q) = L d(P’,Q’) = 2. L

ESCALAS DE MAPAS Y PLANOS Se llama ESCALA a la razón de semejanza que existe entre la representación gráfica de un objeto cualquiera y la dimensión real del mismo. Usamos ESCALAS de AMPLIACIÓN para representar objetos pequeños. Usamos ESCALAS de REDUCCIÓN para representar objetos grandes.

SEMEJANZA COMO COMPOSICIÓN DE ISOMETRÍAS. Cualquier SEMEJANZA PLANA es composición de movimientos y semejanzas básicas: translaciones, giros, simetrías puntuales y simetría axiales y homotecias.

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS SEGMENTO DE PUNTOS A y B = [A,B] A B LONGITUD DEL SEGMENTO [A,B] d(A,B) También se utiliza la siguiente notación: d(A,B) = AB ó d(A,B) = a PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS [A;B] y [C,D] son PROPORCIONALES a [E,F] Y [G,H], si se cumple Ejemplo:

Actividad 1 La razón entre dos segmentos es 3/5. Si el segmento mayor mide 10 cm., ¿Cuánto mide el segmento menor?

TEOREMA DE TALES [0,B] [0,A] B A [0,A’] A’ [0,B’] B’ Si r y r’ son dos rectas secantes en el punto O Si trazamos dos nuevas rectas paralelas que cortan a r y r’ en los puntos A, B y A’, B’ respèctivamente B A B’ A’ [0,B] [0,A] [0,B’] [0,A’] Entonces, los segmentos [O,A] y [O,B] son PROPORCIONALES a los segmentos [O,A’] y [O,B’]

Actividad 2 Halla la longitud x, e y de los segmentos desconocidos de la figura siguiente: 1 cm 2 cm 4 cm y cm 3 cm x cm

FIGURAS PLANAS SEMEJANTES Dos figuras planas son SEMEJANTES si están relacionadas de manera que una es una reducción o ampliación de la otra. POLÍGONOS SEMEJANTES Dos POLÍGONOS de n lados son SEMEJANTES si tiene los mismos ángulos y los lados son proporcionales. Razón de semejanza =

Construcción de polígonos semejantes Se traza un punto O cualquiera y se trazan semirrectas que parten de O, y pasan por los vértices Dado un polígono Se toma la razón r, y se trazan paralelas a los lados

1º CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si: A B C A’ B’ C’’ C = C’ B = B’

2º CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si: A B C A’ B’ C’’ b c b’ c’ b/b’ = c/c’ A = A’

3º CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si: A B C A’ B’ C’’ b c b’ c’ a/a’ = b/b’ = c/c’ a’ a

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS SEMEJANTES Dos triángulos ABC, A’B’C’ rectángulos en A y A’ son semejantes si: A B C A’ B’ C’’ 1.- Tiene un mismo ángulo agudo B = B’ ó C = C’ 2.- Dos pares de lados homólogos son proporcionales

Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia (http://recursostic.educacion.es/descartes/web/) En la siguiente diapósitiva