1. RECTAS EN EL ESPACIO

2. Algebra lineal Rectas en el espacio

3. Algebra lineal Rectas en el espacio Eje X Eje Y Eje Z P u L Un punto P y una dirección u

4. Algebra lineal Rectas en el espacio

5. Algebra lineal Rectas en el espacio Un punto P y una dirección u u L PoPo P tu Eje X Eje Y Eje Z O PLPL

6. Algebra lineal Rectas en el espacio Ecuación de la recta L que pasa por P 0 (x o,y o,z o ) con vector director u=(a,b,c) El punto P(x,y,z)  L si y sólo si P-P o  u, es decir, si P-P o =tu, t   (x-x o, y-y o, z-z o )=t (a,b,c). Ecuaciones paramétricas de la recta L

7. Algebra lineal Rectas en el espacio Si las coordenadas del vector director u=(a,b,c) son todas no nulas, abc  0 Ecuación de la recta L que pasa por P 0 (x o,y o,z o ) con vector director u=(a,b,c) Ecuación simétrica de la recta L

8. Algebra lineal Rectas en el espacio Ejercicio Nº1 Encuentre la ecuación de la recta L que pasa por P(1,2,-1) y es paralela al vector u=(2,3,-2). ¿Está el punto (2,1,2) sobre la recta L? ¿Está el vector (3,5,-3) en la recta L?

9. Algebra lineal Rectas en el espacio Ejercicio Nº2 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(2,3,-4) y Q(3,-2,5)

10. Algebra lineal Rectas en el espacio Ejercicio Nº3 Encuentre la ecuación de la recta L que contiene a (2,3,-2) y es paralela a la recta

11. Algebra lineal Rectas en el espacio Ejercicio Nº4 Encuentre la intersección de las rectas

12. Algebra lineal Rectas en el espacio Ejercicio Nº5 Encuentre la ecuación de la recta L que pasa por (-2,3,4) y es ortogonal a:

13. Algebra lineal Rectas en el espacio Solución Nº1: 2=1+2t  t=1/2 pero para y, 1  2+3(1/2). Por lo tanto el punto (2,1,3)  L. (3,5,-3)  L, ya que satisface las ecuaciones paramétricas de la recta para el valor del parámetro t=1. Sin embargo el vector v=(3,5,-3) no está en L ya que para eso el origen también debería estar en L y no lo está (x,y,z)  L si al sustituir en las ecuaciones anteriores hay algún valor de t que las satisfaga.

14. Algebra lineal Rectas en el espacio t . El vector director de la recta es: u=(3,-2,5)-(2,3,-4)=(1,-5,9). La ecuación de la recta viene dada por: Solución Nº2:

15. Algebra lineal Rectas en el espacio Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, por lo tanto, podemos tomar como vector director de L el mismo vector director de la recta dada que es (3,6,2) y así la ecuación de L es Solución Nº3:

16. Algebra lineal Rectas en el espacio ¿Hay valores de t, s para los cuales 1 + t = 17 + 3s -3 +2t = 4 + t -2 - t = -8 – s ? Solución Nº4: Punto de intersección es (2,-1,-3)

17. Algebra lineal Rectas en el espacio El vector director de L debe ser ortogonal a las rectas L 1 y L 2. Por lo tanto debe ser ortogonal a sus vectores directores (-2,3,5) y (4,-2,1), es decir, el producto vectorial de los dos Solución Nº5: =(13, 22, -8) La ecuación es

18. Algebra lineal Rectas en el espacio POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS RECTAS  Secantes:  Se cortan en un punto  Sus vectores directores no son paralelos  Se cruzan:  No se cortan  Sus vectores directores no son paralelos  Paralelas  Sus vectores directores son paralelos P = L 1  L 2 L 1  L 2 = 