LIMIT SEBARAN (LIMIT DISTRIBUTION) - 2 Materi pokok 25 LIMIT SEBARAN (LIMIT DISTRIBUTION) - 2 Konvergensi dalam Peluang Definisi: Suatu sekuens peubah acak X1, X2, X3, ….. Konvergen dalam peluang terhadap peubah acah X, jika untuk setiap  > 0,

Contoh 1 Misalkan melambangkan nilai tengah contoh acak berukuran n dari sebaran yang mempunyai nilai tengah  dan ragam 2 maka nilai tengah dan ragam dari adalah berturut-turut  dan 2/n. Perhatikan untuk  > 0: Berdasarkan ketaksamaan chebyshev peluang tersebut kurang atau sama dengan 1/k2 = 2/ne2 sehingga

Akibatnya konvergen dalam peluang terhadap  jika 2 tertentu (finite) Akibatnya konvergen dalam peluang terhadap  jika 2 tertentu (finite). Jika  finite maka konvergen dalam peluang dan hasil ini disebut WLLN (The Weak Law of Large Numbers). Suatu sifat konvergensi yang lebih kuat diberikan oleh dan dalam hal ini disebut Yn , n = 1, 2, 3, …. konvergen ke c dengan peluang 1. Jadi bila sebagai nilai tengah contoh acak yang konvergen dengan peluang 1 terhadap nilai tengah sebaran =  maka bentuk ini merupakan bentuk SLLN (The Strong Law of Large Numbers).

Teorema I Bila Fn (y) melambangkan fungsi sebaran peubah acak Yn yang sebarannya tergantung pada bilangan bulat positif n dan c merupakan konstanta yang tidak tergantung pada n. Sekuens Yn , n = 1, 2, 3,…. konvergen dalam peluang terhadap c jika dan hanya jika limit sebaran degenerate pada y = c. Limit Fungsi pembangkit Momen Untuk menentukan Limit fungsi sebaran suatu peubah acak Yn perlu mengetahui fungsi kepekatan peluang f(y) atau fungsi sebaran Fn(y) untuk setiap n bulat positif, tetapi jika ada fungsi pembangkit momen Yn = M (t; n) dapat digunakan untuk menentukan limit fungsi sebaran.

Teorema 2 Misalkan peubah acak Yn mempunyai fungsi sebaran Fn(y) dan fungsi pembangkit momen M(t; n) ada pada selang –h < t < h untuk semua n. Jika ada fungsi sebaran F(y), dengan fungsi pembangkit momen M(t) yang ada pada |t|  h1 < h sedemikian sehingga maka Yn mempunyai limit fungsi sebaran dengan fungsi sebaran F(y).

Contoh 2 Misalkan Yn mempunyai sebaran binomial b(n,p),  = np adalah sama untuk setiap n sehingga dimana  adalah konstanta. Tentukan Untuk semua nilai t yang nyata akibatnya:

Karena ada sebaran yang mempunyai fungsi pembangkit momen seperti itu yakni sebaran Poisson maka limit dari Yn adalah sebaran Poisson. Hasil dari contoh di atas menunjukkan bahwa dapat digunakan sebaran Poisson untuk memperkirakan sebaran binomial bila n besar dan p kecil misalnya untuk n = 50, dan p = maka dan dengan pendekatan Poisson  = np = 2 maka P (Y  1) = e-2 + 2e-2 = 0, 406

Contoh 3 Misalkan Zn ~ X12 maka fungsi pembangkit momen Zn = M (t; n) = (1 – 2t) –n/2, untuk ½. Nilai tengah dan ragam Zn berturut-turut n dan 2n. Cari limit sebaran . Fungsi pembangkit momen Yn adalah

Menurut Taylor ada bilangan (n) antara 0 dan sehingga Maka