אלגברה בוליאנית - אלגברת המיתוג: George Boole – 1854  Boolean Algebra Claud Shannon – 1938  Daul Valued Boolean Algebra (Information Theory) מושגי יסוד: * B - קבוצה (סופית, אם |B| = 2  אזי Boolean Algebra ) * • - אופרטור בינארי: SS  S :• (דוגמא: S – הטבעיים עם חיבור) * סגירות של “•”: הטוח של • הינו ב-S דוגמא שלילית : S – הטבעיים עם חיסור * קיבוציות - אסוציאטביות: (X • Y) • Z = X • (Y • Z) * חילופיות - קומטטיביות: X • Y = Y • X * איבר יחידה: 1 • X = X • 1 = X (For all X in S) * הופכיות For all X there exists Y such that: X • Y = 1  לא מתקיימת באלגברה בוליאנית * פילוגיות – דיסטריבוטיביות: שני אופרטורים +  x(y+z) = xy + xz לא שדה

הגדרה אקסיומטית: x+(y•z) = (x+y) • (x+z) * B - קבוצה ; (2= |B| אלגברת המיתוג) * שני אופרטורים: + (OR ,) ; • ) AND, ) 1. B סגורה ביחס ל"+" ו-"•" . 2. א. קיים איבר יחדה ביחס ל-"+" x+0 = 0+x = x ב. קיים איבר יחידה ביחס ל-"•" . x•1 = 1•x = x 3. חוק החילוף: x+y = y+x x•y = y•x 4. מתקיימת פילוגיות: x•(y+z) = x•y + x•z x+(y•z) = (x+y) • (x+z) 5. משלים: לכל x קיים x’ (not(x), ¬x) כך: x+x’ = 1 (x or (not(x)) = True) x•x’ = 0 (x and (not(x)) = False) 6. קיימים לפחות שני איברים: x,yB ( |B| = 2 אלגברת המיתוג)

הערות והארות: AND OR * כל 6 התנאים מתקיימים 5v OR * אסוציאטיביות מתקיימת אך איננה אקסיומה: (X •Y) • Z=X• (Y•Z) * חוק הפילוג מתקיים עבור +, •: לא מתקיים באלגברה סטנדרטית (ממשיים) * המשלים לא קיים באלגברה סטנדרטית * קיימות אלגברות בוליאניות עם 2< |B| : אלגברה בוליאנית דו ערכית (מיתוג): {1 , 0}= B AND OR NOT X.Y Y X 1 X+Y Y X 1 X’ X 1 * כל 6 התנאים מתקיימים

הוכחת תכונות ומשפטים בא"ב: דוגמא: x·x = x כדי להוכיח תכונות /משפטים בא"ב נשתמש ב-6 הכללים (האקסיומות) המגדירות א"ב. ניתן להוכיח משפטים גם ע"י רשימת הטבלה המתאימה (Brute Force) עיקרון הדואליות: כל בטוי נכון בא"ב ניתן להחלפה בבטוי שגם יהיה תקף ע"י: x+(y•z) •  + x•(y+z) 0  1 דוגמא: x • 1 = x  x + 0 = x

משפטים יסודיים: { (X1 + X2+ .. + Xn)’= X1’. X2’ … . Xn’ } x+x = x x•x = x x+1 = 1 x•0 = 0 (x’)’ = x (x•y)•z = x•(y•z) (x+y)+z = x+(y+z) משפט דה- מורגן: (x•y)’ = x’+y’ (x+y)’ = x’•y’ צמצום: x+(x•y) = x x •(x+y) = x משפט: x+(x’•y) = x+y { (X1 + X2+ .. + Xn)’= X1’. X2’ … . Xn’ } X+Y X+(X’.Y) X’Y y X 1

משפט: x+(x’•y) = x+y הוכחה: א. פילוגיות (כלל 4) : x+(x’•y) = (x+x’) • (x+y) ב. כלל המשלים (1= (x+x’ : (x+x’)•(x+y) = 1•(x+y) ג. איבר יחידה (x•1 = 1•x = x) : 1•(x+y) = x+y QED לעיתים נזדקק לאינדוקציה בנוסף לכללי ההיסק הבסיסיים (כלל דה – מורגן המוכלל).) קדימות אופרטורים: 3 2 1 0 ( )  NOT  AND  OR ( )  ¬,( )’  • ,   ,+ דוגמא: (x + (y • (z)’))  x + y z’ משמיטים אם ברור מהתוכן

פונקציות בוליאניות: {0,1} : {0,1}n x x+y y x x’ x x•y y x’ x * כל משתנה יכול להופיע ושלילתו. * טבלת האמת בעלת 2n כניסות . *יצוג ע"י סכימת שערים: x x+y y x x’ x x•y y x’ x x’•(y+z) y z

משלים של פונקציה כלל דה- מורגן De – Morgan Rule שמוש ב- דה-מורגן 0= כאשר הפונקציה "צפופה" (קימים הרבה קלטים עבורם ƒ(x,…,z) = 1 ), כדאי לממש את ההופכי/ המשלים של ƒ ולהפוך בסוף את התוצאה. כלל דה- מורגן De – Morgan Rule (x + y)’ = x’ • y’ (x • y)’ = x’ + y’ הכלל מוכלל באינדוקציה ורקורסיה ליותר משני משתנים ויותר מקינון אחד של ביטויים. (x+y’z (t’+sqx’))’ = (x’ • (y’z ( t’ + sqx’))’) = x’ ( y+z’ + ( t’+ sqx’)’) = x’ ( y+z’ + t •(s’ + q’ + x)) = x’y + x’z’ + x’ts’ + x’tq’ + x’tx שמוש ב- דה-מורגן 0= סכום מכפלות

צורות קנוניות: x’y’z’+x’yz’+xyz (x+y+z’) • (x’+y+z’) minterm (x+y+z’) כל פונקציה בוליאנית ניתנת לכתיבה כסכום מכפלות: (x+y+z’) • (x’+y+z’) ומכפלת סכומים: מכפלות סכומים סימון גורם f z y x M0 x+y+z m0 x’y’z’ 1 M1 x+y+z’ m1 x’y’z M2 x+y’+z m2 x’yz’ M3 x+y’+z’ m3 x’yz M4 x’+y+z m4 xy’z’ M5 x’+y+z’ m5 xy’z M6 x’+y’+z m6 xyz’ M7 x’+y’+z’ m7 xyz בהינתן טבלת אמת של פונקציה f: נרשום את f כמכפלת סכומים ע"י לקיחת Mi עבורם f=0. או: 2) נרשום את f כסכום מכפלות ע"י לקיחת mi עבורם f=1. minterm (x+y+z’) (x’+y+z’) x’y’z’+x’yz’+…

דוגמא לכתיבת פונקציה בצורה סטנדרטית: f2 f1 z y x 1 2 3 4 5 6 7 בהינתן מכפלה של סכומים לא מלאה נרצה לעיתים להרחיבה כדי להשתמש ביחידות סטנדרטיות (ספרתיות). נפעל בדומה לסכום מכפלות

הרחבה לצורה סטנדרטית פעולות דומות ניתן לבצע עבור מכפלת סכומים. המרה בין צורות: נניח כי ורוצים לרשמה כמכפלת סכומים.

אופרטורים לוגיים נוספים: יש פונקציות הערות שם סמל פונקציה F0=0 AND X • Y F1=xy X/Y F2=xy’ F3=x Y/X F4=x’y F5=y XOR X+Y F6=xy’+x’y OR F7=x+y universal NOR X Y F8=(x+y)’ Equivalence F9=xy+x’y’ F10=y’ F11=x+y’ F12=x’ F13=x’+y NAND X Y F14=(xy)’ F15 = 1

שערים לוגיים ספרתיים: שערים סטנדרטיים שנארזים בסיליקון. A F F=A • B AND B A F=A+B OR F B F=A’ Inverter A A’ A A F=A Buffer A F=(A • B)’=A’+B’ NAND F B A F=(A+B)’=A’ • B’ NOR F B

A F = XY’ + X’Y = X Y XOR (1 X<>Y) eXclusive OR F B A F = XY + X’Y’ = X * Y Equivalence (1 X==Y) eXclusive NOR F B

שערים מרובי כניסות: xyz xyz Semantics of NOR? (x y) z = x (y z) = =

שעריNOR/NAND מרובי כניסות: abc NAND (A,B,C) = (A*B*C)’ abc NOR (A,B,C) = (A+B+C)’ שעריXOR מרובי כניסות: abc

מערכות שלמות -Universal Systems ראינו שכל פונקציה בוליאנית ניתנת למימוש ע"י סכום מכפלות או/ו מכפלת סכומים. לכן כל פונקציה בוליאנית ניתנת למימוש ע"י קבוצת האופרטורים: NOT, AND, OR {‘, +, *} קבוצת האופרטורים הינה שלמה (Universal) אם ניתן לממש בעזרת הפעלות חוזרות של אופרטורים מהקבוצה כל פונקציה בוליאנית. טענה: א. {NOT, OR} היא שלמה ב. {NOT, AND}היא שלמה הוכחה: (עבור א) נסתכל על F כלשהיא. יתכנו שלשה מקרים: א. F = (G)’ השתמש ב- NOT. ב. F = G+Q השתמש ב- OR. ג. F = G*Q F = ((G*Q)’)’ = (G’+Q’)’ שימוש בOR וNOT בלבד! זהו צעד האינדוקציה ובסיס האינדוקציה

NOR and NAND - Universal Systems מכיוון ש - {NOT, AND} היא שלמה ניראה כי ניתן לממש את AND ו-NOT ע"י NAND בלבד X’ = (X • X)’ = NAND(X,X) A • B = ((A • B)’)’ = )NAND)A,B))’= NAND(NAND(A,B),NAND(A,B)) מכיוון ש - {NOT, OR} היא שלמה ניראה כי ניתן לממש את OR ו-NOT ע"י NOR בלבד X’ = (X + X)’ = NOR(X,X) A + B = ((A + B)’)’ = )NOR)A,B))’= NOR(NOR(A,B),NOR(A,B)) Equivalence A A F F B B

חוצץ אחד השימושים של חוצץ הוא לפתור בעיות תזמון. חוצץ אחד השימושים של חוצץ הוא לפתור בעיות תזמון. CAB A*B+C =F 1 C: 1 0 B: 0 1 A: 0 1 A*B: 0 1 F: 1 1 ? 1 1 Delay Time 1 1 1 “Spikes” ניתן לפתור ע"י תכנון מתאים או/ו הוספת חוצצים. CA (C + A) (C + B) = AB + C CB