1 Slide Slide 第 9 章 假設檢定 Part B ( )

2 Slide Slide 第 9 章 假設檢定 Part B  9.5 母體比例  9.6 假設檢定與決策  9.7 計算型 II 錯誤的機率  9.8 在檢定母體平均數時決定樣本大小 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 329 頁

3 Slide Slide 單尾檢定 ( 左尾檢定 ) 單尾檢定 ( 右尾檢定 ) 雙尾檢定 9.5 母體比例  以 p 代表母體比例，而以 p 0 代表母體比例的特定 假設值，有關母體比例的假設檢定有下列三種形 式。 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 357 頁

4 Slide Slide 母體比例的檢定  檢定統計量 其中： 假設 np ≥ 5 且 n(1 – p) ≥ 5 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 358 頁

5 Slide Slide  拒絕法則： p 值法 H 0 : p  p  若 z ≥ z  ，則拒絕 H 0 若 z ≤ - z  ，則拒絕 H 0 若 z ≤ - z  或 z ≥ z  ，則拒絕 H 0 H 0 : p  p  H 0 : p  p  若 p 值 ≤ α ，則拒絕 H 0  拒絕法則：臨界值法 母體比例的檢定 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 359 頁

6 Slide Slide 母體比例的檢定 ( 實例 )  以 Pine Creek 高爾夫球場的範例來進行說明。過去數年， Pine Creek 高爾夫球場只有 20% 的女球友。為了提高女性 打球的比例， Pine Creek 推出了一種優惠方案。優惠方案 推行一個月之後，球場經理想經由統計研究來瞭解女球友 的比例是否增加。由於研究的目的是確認女性球友比例是 否增加，因此，右尾檢定 H a ： p ＞ 0.20 是合適的。虛無和 對立假設可敘述如下。 H 0 : p ≤ 0.20 H a : p > 0.20 如果拒絕虛無假設 H 0 ，表示「女性球友的比例增加」得 到統計上的支持，球場的促銷活動奏效。球場經理選擇顯 著水準 α ＝ 0.05 進行假設檢定。 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 357 頁

7 Slide Slide 母體比例的檢定 ( 實例 )  假設檢定程序的下一個步驟是選擇樣本及計算合 適的檢定統計量的值。 Pine Creek 的問題是右尾檢 定，我們則先介紹任一形式的母體比例的假設檢 定量的計算方法。樣本比例 是母體比例 p 的點 估計量，也是建立檢定統計量的基礎。  虛無假設的等式為真時， 的期望值會等於假設 值 p 0 ；也就是說， E( ) ＝ p 0 ， 的標準誤是 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 頁

8 Slide Slide 母體比例的檢定 ( 實例 )  如果 np ≥ 5 以及 n(1 － p) ≥ 5 ， 的抽樣分配能夠 以常態分配來近似 * 。在此種條件下，以下的式子 是標準常態分配。 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 358 頁

9 Slide Slide 母體比例的檢定 ( 實例 )  假定隨機樣本中有 400 位球友，其中 100 位是女 性。女性球友在樣本中的比例是 運用式 (9.6) ，檢定統計量的值是 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 358 頁

10 Slide Slide 母體比例的檢定 ( 實例 )  由於 Pine Creek 假設檢定是右尾檢定， p 值是 z 值 大於或等於 2.50 的機率；也就是說，在標準常態 分配 z 值＝ 2.50 右方的面積。利用常態分配表可 知， z 值介於 0 至 2.5 之間的面積是 。因此， Pine Creek 假設檢定的 p 值是 － ＝ 。圖 9.10 是 p 值的計算方式。 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 358 頁

11 Slide Slide 母體比例的檢定 ( 實例 ) 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 359 頁 9.10 圖

12 Slide Slide 母體比例的檢定 ( 實例 )  球場經理設定的顯著水準是 α ＝ 0.05 。而 p 值是 ＜ 0.05 ，因此有充分的統計證據支持在 0.05 的顯著水準下拒絕 H 0 。我們可以看到，對於 「 Pine Creek 球 場的優惠促銷方案成功地提升女性 球友的比例」一事，檢定提供了統計上的支持。  我們也可以用臨界值法來決定是否拒絕虛無假設。 對應於右尾面積 0.05 的標準常態分配，臨界值是 z 0.05 ＝ 。因此，使用臨界值法的拒絕法則是： 如果 z ≥ ，就拒絕 H 0 。由於 z ＝ 2.50 ，所以拒 絕 H 0 。 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 358 頁

13 Slide Slide 母體比例的檢定 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 359 頁 表 9.4

14 Slide Slide 9.6 假設檢定與決策  在某些情況下，無論結論是拒絕 H 0 或者是不拒絕 H 0 ，決策者都可能或不得不採取某些行動。  在這種決策情況下，我們會建議在假設檢定時， 要進一步地考慮發生型Ⅱ錯誤的機率。 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 頁

15 Slide Slide 假設檢定與決策實例  品管經理必須決定是否接受某批供應商提供的整 批電池，或者是因為品質問題將整批電池退回。  假設規格要求是電池壽命至少有 120 小時。為了 評估這批電池的品質，抽樣了 36 個電池進行檢驗。 根據樣本得到的結果來決定是否退貨。以 μ 表示 這批電池的使用壽命，有關母體平均數的虛無及 對立假設如下。 H 0 : μ ≥ 120 H a : μ < 120 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 363 頁

16 Slide Slide 假設檢定與決策實例  假如拒絕 H 0 ，結論就是，對立假設為真。這個結 論表示適當的處置方式是將電池退還給供應商。  如果沒有拒絕 H 0 ，決策者仍然決定必須採取某些 行動。  雖然沒有直接得到 H 0 為真的結論，只是不拒絕 H 0 ， 決策者還是要視同該批電池合乎品質要求，而決 定接受該批電池。 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 363 頁

17 Slide Slide 9.7 計算型Ⅱ錯誤的機率 1. 建立虛無假設及對立假設。 2. 以顯著水準 α 建立檢定統計量的拒絕法則。 3. 利用拒絕法則，計算樣本平均數以確認檢定統計 量的臨界值。 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 365 頁

18 Slide Slide 計算型Ⅱ錯誤的機率 4. 由步驟 3 的結果來描述各種會導致接受 H 0 的樣 本平均數的值，也就是定義出檢定的接受域。 5. 從對立假設中找出任一 μ 值的 的抽樣分配，由 步驟 4 得到的接受域，計算樣本平均數會落在接 受域的機率。此機率即特定 μ 值下發生型 II 錯 誤的機率。 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 頁

19 Slide Slide 計算型Ⅱ錯誤的機率 ( 實例 )  用 9.6 節電池的品質問題為例。  這批電池平均壽命的虛無及對立假設是 H 0 : μ ≥ 120 H a : μ < 120  顯著水準是 α = 0.05  樣本數 n = 36 及 σ= 12 小時  利用臨界值法與 z 0.05 = ，拒絕法則是 若 z ≤ ，則拒絕 H 0 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 363 頁

20 Slide Slide 計算型Ⅱ錯誤的機率 ( 實例 )  拒絕法則告訴我們在以下的情況時就拒絕 H 0  解 ，可知 在以下範圍時，我們就會拒絕 H 0 ≤ 則拒絕 H 0 。  根據這些資訊，我們可以計算型Ⅱ錯誤的發生機率。首先， 型Ⅱ錯誤發生的情況是，電池的平均壽命小於 120 小時， 但卻不拒絕 H 0 ： μ ≥ 120 。因此，要計算型Ⅱ錯誤的機率， 我們先要選擇一個小於 120 的 μ 值。 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 363 頁

21 Slide Slide 計算型Ⅱ錯誤的機率 ( 實例 )  假定該批電池的品質不佳，平均壽命只有 112 小 時。如果 μ ＝ 112 是正確的，不拒絕 H 0 ： μ ≥ 120 以致發生型Ⅱ錯誤的機率為何？  請注意，這個機率是指 μ ＝ 112 且樣本平均數 大於或等於 的機率。 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 頁

22 Slide Slide 計算型Ⅱ錯誤的機率 ( 實例 )  圖 9.11 是 μ ＝ 112 時 的抽樣分配。右尾的陰影面積是 ＞ 的機率。運用標準常態分配，在 ＝ 時， 可得 標準常態分配表顯示 z ＝ 2.36 時，右尾的面積則是 － ＝ 。因此， 就是 μ ＝ 112 時，發生型Ⅱ 錯誤的機率。將發生型Ⅱ錯誤的機率記為 β ，所以這個例 子是 μ ＝ 112, β ＝ 。我們可以得到的結論是，如果 母體平均數是 112 小時，發生型Ⅱ錯誤的機率只有 。 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 364 頁

23 Slide Slide 計算型Ⅱ錯誤的機率 ( 實例 ) 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 364 頁 圖 9.11

24 Slide Slide 計算型Ⅱ錯誤的機率 ( 實例 )  我們可以用小於 120 的其他不同 μ 值，再重複上述的計算 過程。這樣就可以得到在各個不同 μ 值時，發生型Ⅱ錯誤 的機率。例如，假定該批電池的平均壽命 μ ＝ 115 小時。 因為只要 > ，就不拒絕 H 0 。所以， μ ＝ 115 時的 z 值是 查標準常態分配表，可看出 z ＝ 0.86 的標準常態分配右尾 面積是 － ＝ 。因此， μ ＝ 115 時，發生 型Ⅱ錯誤的機率 β ＝ 。 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 364 頁

25 Slide Slide 計算型Ⅱ錯誤的機率 ( 實例 )  表 9.5 列出 μ < 120 時，不同 μ 值對應的型 II 錯誤 的機率。請注意，在 μ 值愈接近 120 時，型 II 錯 誤的機率就愈接近上限，即 0.95 。  當 µ 離 120 愈遠，型 II 錯誤的機率就愈小。這種 模式並不令人意外。真正的母體平均數 µ 愈接近 虛無假設的母體平均數值 µ ＝ 120 時，發生型 II 錯誤的機率就愈高。  當真正的母體平均數的值愈小於虛無假設的母體 平均數值 μ ＝ 120 ，發生型 II 錯誤的機率就愈低。 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 364 頁

26 Slide Slide 計算型Ⅱ錯誤的機率 ( 實例 ) 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 365 頁 表 9.5

27 Slide Slide 計算型Ⅱ錯誤的機率 ( 實例 )  在虛無假設為偽時，正確地拒絕虛無假設的機率稱為假設 檢定的檢定力 (power) 。  對任何特定的 μ 值，檢定力是 1 － β 。也就是說，正確地 拒絕虛無假設的能力是 1 減去發生型 II 錯誤的機率。  表 9.5 也列出檢定力。將不同母體平均數的真正值與相對 應的檢定力以圖形表示如圖 9.12 ，這個圖形稱為檢定力曲 線 (power curve) 。  請注意，檢定力的圖形範圍在虛無假設為偽的部分。某特 定 μ 值下的檢定力曲線的高度，表示虛無假設為偽時，正 確拒絕 H 0 的機率 * 。 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 365 頁

28 Slide Slide 計算型Ⅱ錯誤的機率 ( 實例 ) 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 365 頁 圖 9.12

29 Slide Slide 9.8 在檢定母體平均數時決定樣本數  顯著水準決定發生型 I 錯誤的機率。  藉著控制樣本大小，檢定人員可同時控制發生型 II 錯誤的機率。 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 367 頁

30 Slide Slide 在檢定母體平均數時決定樣本數  如果假設檢定是要檢定母體平均數的值，檢定人 員選定的顯著水準就決定了發生型 I 錯誤的機率。 再藉著控制樣本大小，檢定人員可同時控制發生 型 II 錯誤的機。我們以母體平均數的右尾檢定來 說明如何決定樣本數。 H 0 : μ ≥ μ 0 H a : μ < μ 0 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 頁

31 Slide Slide 特定的型 I ( α) 錯誤及型 II ( β) 錯誤的水 準下決定樣本大小  圖 9.13 的上半部是 H 0 為真，即 μ ＝ μ 0 時的 的抽 樣分配。由於是右尾檢定，檢定統計量的臨界值 表示為－ z α 。圖形上有標示為 c 的垂直線，其中 的 c 是 的對應值。  請注意，當 ≤ c 時，如果拒絕 H 0 ，型Ⅰ錯誤的機 率為 α 。  若以 z α 表示標準常態分配時右尾面積為 α 的 z 值， 則可利用下列公式求出 c 。 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 368 頁

32 Slide Slide 特定的型 I ( α) 錯誤及型 II ( β) 錯誤的水 準下決定樣本大小 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 368 頁 圖 9.13

33 Slide Slide  我們可從以下公式計算 c 值 特定的型 I ( α) 錯誤及型 II ( β) 錯誤的水 準下決定樣本大小 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 368 頁

34 Slide Slide  解出等式中的 n 就可以決定樣本數 而且 特定的型 I ( α) 錯誤及型 II ( β) 錯誤的水 準下決定樣本大小 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 369 頁

35 Slide Slide 其中 z  = 標準常態分配尾部面積為 α 時的 z 值 z  = 標準常態分配尾部面積為 β 時的 z 值  = 母體標準差  0 = 虛無假設中母體平均數的值  a = 發生型Ⅱ錯誤時母體平均數的真實值 注意：若是雙尾檢定，  z  則改為 z  /2 。 特定的型 I ( α) 錯誤及型 II ( β) 錯誤的水 準下決定樣本大小 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 369 頁

36 Slide Slide 有關 α, β ，以及樣本數 n 的關係 1. 三個數值中只要有兩個已知，就可以求出第三個 數值。 2. 給定顯著水準 α 以後，增加樣本數會降低 β 。 3. 給定樣本數以後， α 增加則 β 減少， α 減少則 β 增加。 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 370 頁

37 Slide Slide 特定的型 I ( α) 錯誤及型 II ( β) 錯誤的水 準下決定樣本大小  回到 9.6 與 9.7 節驗收電池的例子。  驗收的標準是電池的平均壽命至少為 120 小時。 如果拒絕 H 0 ： μ ≥ 120 ，就拒收該批電池。假定品 管經理對於可容忍的型Ⅰ及型Ⅱ錯誤的機率做了以 下的敘述： 型 I 錯誤： 如果這批電池的平均壽命是 μ ＝ 120 小時， 我願意承擔機率為 α ＝ 0.05 的風險拒絕這批電池。 型 II 錯誤： 如果這批電池的平均壽命比要求的規格少 了 5 小時，也就是 μ ＝ 115 小時，我願意承擔 β ＝ 0.10 的風險接受這批電池。 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 369 頁

38 Slide Slide 特定的型 I ( α) 錯誤及型 II ( β) 錯誤的水 準下決定樣本大小  在這個例子中， α = 0.05, β = 0.10 。查標準常態機 率分配表， z 0.05 = 1.645, z 0.10 = 1.28 ，從誤差機率 的相關敘述可知 μ 0 = 120, μ a = 115 。母體標準差已 知是   = 12 。 根據式 (9.9) ，我們可求得建議的樣本大小是 第 9 章假設檢定 Part B ( ) 第 370 頁

39 Slide Slide End of Chapter 9, Part B