1 Knapsack Cryptosystems

2 ◎ Merkle-Hellman Knapsack Cryptosystem 觀察： (1) 0/1 knapsack problem (i.e. sum of subset) 例：已知 C = 14, A = (1, 10, 5, 22, 3) 試求一個 Boolean vector M s.t.vector Sol ：經 費神計算後 解得 M = (1, 1, 0, 0, 1) ---NP complete 問題 此問題正式描述成： 已知一整數 C 及一向量 ，求一 A 之子集合， 其和為 C ；亦即求一 Boolean vector M 使得 說明： 若將要加密之明文當成 binary string M ，加密金匙為 A ，則 C 為密文矣。 思考：若 C 與 A 已知，則要求出 M 之計算難！！ 茲此， Simple Knapsack Problem 被提出。

3 ◎ Merkle-Hellman Knapsack Cryptosystem (2) Simple Knapsack Problem 例： 已知 C = 14, A’ = (1, 3, 5, 10, 22) 試求一 Boolean Vector M s.t. Sol ： 計算步驟可在 線性時間 完成；因為 14 < 22 故知此位元為 0 14 > < > = 1 1 所以 M = (1, 1, 0, 1, 0) 此問題可正式描述成： 已知一整數 C 及一具有 Super Increasing 之向量 A’ （所謂 Super Increasing 即 ）

4 ◎ Merkle-Hellman Knapsack Cryptosystem 求一 A’ 之子集合，其和為 C ；亦即求一 boolean vector M 使得 THINK ： (1) 若 C 與 A’ 已知，則求 M 易矣；因為線性時間即可。 (2) 若 A’ 只讓解密者知悉，則可保安全。 (3) 數學定理： 若 (e, n) = 1 ，則存在唯一整數 d, 0 < d < n ，且 (d, n) = 1 ，使得 ed = 1 mod n 。 Merkle-Hellman Knapsack Cryptosystem ： （公開金匙法） Mechanism 如下： 1. 每人任選一 Simple Knapsack ，其中 A’ 是 super increasing ， n 是明文 M 的位元數。 2. 任選一整數 u 滿足 。 3. 任選一整數 e 為加密金匙； (e, u) = 1 。 (e, A 是收方之公鑰 ) 4. 計算解密金匙 d 滿足 ed = 1 mod u ； (d, u) = 1 。 (d, A’ 是收方之密鑰 )

5 ◎ Merkl-Hellman Knapsack Cryptosystem 5. 公開 A = (eA’) mod u = 6. 保密 (d, u) …… 祕密金匙。 7. 加密： 8. 解密：

6 ◎ Graham-Shamir Knapsack Public-Key Cryptosystem Mechanism 如下： 1. 每人任選一 Simple Knapsack ，其中 A’ 是 super increasing ， n 是明文 M 的位元數。 2. 任選一整數 u 滿足 。 3. 任選一整數 e 為加密金匙； (e, u) = 1 。 4. 計算解密金匙 d 滿足 ed = 1 mod u ； (d, u) = 1 。 5. 公開 A = (eA’) mod u = 6. 保密 (d, u) …… 祕密金匙。 7. 加密： 8. 解密： A’ 之值依次頁所示

7 ◎ Graham-Shamir Knapsack Public-Key Cryptosystem 例示：設 n = 5, A’ = j PS ： 以二進制表示之 (R j 及 S j 均是隨機亂數 ) ， ：其第 j 位元為 1 ，其餘位元為 0 ， ：其前頭┏ ┓ 位元為 0 以保證不會進位， 為一 Simple Knapsack ； 當明文 M = (0, 1, 0, 0,1) = R I = M S YOU MAY GET M directly