吉林大学远程教育课件 主讲人 : 杨凤杰学 时： 64 ( 第五十三讲 ) 离散数学

定义 设 G= （ V ， T ， S ， P ） 是一个语法结构，由 G 产生的语言 （或者说 G 的语言）是由初始状态 S 演绎出来的所有终止符的集合， 记为 L （ G ） ={w  T * |S  *w} 。 在下面的两个例子中，我们找到了 由语法结构产生出来的语言。 例 设 G 是一个语法结构，字母表为 V={S ， A ， a ， b} ，终止符集合 T={a ， b} ，初始 符号为 S ，产生式 P={S→aA ， S→b ， A→aa} ， 这个语法的语言 L （ G ）是什么？ 解：用产生式 S→aA 可以从初始状态 S 演绎出 aA ，用产生式 S→b 可以演绎出 b ，用产生式 A→aa 从 aA 可以演绎出 aaa ，没有任何其它的词可以 被演绎出来了，所以 L （ G ） ={b ， aaa} 。

例 设 G 是一个语法结构， 字母表为 V={S ， 0 ， 1} ，终止符集 合 T={0 ， 1} ，初始符号为 S ，产生式 P={S→11S ， S→0} ，这个语法的语 言 L （ G ）是什么？ 解：用产生式 S→0 可以从初始状态 S 演绎出 0 ， 用产生式 S→11S 可以演绎出 11S ，从 11S 可以 演绎出 110 或者 1111S ，从 1111S 可以演绎出 和 S 。在演绎的过程中，我们或 者在 S 前加两个 1 ，或者把 S 替换成 0 而结束演 绎。所以 L （ G ） ={0 ， 110 ， ， ， … } ，这个集合中的符号串都是以 偶数个 1 开头，然后由一个 0 结束。 我们经常遇到构造一个给定语言的语法的问题。 下面我们就讨论这类问题。

例 给出一个语法结构， 可以产生集合 {0 n 1 n |n=0 ， 1 ， 2 … } 。 解：这个集合中的符号串的 特点是若干个 0 后跟同样多的 1 ， 其中包括空串。要想产生这个集 合，我们需要用两个产生式，第 一个是连续地分别在符号串前面 和后面同时加一个 0 和 1 来得到更长的串，第二个 是把 S 替换成空串。所以此语法是 G= （ V ， T ， S ， P ），其中， V={0 ， 1 ， S} ， T={0 ， 1} ， S 是初始符，产生式为 S→0S1 ； S→λ 。 这个例子的符号串是若干个 0 后跟若干个 1 ， 0 的 个数和 1 的个数相同，下面的例子也是考虑若 干个 0 后跟若干个 1 ，但 0 的个数与 1 的个数可 以不同。

例 给出一个语法结构， 可以产生集合 {0 m 1 n |m 和 n 是非负整数 } 。 解：我们将给出两个产生这个 集合的语法 G 1 ， G 2 ，这说明两个 不同的语法可以产生同一个语言。 语法 G 1 的字母表是 V={S ， 0 ， 1} ， 终止符集合 T={0 ， 1} ，产生式为 S→0S ， S→S1 ，和 S→λ 。这个语法就能产生我们 要求的集合，因为用第一个产生式 m 次就可以 把 m 个 0 放在串的前面，用第二个产生式 n 次就 可以把 n 个 1 放在串的后面。 语法 G 2 的字母表是 V={S ， A ， 0 ， 1} ，终止符集 合 T={0 ， 1} ，产生式为 S→0S ， S→1A ， S→1 ， A→1A ， A→1 和 S→λ 。这个语法也能产生我们 要求的集合。

有的时候一个简单的集合却 要一个很复杂的语法才能产 生出来，我们来看下面的例子。 例 产生集合 {0 n 1 n 2 n |n=0 ， 1 ， 2 … } 的语法 是 G= （ V ， T ， S ， P ）， 其中 V={0 ， 1 ， 2 ， S ， A ， B} ， T={0 ， 1 ， 2} ，初始状态是 S ，产生式是 S→0SAB ， S→λ ， BA→AB ， 0A→01 ， 1A→11 ， 1B→12 ， 2B→22 。这个语法是 能产生这个集合的最简单的语法。

9.1.2 语法结构的类型 根据所使用的产生式可以对 语法结构进行分类 0 型语法对产生式没有任何 限制； 1 型语法的产生式都 形如 w 1 →w 2 ，其中 w 2 的长度 大于等于 w 1 的长度或者 w 1 →λ 的形式； 2 型语法只有形如 w 1 →w 2 这样的产生式， 其中 w 1 是单个的非终止符； 3 型语法只有形 如 w 1 →w 2 这样的产生式，其中 w 1 =A 并且 w 2 =aB 或者 w 2 =a, 其中 A 和 B 是非终止符号,a 是终止符号，也可以是 w 1 →λ 的形式。

据此我们可以看出，任何一个 3 型语法都是一个 2 型语法，任 何一个 2 型语法都是一个 1 型语 法，任何一个 1 型语法都是一个 0 型语法。 2 型语法也称为上下 文无关语法，因为任何一个非 终止的符号出现时，都可以用 它在左面的产生式替换它而不用考虑符号 串中其它的字符。由 2 型语法产生的语言 称为上下文无关语言。当有一个形如 lw 1 r→1w 2 r 这样的产生式时（而不是 w 1 →w 2 ）这个语法称为 1 型或者上下文有 关语法，因为 w 1 只有前后有 l 和 r 时，才 能被 w 2 替换。 3 型语法也称为正则语法 ，由正则语法产生的语言称为正则语言 。