第03章 基本統計原理 品質管理 六標準差式
3.1、引言 統計學係應用機率的原理，以收集、分析及解釋資料的一門科學。 不熟悉統計學，可利用本章自習補強。
3.1.1 機率與事件 由基本元素樣本組成樣本空間 事件Ａ之元素數目為ｎ，發生的機率 f(A) 式中0≦f(A)≦1。 一批產品1,000件中含有不良品10件，該批產品之不良品的發生機率是 f(d) = 10/1000 = 1%。
機率加法 機率加法 設Ａ和Ｂ為互斥事件，則發生「A或B」事件的機率等於個別事件機率之和。 式中Ａ和Ｂ為互斥事件，表示Ａ事件和Ｂ事件不可能同時發生。
機率乘法 機率乘法 設Ａ和Ｂ為獨立事件，則發生「A且B」事件的機率等於個別事件機率之乘積 。 式中Ａ和Ｂ為獨立事件，表示Ａ事件和Ｂ事件互不相干。
聯合機率 聯合機率 設Ａ和Ｂ為任意事件，則發生「A或 B」個別事件機率之和減去乘積。 製程發生過短或過長的機率各為3%和5%該產品不合格的機率為
條件機率 條件機率 設Ａ和Ｂ為任意事件，則已知Ａ而發生Ｂ之條件事件「B|A」機率
分割機率 分割機率 設B1,B2,B3,…,Bk等全為互斥事件，而且它們的聯集即為宇集。則任意事件Ａ的機率會等於它與各互斥事件的個別交集之機率的總和。
範例3.1
範例 3.1 (2)
3.1.2 排列與組合 排列和組合 cats一字的排列共有{cats, ctas, ctsa, ⋯ , stac}等廿四種 。 cats一字含ca的組合共有{cats, tcas, stca, cast, scat, tsca}等六種 。
二項係數 二項係數 當隨機實驗n次則正面出現x次之組合數目為 該組合函數值是謂二項係數。拋擲錢幣五次樣本空間的元素數目為25 = 32，而出現兩次正面事件之組合數目為 5!/3!2! = 10次。
多項係數 多項係數 某項實驗有K種可能結果，隨機ｎ次實驗後這ｋ種結果分別出現 X1, X2 , …, Xk 次，組合之樣本點數為 該組合函數值是謂多項係數。 微軟Excel函數：FACT、PERMUT、COMBIN。 FACT 群體數的階乘數目 PERMUT 群體數中取樣數的排列數目 COMBIN 群體數中取樣數的組合數目
3.2、頻次和分配 將資料分門別類整理其發生的頻次，便利掌握和利用次數分配的資訊。 將教材「蓋」字，就「字」、「詞性」、「例句」和「字義」等四欄建立多筆資料錄，成為乙部小型資料庫。
範題資料庫
範題彙要表 利用Excel樞紐分析表，彙整「詞性彙要表」。
3.2.1 計數數目 計數純數字、文數(文字或數字)、或空格的格數。
範例3.2
3.2.2 項別頻次 計數出類別在資料庫中出現的數目，就是所謂的項別頻次。 使用各個項目頻次，可做成直條圖。 就數目由大到小排序項目，可做成柏拉圖。 就項目頻次或百分機率，可做成圓形圖。
範例3.3
範例3.4
範例3.5
週期數據
3.2.3 數軸序數 辨認數群的某一數值在數軸上的大小或前後順序 譬如，某人性向測驗分數在團體中的百分排名。
範例3.6
3.2.4 頻次分配 相對頻次是各組頻次佔總頻次的比例。 累計相對頻次是各組相對頻次的逐組累計。 u「母數」：母數是從數據群計算而得的代表性敘述數值。母數通常使用希臘字母，如 、、、 等等。 v「統計量」：統計量是從樣本組計算而得的代表性敘性數值。統計量通常使用西文字母，如me、mo、Xbar 、s、p、r 。
範例3.7
範例 3.7 (2)
範例3.8
數據表 範例3.8 (2)
範例 3.8 (3)
Excel 的 FREQUENCY函數
3.2.5 頻次多邊 擷取直方圖的輪廓來做成頻次多邊圖，這是一種特殊的折線圖。
3.3、頻次和分配 計數型的機率分配被稱為機率質量函數 。 計量型機率分配為機率密度函數。
範例3.9
範例3.10
3.4、常用機率分配 計數型超幾何分配、二項分配和卜氏分配等 。 計量型常態分配和指數分配等 。
3.4.1 超幾何分配 出貨批Ｎ件產品，其中有Ｄ件不良品，其餘Ｎ－Ｄ件為良品；現從該批產品隨機抽取ｎ件產品為樣本（ｎ≦Ｎ），假設其中含有ｘ件不良品。
超幾何分配期望值
範例3.11
3.4.2 二項分配 Ｘ代表ｎ次試驗中的「成功」次數，且每次試驗的成功機率為ｐ。
二項分配期望值
範例3.12
範例3.13
範例3.14
3.4.3卜氏分配 尖峰時段某加油站的來客人數 八、九月間太平洋生成的颱風數目 每生產一米鋼捲發生的砂眼數目 保固年限內產品的回修台數 每百名SARS感染人的死亡人數等等。
卜氏分配期望值
範例3.15
範例3.16
3.4.4 指數分配 指數分配是前後兩事件發生的時間間隔，平均數和標準差正好都等於1/λ。 若F(Ｔ)是指數分配的左尾累積機率，則可靠度正好是
指數分配期望值
範例3.17
範例3.18
範例3.19
3.4.5 常態分配 對量測誤差的研究，當時發現誤差型態大多是對稱的鐘型。
常態分配期望值
常態分配常態標準化
範例3.20
範例3.21
範例3.22
3.4.6 分配應用要領 超幾何分配、二項分配、卜氏分配及常態分配間之關係及其應用替代性如下
3.5、抽樣分配 自群體抽取一組隨機樣本，統計量之分配為抽樣分配 。 品常用的統計量計有：平均數、中位數、標準差和全距數。
樣本統計量 平均數 中位數 標準差 全距數：最大和最小間的全幅
3.5.1 樣本平均數之分配 中央極限定理 只要樣數n夠大，標準化(減μ除以標準誤)後之變數會傾向於順從標準常態分配。
3.5.2 樣本中位數之分配
3.5.3 樣本標準差之分配
3.5.4 樣本全距數之分配
3.5.5 樣本統計量之母數 為了便於應用，茲將統計量平均數、中位數ｍ、標準差ｓ和全距數Ｒ等分配之母數詳列成表。
範例3.23
範例3.24
範例3.25
範例3.26
3.6、利用Excel查算統計量 各分配相關的統計函數或公式詳列成表。 以RAND( )來給予反函數P值，可以製造該機率分配的隨機亂數。
範例3.27
範例 3.27 (2)
3.7、常態機率紙分析 在X-F(Ｘ)的圖形中，常態累計機率是單調遞增的，以平均數為對稱中心而且在兩尾比較平緩。
常態累計機率圖 (2) {Ｘi,F(Ｘi)}累計機率圖
XZ常態機率圖 (3)
常態機率紙底稿(4)
常態機率紙範題 計算數據統計量 DataBase
常態機率紙範題 (2) 常態機率紙製作
常態機率紙範題 (3) 累計機率及Ｚ值計算 將數據範圍擴大為[Xmin-全距/2, Xmax+全距/2]，再區分50等份設定組界，使用函數FREQUENCY(DataBase, 組界)計算51組的數據頻次，然後計算各組的累計機率F(Ｘ)，使用函數NORMSINV(F(Ｘ))計算累計機率F(Ｘ) 所對應的Ｚ值。
常態機率紙範題 (4) 常態機率圖點 取數據各組中點為橫軸和各組之對應Ｚ值為縱軸，利用表3-26圖點(少於51)數對來做成常態機率散佈圖。就圖點是否接近一條直線，就概略可以判定樣本數據是否來自常態群體。
常態機率紙範題 (5) 加繪垂直線條 加繪迴歸直線和計算統計量
常態機率紙範題 (6) 小量實驗優劣比較