吉林大学远程教育课件 主讲人 : 杨凤杰学 时： 64 ( 第四十五讲 ) 离散数学

8.4.4 模 格 定义 设（ L ， ≤ ） 是一个格，对任意 a ， b ， c ∈ L ， 如果 a≤b ，都有 a  （ b×c ） = b× （ a  c ） 则称（ L ， ≤ ）为模格。 显然，任意一个分配格都是模格，但 模格不一定是分配格。

例 下图中左面 Hasse 图表 示的格既不是分配格，也不是模 格。因为 a 3 ≤a 2 ，但 a 3  （ a 2 ×a 1 ） = a 3  0 = a 3 ， a 2 × （ a 3  a 1 ） = a 2 ×1 = a 2 。 a2a2 a3a3 0 1 a1a1 b3b3 b2b2 0 1 b1b1

上图中右面 Hasse 图表示的格 (L,×,  ) 是模格, 但不 是分配格。 L = {0 ， 1 ， b 1 ， b 2 ， b 3 } 。 分以下几种情况： （ 1 ）当 a = 1 时，若 a≤b ，则 b 也一定是 1 。故 a  （ b×c ） = 1  （ 1×c ） = 1 b× （ a  c ） =1× （ 1  c ） = 1×1 = 1 。 a2a2 a3a3 0 1 a1a1 b3b3 b2b2 0 1 b1b1

（ 2 ）当 a = 0 时，若 a≤b ，则 b 可能为 0 ， b 1 ， b 2 ， b 3 ， 1 。故 a  （ b×c ） = 0  （ b×c ） = b×c b× （ a  c ） =b× （ 0  c ） = b×c 。 （ 3 ） 当 a = b 1 ， b 2 ， b 3 之一时，若 a≤b ， 则 b 是 1 或 a 。 a2a2 a3a3 0 1 a1a1 b3b3 b2b2 0 1 b1b1

① 若 b = 1 ，则 a  （ b×c ） = a  （ 1×c ） = a  c b× （ a  c ） =1× （ a  c ） = a  c 。 ② 若 b = a ，则 a  （ b×c ） = a  （ a×c ） = a b× （ a  c ） = a× （ a  c ） = a 。 综上，对任意 a ， b ， c ∈ L ，如果 a≤b ，都有 a  （ b×c ） = b× （ a  c ）。 a2a2 a3a3 0 1 a1a1 b3b3 b2b2 0 1 b1b1

例 群 G 中的所有正规 子群做成一个模格。 设群 G 的所有正规子群做成 的集合为 S ，对集合 S 引进如 下两种运算： 对任意 A ∈ S ， B ∈ S ， A 与 B 的交集记为 A∩B 。因为正规子群的交仍为正规 子群，故运算 ∩ 对 S 封闭的。 对任意 A ∈ S ， B ∈ S ， A 与 B 的乘积（记为 A · B ）为如下集合： A · B = {χ · y ∣（ χ ∈ A ）∧（ y ∈ B ） } 对任意 g ∈ G ，任取 u ∈ g · （ A · B ），于是， u = g · a · b

其中 a ∈ A ， b ∈ B 。因为 A ， B 是正规子群，所以 g · a · b = a 1 · g · b = a 1 · b 1 · g 其中 a 1 ∈ A ， b 1 ∈ B 。 故 u=g · a · b ∈（ A · B ） · g ，故 g · （ A · B ）  （ A · B ） · g 同理可证：（ A · B ） · g  g · （ A · B ）。 故 g · （ A · B ） = （ A · B ） · g 即， A · B 是正规子群，所以，乘运算 · 对 S 也是封闭的。 i) 交运算和乘运算满足结合律是显然的。 ii) 交运算满足交换律是显然的，对于乘 运算：

任取 u ∈ A · B ，即 u=a · b （ a ∈ A ， b ∈ B ）。由于 B 是正规子群， 所以， u = a · b = b 1 · a （ b 1 ∈ B ） 故 u ∈ B · A ，即 A · B  B · A 。同理可 证： B · A  A · B ，故 A · B=B · A 。 即乘运算满足交换律。 iii) 任取 u ∈ A · （ A∩B ），于是， u = a · c ， 其中 c ∈ A∩B ，故 u = a · c ∈ A ， 即 A · （ A∩B ）  A 。 任取 u ∈ A ，因为 A ， B 都是子群，故单位元 素 1 即在 A 中，也在 B 中，故 1 ∈ A∩B ，故 u = u · 1 ∈ A · （ A∩B ）， 即 A  A · （ A∩B ）。故

A · （ A∩B ） =A 同理可证： A∩ （ A · B ） =A 。 亦即：运算 ∩ 和 · 满足吸收律。 因此（ S ， ∩ ， · ）是一个格。 由于此格中的运算 ∩ 就是集合的交运算，故 与（ S ， ∩ ， · ）等价的半序格的部份序就 是集合之间包含关系  。 对任意 A ∈ S ， B ∈ S ， C ∈ S ，如果 A  B ， 任取 u ∈ A · （ C∩B ），于是， u = a · d ，其中 d ∈ C∩B ， a ∈ A ，而 A  A · C ，故

u=a · d ∈（ A · C ） ∩B ，即 A · （ C∩B ）  （ A · C ） ∩B 。 任取 u ∈（ A · C ） ∩B ，于是, u ∈ B,u ∈ A · C 。令 u = a · d （其中 a ∈ A ， d ∈ C ），于是， d = a -1 · u 。因为 a -1 ∈ A  B ， u ∈ B ，故 a -1 · u ∈ B ，即 d ∈ B 。故 d ∈ C∩B 。因 此， u = a · d ∈ A · （ C∩B ），即 （ A · C ） ∩B  A · （ C∩B ）， 所以有 A · （ C∩B ） = （ A · C ） ∩B 由定义知，（ S ， ∩ ， · ）是模格。