第四章 平面 §4-1 平面的表示法 §4-1 平面的表示法 §4-2 各种位置平面的投影特性 §4-2 各种位置平面的投影特性 §4-3 属于平面的点和直线 §4-3 属于平面的点和直线 基本要求 基本要求

§ 1.4 平面的投影 §1.4.1 平面的表示法 §1.4.1 平面的表示法 §1.4.2 各种位置平面的投影特性 §1.4.2 各种位置平面的投影特性 §1.4.3 属于平面的点和直线 §1.4.3 属于平面的点和直线 §1.4.4 圆的投影 §1.4.4 圆的投影

一、用几何元素表示平面用几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点； 一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面 图形。 二、平面的迹线表示法平面的迹线表示法 平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面可以用 在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。 平面的表示法

● ● ● ● ● ● a b c a b c 不在同一 直线上的 三个点 ● ● ● ● ● ● a b c a b c 直线及线 外一点 a b c a b c ● ● ● ● ● ● d ● d ● 两平行直线 a b c a b c ● ● ● ● ● ● 两相交直线 ● ● ● ● ● ● a b c a b c 平面图形 一、用几何元素表示平面

二、 平面的迹线表示法 P PVPV PHPH PVPV PHPH QVQV QHQH QHQH QVQV Q

平行 垂直 倾斜 实形性 类似性 积聚性 一、 平面对一个投影面的投影特性 §2.4.2 平面对投影面的相对位置

二、 各种位置平面的投影特性 （一）、投影面的垂直面 1 ．铅垂面铅垂面 2 ．正垂面正垂面 3 ．侧垂面侧垂面 （二）、投影面的平行面 1 ．水平面水平面 2 ．正平面正平面 3 ．侧平面侧平面 （三）、一般位置平面一般位置平面

P PHPH 1 ．铅垂面 投影特性 (1) abc 积聚为一条线 (2)  abc 、  a  b  c  为  ABC 的类似形 (3) abc 与 OX 、 OY 的夹角反映  、  角的真实大小 A B C a c b a'a' b'b' a"a" b"b" b a   b"b" c c"c"c'c'

铅垂面迹线表示法   PHPH P PHPH

Q QVQV 2 ．正垂面 投影特性 (1) abc 积聚为一条线 (2)  abc 、  a  b  c  为  ABC 的类似形 (3) abc 与 OX 、 OZ 的夹角反映 α 、  角的真实大小 A c C a b B b"b"   a'a' b'b' a"a" b a c"c" c'c' c

正垂面的迹线表示法 Q QVQV α γ QVQV

SWSW S 3 ．侧垂面 投影特性 (1) a  b  c  积聚为一条线 (2)  abc 、  abc 为  ABC 的类似形 (3) a  b  c  与 OZ 、 OY 的夹角反映 α 、 β 角的真实大小 C a"a" b"b" A B c"c" b"b" β  a'a' b'b' a"a" b a c"c" c'c' c

侧垂面的迹线表示法 V W SwSw S Z X O Y SwSw Y α β

a b c a c b cc bb aa 类似性 积聚性 铅垂面 投影面垂直面的投影特性 ： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该 直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影 面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影有类似性。 为什么？ γ β 是什么位置 的平面？ 小结：

1 ．水平面 投影特性： (1) abc 、 a  b  c  积聚为一条线，具有积聚性 (2) 水平投影  abc 反映  BC 实形 C A B a"a" b"b" c'c' b a c a'a' b'b' c"c" c a b'b' b"b" b a a"a" c c"c" Pv Pw

2 ．正平面 投影特性： (1) abc 、 a  b  c  积聚为一条线，具有积聚性 (2) 正平面投影  abc 反映  ABC 实形 c"c" a"a" b"b" b'b' a'a' c'c' b c a b'b' a'a' c'c' a"a" b"b" c"c" b ca C B A

投影特性： (1) abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 (2) 侧平面投影  a  b  c  反映  ABC 实形 3 ．侧平面 a'a' b'b' b"b" b a"a" c'c' c"c" c a b"b" c'c' b a c a'a' b'b' c"c" C A B a"a"

三、一般位置平面 投影特性 (1)  abc 、  abc 、  a  b  c  均为  ABC 的类似形 (2) 不反映  、  、  的真实角度 a"a" b"b" c"c" c a'a' b'b' b a a"a" a'a' b'b' b"b" c'c' c"c" b a c A B C

§1.4.3 平面上的直线和点 一、 平面上取任意直线 二、 平面上取点 二、 平面上取点 三、 属于特殊位置平面的点和直线 在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作 辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可 以解决三类问题： 1 、判别已知点、线是否属于已知平面； 2 、完成已知平面上的点和直线的投影； 3 、完成多边形的投影。

1 ．取属于平面的直线 取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属 于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。 E D F d'd' d e'e' e ff '

2 ．取属于平面的点 取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线 E D d'd' d e'e' e

[ 例题 1] 已知  ABC 给定一平面，试判断点 D 是否属 于该平面。 d'd' d e e'e'

[ 例题 2] 已知点 D 在  ABC 上，试求点 D 的水平投影 。 d d'd'

b c k a d a d b c a d a d b c k b c [ 例题 3] ：已知 AC 为正平线，补全平行四边形 ABCD 的水平投影。 解法一 解法二

三、属于特殊位置平面的点和直线 1 ．取属于投影面垂直面的点和直线取属于投影面垂直面的点和直线 2 ．过一般位置直线总可作投影面的垂直面过一般位置直线总可作投影面的垂直面 迹线表示法 3. 属于平面的投影面平行线 3. 属于平面的投影面平行线

b b 1 ． 取属于投影面垂直面的点和直线 a a e f f e

a b b a S b a a b A B 2 ． 过一般位置直线总可作投影面的垂直面 过一般位置直线 AB 作铅垂面 P H 过一般位置直线 AB 作 正垂面 S V P PHPH SVSV A B

过一般位置直线作投影面的垂直面 ( 迹线表示法 ) b"b" a"a" SVSV QWQW PHPH

3. 属于平面的投影面平行线 属于平面的水平线和正平线 例题 4 例题 4

P 属于平面的水平线和正平线 PVPV PHPH

[ 例题 4] 已知  ABC 给定一平面，试过点 C 作属于该平面的正 平线，过点 A 作属于该平面 的水平线 。 m n'n' n m

1.4.4 圆的投影 圆的投影特性： 1 、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形； 2 、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆 的直径； 3 、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的 平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直 的直径的投影；