直接水準測量的系統誤差與偶然誤差 三角高程測量的誤差傳播

緒言 兩點間高程差測量的方式 不論直接或間接高程測量均含有系統誤差與偶然誤差 直接高程測量：逐差水準測量(Differential leveling)，或稱直接水準測量 間接高程測量：三角水準測量(Trigonometric leveling)，或稱三角高程測量 不論直接或間接高程測量均含有系統誤差與偶然誤差 系統誤差 地球曲率差、大氣折光差(合稱兩差) 儀器調整不完全的誤差 系統誤差可藉由外業的程序使之最小化，也可利用計算方式予以模式化與改正 偶然誤差 儀器定平、距離量測、標尺讀數等誤差 偶然誤差必須根據偶然誤差定理來處理

逐差水準的系統誤差 逐差水準測量時，視距長度應受限制且應相等，來減小系統誤差的影響。 水準測量中系統誤差仍然存在，必須遵循改正的觀測程序，以減小其影響。 逐差水準測量中，可藉由觀測程序來減小影響的系統誤差有 視準軸誤差(Collimation error) 地球曲率與折光(Earth curvature and refraction)

逐差水準的系統誤差 視準軸誤差 視準軸誤差是指儀器視線(視準軸)不是真正水平所造成的誤差 此誤差可藉由保持視距相等來消除 如下圖所示，視準軸誤差所導致的高程差的誤差為 eC=D1α- D2α，α為觀測時視準軸的誤差 整條水準線的視準軸誤差可寫成 eC=α[(D1- D2)+(D3- D4)+ +(Dn-1- Dn)]，或 eC=α(DBS - DFS)

逐差水準的系統誤差 視準軸誤差 例8.1 某水準儀之視準軸誤差為0.04mm/m，用來測量水準線，後視距離總和為863m，前視距離總和為932m，若水準線之高差為22.8654m，改正後高差應為若干？ 解：利用(8.3)式，視準誤差為： eC=0.00004(863-932)m =-0.0028m， 故改正後高差為： 22.8654-(-0.0028)=22.8682m 注意符號

逐差水準的系統誤差 地球曲率與折光 逐差水準測量中，是將大地水準面視為平面，而實際上大地水準面是向下彎曲，因此，標尺讀數總是偏高。 類似地，大氣折光的影響會讓視線向地表彎曲，導致標尺讀數偏低。 兩者綜合影響，會導致標尺讀數總是偏高，其量可以用近似式表示為 每站觀測時，若前後視距離相等，則可消除此項誤差，否則會產生下列誤差

逐差水準的系統誤差 地球曲率與折光 例8.2 山坡上兩點高差測得為：1.256m，若後視距離為100m，前視距離僅有20m，高差之誤差為若干？改正之高差又為若干？ 解：將距離代入(8.6)式，得高差之誤差： eCR=(1002-202)×0.0675/10002 =0.0006m， 改正之高差為： 1.256-0.0006=1.255m 對整條水準線而言，兩差合併影響為 大氣折光在接近地面時，因受溫度的影響，其值會比較大。而要沿途測量溫度成本又太高，因此，在進行水準測量時，總希望視線要離地面0.5公尺以上，以避免建立低層大氣模式。

逐差水準的系統誤差 系統誤差對高差的綜合影響 綜合前述，每站的改正高差可寫成 式中，r1為後視的標尺讀數，r2為前視的標尺讀數

逐差水準測量的偶然誤差 偶然誤差種類 影響誤差大小的因素 儀器定平誤差、標尺讀數誤差 大氣條件、望遠鏡光學品質、氣泡靈敏度或補償器、以及標尺的刻劃等

逐差水準測量的偶然誤差 讀數誤差 標尺讀數誤差估值可由單位視距的標準誤差比率來表示 如，假設觀測者每100m可讀尺至±0.005m，則r/D=±0.00005 視距為D的個別讀數誤差估值為 r = Dr/D

逐差水準測量的偶然誤差 儀器定平誤差 自動補償器或水準氣泡的定平誤差估值，可由儀器的規格(技術資料)中獲知。 在精密水準儀中，此資訊常以弧秒或已知距離的高程誤差來表示。 例如，誤差估值為±1.5mm/km，其對應的秒數誤差為±(1.5/1×106)×=±0.3。 通常有補償器的精密水準儀，其定平精度約在0.1至0.2之間。而普通水準儀的定平精度則可能高達10。

逐差水準測量的偶然誤差 標尺的豎立誤差(定平誤差) 標尺豎立不直，會導致讀數偏高，在水準網中，由於此種誤差會出現在所有水準路線的所有後視與前視的觀測，因此是屬於偶然誤差。 此種誤差可以模式化，由圖8.2中可知，標尺未豎直的讀數誤差約為如式(8.11) 所示。 其中d=rsin，代入式(8.11)得，標尺豎立誤差為式(8.13) (8.11) (8.13)

逐差水準測量的偶然誤差 標尺的豎立誤差(定平誤差) 例8.3 假設標尺水準氣泡偏移水平約±1，尺讀數為3m，則尺讀數之誤差估值為： 因為每次照準尺時都有可能發生這種誤差，後視誤差可與前視誤差抵銷，故誤差之合併影響如下式：

逐差水準測量的偶然誤差 標尺的豎立誤差(定平誤差) 例8.4 假設標尺水準氣泡維持偏移±1，水準線之高差為22.8654m，則高差之誤差為： 若小心豎立標尺，通常這類誤差很小，甚至可以忽略。

逐差水準測量的誤差估值 逐差水準測量主要的偶然誤差來源 逐差水準測量的系統誤差有 標尺讀數誤差 儀器的定平誤差 視凖軸誤差 地球曲率與大氣折光誤差 可藉由前後視距離相等消除之 然而，不論採用任何方法來量測視距，都會有偶然誤差存在，會導致地球曲率與大氣折光以及儀器視凖軸含有偶然誤差。 因此，式(8.9)系統誤差對高差的影響，仍需利用誤差傳播定律，來求得因地球曲率與大氣折光以及儀器視準軸所導致的高差的偶然誤差。

逐差水準測量的誤差估值 因此，要利用誤差傳播定律，來模式化標尺讀數、定平與視距等偶然誤差的影響，須先求得下列的偏導數 故單站的高差的標準差估值為

逐差水準測量的誤差估值 在常態直接水準測量中，D1=D2=D，因此，視距的誤差估值相等，或D1=D2=D，再者，前後視的視準軸誤差相等，或α1=α2=α。所以，單站高差的標準誤差可簡化成 對設站N次之水準線，仍維持前後視距離相等，則高差的整體誤差估值為 此項可忽略

逐差水準測量的誤差估值 例8.5 某水準線自水準點A測至水準點B，讀尺誤差估值為±0.01mm/m，儀器定平維持在±2.0，視準軸檢驗發現儀器每100m差在4mm內，每50m視距也約有±2m差， A至B水準線長1000m，A與B高差的誤差估值為若干？假設A點高程為212.345±0.005m，B點高程之誤差為若干？ 解：設站次數為：N=1000/(2×50)=10，相關數值代入(8.20)式，得

逐差水準測量的誤差估值 若忽略根號內最後一項，則 結果相同 由誤差傳播定律，B點的誤差估值為

三角高程測量的誤差傳播 三角高程測量中，因前後視距離無法相等，故系統誤差(地球曲率與大氣折光)以及儀器視線傾斜(視凖軸誤差)的移除，就顯得相當重要。如圖8.3所示，兩點間的改正高差為 hCR為二差改正，將其公式代入後，則改正高差為

三角高程測量的誤差傳播 兩點間改正高差的誤差傳播公式推導，須先求得偏導數 將偏導數與觀測標準差代入誤差傳播公式中，可得三角高程測量的整體誤差為 注意：需化算為弧度

三角高程測量的誤差傳播 天頂距的觀測誤差來源有 照凖誤差、讀數誤差、附合氣泡誤差以及儀器的氣泡靈敏度等 因天頂距觀測常正倒鏡進行，故天頂距觀測的誤差為 單次觀測的誤差

三角高程測量的誤差傳播 例8.6 某全測站儀器之附合氣泡精度約±0.3，數值讀數精度±5，距離觀測精度±(5mm+5ppm)，斜距量得為383.067m，儀器定心誤差±0.002mm，覘標定心誤差±0.003mm ，儀器高為1.561m ±0.003mm，覘標高為2.067m ±0.003mm，若僅觀測一次天頂距：881315，則改正後高差及其誤差估值為若干？ 解：利用(8.24)式，得： h=1.561+ 0.0675(383.067sin 88º1315" /1000)2 + 383.067cos 88º1315" – 2.067=11.397m 天頂距誤差估值為

三角高程測量的誤差傳播 距離的誤差估值為 各項數值代入(8.25)式，得高差之估計誤差為

三角高程測量的誤差傳播 由上例可見：因距離誤差(±0.000186m)引致之高差誤差小至可忽略，但因天頂距誤差(±0.013m)引致之高差誤差為最大，探究原因，因未採正倒鏡觀測天頂距，不能補償之系統誤差傳播至最後計算之高程誤差內。 若垂直度盤指標差為10"，若採正倒鏡觀測，此項誤差之影響可互相抵銷，若僅倒鏡觀測一次，因指標差引致之系統誤差將達：82.881×sin10"=0.019m 由此可見：在利用三角高程測量方法時，應盡可能正倒鏡觀測天頂距或垂直角

作業 8.5、8.7、8.8