1. 第十二章 變異數分析 12.1 單因子變異數分析 1-way ANOVA Subject : 比較三組以上的母體平均數 k 組資料，母體平均數為 μ 1, …, μ i, …, μ k Data : k 組資料，樣本數為 n 1,…, n k. x ij --- 第 i 組的第 j 個觀察值 N = n 1 +…+ n k 總個數

2. 【主題】 : To test the equality of the k popultions. 【方法】 : 變異數分析 ANOVA 註 : 1. 多組資料比較時，以平均數之間的變異代表各均值差異 程度，其基本精神事實上和二組比較的想法是一致的。 2. ANOVA 假設 k 組資料有不同的平均數，相同的變異數， 且為常態分配。

3. ANOVA3 Review : 二組資料之比較 資料 A: 67 ， 68 ， 69 ， 70 ， 71 資料 B: 70 ， 71 ， 72 ， 73 ， 74 資料 C: 68.5 ， 69.5 ， 70.5 ， 71.5 ， 72.5 資料 D: 71.2 ， 71.6 ， 72 ， 72.4 ， 72.8 資料 E: 69.7 ， 70.1 ， 70.5 ， 70.9 ， 71.3 A 、 B 之差異是否顯著？ B 、 C 之差異是否顯著？ D 、 E 之差異是否顯著？

4. ANOVA4 t = D / SE, 二組資料比較之檢定量 = 平均數差 / 標準誤， A 組與 B 組比較 t = 3/1=3, p-value =.017 結論為 二組差異 顯著 B 組與 C 組比較 t = 1.5/1=1.5, p-value =.172 結論為 二組差異 不顯著 D 組與 E 組比較 t = 1.5/0.4=3.75, p-value =.0056 結論為 二組差異 顯著 平均數差愈大時，愈能顯示出二組差異偏大 標準誤愈小時，愈能顯示出二組差異

5. ANOVA5 【 Notation 】

6. ANOVA6 【 MS 】 變異數 = 平方和 / 自由度 SS T = SS Tr + SS E 【檢定值及結論】 f = MS Tr / MS E p-value = P( F > f ) ，當 p-value <α ，差異顯著。 註 ： 1 、 MS E 就是 k 組資料的 pooled variance ， k=2 時， MS E =S p 2 2 、 MS E 與 MS Tr 皆為變異數，相除後產生一 F 分布之統計量 平均數變異愈大，顯示各組之間差異愈大 組內變異數愈小，愈能顯示各組間之差異

7. ANOVA7 說明： H 0 ： μ 1 = μ 2 = …= μ m vs. H 1 ：差異存在 若差異存在， MS Tr 值偏大，將產生一較大的 f 值，故 p- 值 = p( F > f ) ， p- 值愈小，差異愈顯著。可視為一單尾檢定。 變方分析之結果可整理成一 ANOVA Table 如下： p-value = P( F- 值 > f ),

8. ANOVA8 【例 12.1 】比較 A 、 B 、 C 三食品品質之差別 方法 : 1-way ANOVA p-value =.059 ， 結論此 3 組均值之差異不顯著，食品對 增重之影響不顯著。 。

9. ANOVA9 【例 12.2 】比較 A 、 B 、 C 三食品品質之差別 方法 : 1-way ANOVA f =9.69 ， p-value =.0057 ， 結論此 3 組均值之差異顯著，食品 對增重之影響不顯著。

10. ANOVA10 例 12.1 12.2 資料圖比較，三組平均值皆為 6, 7, 11

11. ANOVA11 EXCEL: 輸入資料 → 工具 → 資料分析 → 單因子變異數分析 EXCEL 資料： p260 表 12.1

12. ANOVA12 當 ANOVA 結果是差異顯著，需作進一步比較，稱為事後多 重比較，它能提供更詳細的訊息，多重比較可進行許多方 面的比較，最常用的是對對比較，即，同時將各組中有明 顯差異的找出來。 Multiple Comparisons 對對比較只有近似法，至少有 10 種方法存在，本教科書介紹的是 Bonferroni 法，其它常用方法有 LSD ， HSD ， Duncan 法。 LSD 法是化學 分析中常用的方法，但是太容易分出差異。 當 ANOVA 結果是差異不顯著，無需作進一步比較。 若 ANOVA 結果是差異顯著，表示至少有一對組差異存在， 必需進一步分析差異之處， 稱為 multiple comparison, 或 pairwise comparison.

13. ANOVA13 成對均值比較 目的： 同時比較 m(m-1)/2 對之間的差異是否顯著。 基本原理：  設定一判定值 D M ，當 i 組與 j 組之均值差異大於 MD 時， 判斷此一組間的平均數差異顯著，否則不顯著  每一方法的判定值不同  判定值愈小，愈容易得到有顯著差異

14. ANOVA14 【例 10.5 】對對比較 A 、 B 、 C 三食品各對組品質之差別 (p286) HSD 法 : D M(0.05) =3.3538 ， D M(0.01) =4.6160 列出下表，分析各對組的差異顯著性 說明： * 表示兩處理均值差異達 5% 顯著水準； ** 表示兩處理均值差異達 5% 顯著水準。

15. ANOVA15 說明： 在研究報告中，常以相同文字表示兩處理均值間差異不顯著， 反之差異顯著，如下例：

16. ANOVA16 深入應用 ( 參考 excel 結果 ) 【例 12.1 】比較三實驗室之差別 (p260) 由 ANOVA F 檢定得 p- 值 = 0.052 ，差異不顯著

17. ANOVA17 contral 2% 葡萄糖 2% 果糖 2% 蔗糖 75575862 67586166 70605665 75595863 65625764 71605662 67606165 67576065 76595762 68615867 【例 12.2 】研究添加不同醣類對碗豆生長長度的影響。實 驗分為四組，第一組為控制組，其它實驗組分為 2% 葡萄 糖， 2% 果糖，以及 2% 蔗糖。資料如下：

18. ANOVA18 由 ANOVA ， F 檢定 得到 p- 值 <0.0001 ， 判斷 五組有的差異顯著

19. ANOVA19 Means with the same letter are not significantly different. Tukey GroupingMeanNGROUP A70.10010contral B64.10010cane sugar C59.30010glucose C58.20010fructose 根據以下的 SAS 報表分析 由 Tukey HSD 對對比較法得到： 添加醣類對碗豆的生長有顯著差異， 但是，加葡萄糖與加果糖對碗豆的生長並無顯著差異， 加蔗糖與加其它兩種醣類卻是有顯著不同的。 組別控制組蔗糖果糖葡萄糖 Mean±SD70.1±3.98 a 64.1±1.64 b 59.3±1.87 c 58.2±1.87 c 結論列表：

20. ANOVA20 非常態資料 使用 ANOVA 之條件是常態母體、變異數相同 有時資料違背此二條件，如：有離群值出現時 違背此二條件的資料是不應該使用 ANOVA 作為分析 方法，可使用無母數法中的 Kruskal Wallias 替代 對於滿足此二條件的資料，應使用 ANOVA 的結果