1. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.1 社會統計 第十講 相關與共變

2. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.2 Covariance, 共變量 當 X, Y 兩隨機變數不互為獨立時，表示 兩者間有關連。其關連的形式有很多種， 最常見的關連為線性的共變關係。 隨機變數 X,Y 間的線性關係可用兩個統計 量來測量 (1) 共變數 (covariance) (2) 相關 係數 (correlation coefficient) 。兩者都能 衡量兩變數之間是否有線性關係存在。 觀念觀念 觀念觀念

3. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.3 Stochastic Relationships and Scatter Diagrams Scatter Plot 可以顯示兩連續變數 x, y 之間的關 聯 形式與 強度： 觀念觀念 觀念觀念 自變項 x 依變項y依變項y

4. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.4 X Y (a) X 與 Y 之 間的關係 為線性還 是非線性？

5. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.5 X Y (b) X 與 Y 之 間的關係 為線性還 是非線性？

6. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.6 X Y (c) X 與 Y 之 間的關聯 強度為何？

7. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.7 X Y (d) X 與 Y 之 間的關係 是正向還 是反向？

8. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.8 Covariance, 共變量 我們用簡單圖形可以來瞭解兩變數 x 與 y 之間的關係。另一種分析兩變數關係的 統計技術為相關分析 (correlation analysis) 。 兩個隨機變數之間的共變關係為何？ 觀念觀念 觀念觀念

9. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.9 Covariance, 共變量 假設兩隨機變數 Y 與 X 之間具有某種關聯，母體 X 的平均值為 u x 、母體變異數 σ x 2 ，母體 Y 的平 均值為 u y 、母體變異數 σ y 2 ， 觀念觀念 觀念觀念

10. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.10 Covariance, 共變量 測量兩變數之間是否有關連的一個有效 指標為共變數 (covariance) 觀念觀念 觀念觀念

11. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.11 Covariance, 共變量 先生的收入 (x) 與太太的收入 (y) 關係如下表， 請計算共變量 (covariance) 觀念觀念 觀念觀念

12. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.12 Covariance, 共變量 觀念觀念 觀念觀念

13. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.13 Covariance, 共變量 觀念觀念 觀念觀念

14. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.14 例題 求 x 與 y 的 covariance?

15. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.15 II III IV I ⊕ ⊕ (14-10)(8-5) =(4)(3) (6-10)(3-5)=(-4)(-2)

16. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.16 II III IV I ⊕ (13-10)(8-5) =(-3)(3) (5-10)(8-5)=(-5)(3)   ⊕

17. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.17 Covariance, 共變量 證明： 觀念觀念 觀念觀念

18. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.18 Covariance, 共變量 證明： if X, Y are independent, 觀念觀念 觀念觀念

19. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.19 The Population Correlation Coefficient, ρ 母體相關係數 用共變量來衡量兩變數的關係有一個缺點， 即 σ xy 及 s xy 的值會受到 x 與 y 衡量單位的影響。

20. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.20 The Population Correlation Coefficient, ρ 母體相關係數

21. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.21 The Population Correlation Coefficient, ρ 母體相關係數 因此，我們將 covariance 分別除上 x 與 y 的標準 差 σ x 、 σ y ，得到標準化後的指標稱之為相關係 數 :

22. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.22 Sample Correlation Coefficient, r 樣本相關係數 樣本相關係數 :

23. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.23 相關係數的特性 相關係數衡量兩變數之間是否有線性關係，相關係 數愈大，代表兩變數之間的線性關係愈強。相關係 數為零，代表兩變數沒有線性關係。 相關係數的值介於正負 1 之間，正 1 代表兩者呈完全 正相關，負 1 代表兩者呈現完全負相關。 如果 x 與 y 為獨立，則相關係數 ρ=0 。 如果 ρ=0 ， x 與 y 不一定為獨立，因為他們可能具有非 線性關係。

24. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.24 相關係數的特性 證明：若 x 為 y 之線性函數 y=a+bx ，則 x 與 y 的相關係數為 ±1 。

25. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.25 X Y (a) r = 0.8

26. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.26 X Y (b) r =.95

27. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.27 X Y (c) r = 0

28. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.28 X Y (a) r = 0

29. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.29 X Y (d) r = -.90

30. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.30 X Y (c) r = -0.5

31. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.31 相關係數的強弱 r =  1 為完全相關 r = 0 為無相關

32. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.32 例題 求 x 與 y 的 correlation?

33. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.33 例題 求 x 與 y 的 correlation?

34. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.34 母體相關係數的檢定 樣本相關係數 r 為母體相關係數  的估計式。 若 (x, y) 為一組具有雙邊常態分配 (bivariate normal distribution) 的隨機變數

35. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.35 母體相關係數的檢定 利用檢定斜率的公式： 相當於檢證

36. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.36 例題 續上例

37. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.37 相關係數與因果關係 相關僅代表兩變數間有線性關係，不必然 隱含因果關係，下列情況皆有可能 z Two variables are said to be spuriously correlated when their correlations is nonzero and there is no reason to believe that the variables are related to one another.

38. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.38 相關係數與因果關係 商品的價格愈高，需求愈低？ 美國職業運動的票價每年都在增長，但需 求不減反增。 相關分析僅考慮兩個變數 x, y 之間的關係， 而忽略其他可能影響 y 的因素。 人口增加、收入增加、職業運動受歡迎的 程度增加等

39. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.39 相關係數不受單位尺度變換的影 響

40. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.40 例題 某校 MBA 畢業生的在學成績 (x) 與工作起薪 (y) 的資訊如下： 求 r 並檢定 H 0 :  =0

41. ©Ming-chi Chen 社會統計 Page.41 例題